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Hallo,
Kann mir jemand helfen folgende Aufgabe zu lösen:
Aufgabe:
Beweisen Sie(direkter Beweis):
[mm] \forall [/mm] n,k [mm] \in \IN, [/mm] k [mm] \le [/mm] n: [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm]
Ansatz:
Wenn ich zum Beispiel [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] nehme. Dann bedeutet das doch ?!
Aus einer Menge mit 4 Elementen werden alle 3-elementigen Teilmengen
bestimmt. M = [mm] \{a,b,c,d \} \Rightarrow \{a,b,c \}, \{b,c,d \}, \{a,b,d \}, \{a,c,d \}. [/mm] So bekomm ich dann 4 Teilmengen.
Das wäre ja dann das selbe wie:
[mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] = [mm] \bruch{4!}{3!(4-3)!} [/mm] = [mm] \bruch{4*3*2}{3*2} [/mm] = 4
Kann ich das so beweisen oder ist das falsch ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Di 08.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chessmaster,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Eine kleine Rückfrage: wie habt ihr den Binomialkoeffizienten [mm] $\vektor{n \\ k}$ [/mm] eigentlich definiert?
Denn so wie das bei Dir steht und was Du da beweisen sollst, entspricht das exakt der Definition, die ich kenne.
Gruß
Loddar
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> Hallo Chessmaster,
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> !!
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> Eine kleine Rückfrage: wie habt ihr den
> Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] eigentlich
> definiert?
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> Denn so wie das bei Dir steht und was Du da beweisen
> sollst, entspricht das exakt der Definition, die ich
> kenne.
>
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> Gruß
> Loddar
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Danke erst mal 
Ja das stimmt.
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] ist die Definition. Man könnte ja auch
[mm] \bruch{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!} [/mm] schreiben.
In meinem Beispiel:
[mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] würde das dann so aussehen:
[mm] \bruch{4(4-1)(4-2)}{3*2*1}= [/mm] 4
Aber wir sollen jetzt beweisen, dass für alle n's und k's die [mm] \in [/mm] von [mm] \IN [/mm] sind: [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] gilt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Di 08.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Ich hab zwar keine Ahnung ob es hilft aber
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \vektor{n \\n-k} [/mm] für [mm] 0\le k\le [/mm] n
Das kann man glaube ich dann auch beweisen.
Zudem gibt es noch einen Hilfssatz:
Für alle [mm] n\in\IN n\ge1 [/mm] und alle [mm] k\in\IZ [/mm] gilt:
[mm] \vektor{n \\ k}= \vektor{n-1 \\ k-1}+ \vektor{n -1\\ k}
[/mm]
Diesen Satz kann man soweit ich weiß auch zeigen.
Vieleicht kann man dann auch zeigen dass [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Ciao.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Kohei |
Hallo!
Ich nochmal!
[mm] \vektor{n \\ k}= \bruch{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}
[/mm]
= [mm] \bruch{n(n-1)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)...2*1}{1*2...k(n-k)(n-k-1)...2*1}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!}{k!(n-k!)}
[/mm]
So müsste es sein.
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Hallo
Danke für eure Hilfe. Damit bin ich einverstanden .
Die Aufgabe ist eigentlich ein bischen unsinnig. Die Definition kennt man ja
oder kann man nachschlagen. Aber so hab ich mir das auch gedacht.
mfG Chessmaster
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http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient