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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Di 08.11.2005 | | Autor: | spritey |
Hallo,
ich hab mal wieder ein Problem:
Folgende Aufgabe:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
Berechnen Sie den Wert der Summe für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Wir haben in der Übung den Tipp:
k [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = . ? . = . ? . [mm] \vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
bekommen.
Naja ich hab bis jetzt das hier:
k [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = k [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
und
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = n [mm] 2^{n-1}
[/mm]
Es geht außerdem das Gerüch rund, dass man den Wert nicht mir der vollst. Induktion beweisen kann.
Kann mir jemand einen Ansatz zu dieser Aufgabe geben und vllt. noch etwas dazu erklären?
Viele Dank!
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> Hallo,
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> ich hab mal wieder ein Problem:
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> Folgende Aufgabe:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
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> Berechnen Sie den Wert der Summe für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Wir haben in der Übung den Tipp:
> k [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = . ? . = . ? . [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
Hallo,
k[mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
=k[mm]\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
= [mm]\bruch{n!}{(k-1)!(n-k)!}[/mm]
=[mm]\bruch{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}[/mm]
=n[mm]\bruch{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1)!}[/mm]
=n*???
Das macht deine Summe schon etwas behaglicher, möglicherweise kommst Du nun allein zum Ziel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Di 08.11.2005 | | Autor: | spritey |
Hi,
Ich verstehe den letzten Schritt nicht ganz.
Wenn Du das n vor den Bruch schreibst, warum andert dich dann im Nenner das (n-k)! zu ((n-1)-(k-1))! ?
$ [mm] \bruch{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} [/mm] $
=n$ [mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1)!} [/mm] $
Ich bin echt zu dumm für sowas, aber trotzem schonmal Danke für den Ansatz!
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> Hi,
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> Ich verstehe den letzten Schritt nicht ganz.
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> Wenn Du das n vor den Bruch schreibst, warum andert dich
> dann im Nenner das (n-k)! zu ((n-1)-(k-1))! ?
>
> [mm]\bruch{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}[/mm]
> =n[mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1)!}[/mm]
>
> Ich bin echt zu dumm für sowas,
Papperlapapp. Vielleicht ein bißchen blind.
n!=n(n-1)! ist noch klar?
Daß sich im Nenner was ändert, hat mit dem Vorziehen von n nichts zu tun.
Und es ändert sich auch eigentlich nichts, ich habe nur ein wenig umdekoriert.
Rechne doch grad mal so als kleine Übung (n-1)-(k-1) aus. Na, geht Dir nun ein Licht auf?
Hoffentlich.
Gruß v. Angela
aber trotzem schonmal Danke
> für den Ansatz!
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