Binomial oder MoivreLaPlace < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | n = 400
p = 0,62
k = 250
Wahrscheinlichkeit ist gesucht! |
Hey :)
Meine Frage ist einfach:
Im Unterricht (12 Klasse LK Mathe) haben wir derartige Aufgaben immer mit der normalen Binomialverteilung gerechnet ... im Internet und bei anderen Aufgaben habe ich jetzt aber für derartige Aufgaben Lösungswege mit der Näherungsformel von Moivre LaPlace gesehen, die immer gering von dem Binomialen Ergebnis abwichen (so rund 1%) und das irritiert mich jetzt!
Frage: Kann man sowohl Binomialverteilung als auch Moivre La Place verwenden ?
Oder MUSS man Moivre LaPlace bei V(X) > 9 verwenden?
bzw. welche der beiden Möglichkeiten ist bei hohen n und k Werten die genauere ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen lieben Dank schon mal im Vorraus! :)
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> n = 400
> p = 0,62
> k = 250
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> Wahrscheinlichkeit ist gesucht!
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> Hey :)
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> Meine Frage ist einfach:
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> Im Unterricht (12 Klasse LK Mathe) haben wir derartige
> Aufgaben immer mit der normalen Binomialverteilung
> gerechnet ... im Internet und bei anderen Aufgaben habe ich
> jetzt aber für derartige Aufgaben Lösungswege mit der
> Näherungsformel von Moivre LaPlace gesehen, die immer
> gering von dem Binomialen Ergebnis abwichen (so rund 1%)
> und das irritiert mich jetzt!
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> Frage: Kann man sowohl Binomialverteilung als auch Moivre
> La Place verwenden ?
Das kann man so nicht pauschal beantworten, unten mehr dazu.
> Oder MUSS man Moivre LaPlace bei V(X) > 9 verwenden?
Auch das ist keinesfalls so.
> bzw. welche der beiden Möglichkeiten ist bei hohen n und k
> Werten die genauere ?
>
Wenn eine ZV binomialverteilt ist, so ist (zumindest für endliche n) stets die Binomialverteilung der exakte Weg, während es sich bei der Normalverteilung (nach der Moivre-Laplace-Formel) um eine Näherung handelt.
Warum man das macht? Dafür gibt es unterschiedliche Motive. Für große n und nicht zu kleine p wird der Fehler vernachlässigbar sein (daher die Faustregel n*p*(1-p)>9.
Historisch gesehen muss man sich stets klar machen, dass die ganzen elektronischen Rechenhilfsmittel ja eine völlig neue Errungenschaft sind. Die ersten Taschenrechner sind Anfang der 70er-Jahre letztes Jahrhundert aufgetaucht, die waren aber noch weit davon entfernt, die Werte irgendwelcher Verteilfungsfunktionen berechnen zu können. Erschwingliche Computersoftware gibt es ca. seit Mitte/Ende der 80er-Jahre, grafik- bzw. CAS-fähige Taschenrechner seit Mitte der 90er. Sprich: da ist mehrere Jahrhunderte gerechnet worden mit irgendwelchen Tabellen, und das hat einfach unmittelbar zu dem Motiv geführt, solche Berechnungen so einfach wie möglich zu gestalten. Für die Normalverteilung braucht man eh eine Tabelle, aber da reicht bekanntlich die für die Standardnormalverteilung. Bei der Binomialverteilung sieht es viel schlimmer aus: während man die Wahrscheinlichkeitsfunktion ja in der bekannten Darstellung
[mm] P(X=k)=\vektor{n\\k}*p^k*(1-p)^{n-k}
[/mm]
vorliegen hat, kann man die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung bekanntlich nicht geschlossen darstellen. Jetzt bräuchte man aber theoretisch für jede Belegung der Parameter (n;p) eine eigene Tabelle! Das ist das historische Grundmotiv, die Binomial- und andere diskrete Verteilungen möglichst durch stetige anzunähern. Aus heutiger Sicht (mit dem CAS bewaffnet) kann man das alles nicht mehr so einfach nachvollziehen und schmunzelt vielleicht darüber.
Bedeutet also für deine Frage: du musst nichts annähern, es könnte einfach zweckmäßig sein. Und im Fall n*p*(1-p)>9 geht man davon aus, dass die Näherung durch die Normalverteilung gut ist, obwohl niemand die Quelle dieses Kriteriums gesichert angeben kann, geschweige denn sein Zustandekommen...
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | | Ein Verkäufer erwartet 1500 Kunden an einem Tag. Im Schnitt kaufen 9% eine Waschmaschine. Wie viele Waschmaschinen muss der Verkäufer bereit halten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% der Bedarf befriedigt wird? |
Das heißt also, ich kann bei jeglichen n/p/k Werten die Binomialverteilung nutzen, ohne mir irgendwelche Sorgen zu machen?
Einziger Nutzen ist eben, wenn man keinen CAS usw. hat richtig? :D
![[]](/images/popup.gif) Lösung
Die Aufgabe jetzt aber wird laut Aufgabenlösung mit der globalen Näherungsformel gelöst. Kann ich derartige Aufgaben denn überhaupt mit der Wahrscheinlichkeitsgleichung der Binomialverteilung lösen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
als erstes mal ein kleiner Rüffel. Ich habe gerade auf deinen Link geklickt und als erstes irgendeine dumme Werbung gesehen. Davon habe ich gerade so was von genug, da ich gerade mehrere Tage damit verbracht habe, meinen PC nach so einer Adware-Attacke wieder zu säubern. Bitte tippe so etwas in Zukunft hier ein.
> Ein Verkäufer erwartet 1500 Kunden an einem Tag. Im
> Schnitt kaufen 9% eine Waschmaschine. Wie viele
> Waschmaschinen muss der Verkäufer bereit halten, damit mit
> einer Wahrscheinlichkeit von 98% der Bedarf befriedigt
> wird?
>
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> Das heißt also, ich kann bei jeglichen n/p/k Werten die
> Binomialverteilung nutzen, ohne mir irgendwelche Sorgen zu
> machen?
Wenn das Problem binomialverteilt ist, sonst nicht.
> Einziger Nutzen ist eben, wenn man keinen CAS usw. hat
> richtig? :D
Nein, es gibt schon noch ein paar mehr Vorteile.
> Lösung
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> Die Aufgabe jetzt aber wird laut Aufgabenlösung mit der
> globalen Näherungsformel gelöst. Kann ich derartige
> Aufgaben denn überhaupt mit der
> Wahrscheinlichkeitsgleichung der Binomialverteilung lösen?
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsgleichung?
Also ganz ehrlich: so wie diese Rückfrage daherkommt solltest du dir zunächsteinmal ein paar Grundlagen zu Verteilungsfunktionen generell machen. Ich weiß ja, dass diese Thematik in den Schulbüchern heutzutage absolut stiefmütterlich behandelt wird, aber vielleicht hast du Zugang zu weiterer Literatur über das Thema?
Gruß, Diophant
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Lösung