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Forum "Uni-Sonstiges" - Binomialentwicklung
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Binomialentwicklung: Bestimmung einer Potenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Sa 21.07.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

Aufgabe
Also die Beispiel Aufgabe lautet wie folgt:

Berechne Sie mithilfe der Gleichung (1 + x) n gerundet 1 + n * x     für |x| << 1

einen Näherungswert für die Wurzel aus 101.

Problembeschreibung: Die Zahl 101 legt die Zerlegung in das Binom (100 + 1) nahe. Um einen Näherungswert mithilfe der Binomialentwicklung bestimmen zu können, muss man diesen Ausdruck so umfromen, dass wir ein Binom bestehend aus 1 und einem Term kleiner als 1 erhalten.

Lösung:
Schritt 1. Schreiben Sie die Wurzel als [mm] (101)^{1/2}; [/mm] nun können Sie einen Ausdruck der Form (1 + [mm] x)^n [/mm] herleiten, in dem x viel kleiner als 1 ist:
[mm] (101)^{1/2} [/mm] = (100 + [mm] 1)^{1/2} [/mm] = [mm] 100^{1/2}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{100})^{1/2} [/mm] = 10(1 + [mm] \bruch{1}{100})^{1/2} [/mm]
Schritt 2. Verwenden Sie nun Gleichung  [mm] {\left( 1\quad +\quad x \right) }^{ n }\quad \approx \quad 1\quad +\quad n\cdot x\quad für\quad \left| x \right| \quad \ll \quad [/mm] 1 mit n = 1/2 und x = 0,01 und berechnen Sie die Entwicklung von (1 + [mm] \bruch{1}{100})^{1/2} [/mm] :

(1 + [mm] \bruch{1}{100})^{1/2} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2}(0,01) [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{1}{2} (-\bruch{1}{2})}{2}(0,01)^2 [/mm] + ...

Schritt 3. Wegen |x| << 1 ist zu erwarten , dass der Betrag der Terme von zweiter und noch höherer Ordnung erheblich kleiner ist als der Betrag des Terms erster Ordnung. Bestimmen Sie einen Näherungsausdruck für das Binom a) nur mit den Termen nullter und erster Ordnung und b) mit den ersten beiden Termen:

a) Bei Berücksichtigung nur der Terme nullter und erster Ordnung ergibt sich
(1 + [mm] 0,01)^\bruch{1}{2} \approx [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}(0,01)= [/mm] 1 + 0,00500000 = 1,0050000

b) Berücksichtigen wir zusätzlich noch den Term zweiter Ordnung, so haben wir

(1 + [mm] 0,01)^\bruch{1}{2} \approx [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}(0,01)+ \bruch{\bruch{1}{2} * (-\bruch{1}{2})}{2}(0,01)^2 \approx [/mm] 1 + 0,0050000 - 0,0000125 = 1,0049875

Schritt 4. Setzen Sie diese Ergebnisse in die Gleichung von Schritt 1 ein:
Bei Berücksichtigung nur der Terme nullter und erster Ordnung ergibt sich

[mm] (101)^\bruch{1}{2} [/mm] = 10(1 + [mm] 0,01)^\bruch{1}{2} \approx [/mm] 10,050000

Bei zusätzlicher Berücksichtigung der Terme zweiter Ordnung ergibst sich

[mm] (101)^\bruch{1}{2} [/mm] = 10(1 + [mm] 0,01)^\bruch{1}{2} \approx [/mm] 10,049875

Plausibilitätsprüfung: Es ist zu erwarten, dass unsere Antwort 0,001 % genau ist. Der von [mm] (101)^{1/2} [/mm] beträgt, auf acht Stellen agegeben, 10,049876. Der Unterschied zu 10,050000 beträgt nur 0,000124, der Näherungswert weicht als erst in der vierten signifikanten Stelle ab
(1:10000). Zu 10,049875 tritt erst in der siebten signifikanten Stelle eine Differenz auf (1:10000000).



Das was ich nicht verstehe ist Schritt 4, hier soll Schritt 3 also die Ergebnisse der Entwicklungen der nullten und der ersten Ordnung in Schritt 1 eingesetzt worden sein  halt wie man auf 10,050000 kommt und auf die 10,049875.

Die Plausibilitätsprüfung verstehe ich ebenfalls nicht also wie man auf 0,001 % kommt, die signifikanten Stellen bestimmt, der Näherungswert 0,000124 und halt die Verhältnisse (1:10000).  Hoffe mir kann bei meinen Problemen geholfen werden.

VG :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Binomialentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:10 So 22.07.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Mir scheint der vorgeschlagene Weg irgendwie furchtbar kompliziert.
Man könnte doch sofort schreiben:

    [mm] $\sqrt{101}\ [/mm] =\ [mm] 10*\sqrt{1+0.01}$ [/mm]

und dann mit  x = 0.01  die Binomialentwicklung beginnen.

Weil ich verletzt bin (Handgelenksbruch), im Moment nur so knapp ...

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Binomialentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:11 So 22.07.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

Wurde ja bereits aber das macht ja keinen Unterschied ob ich 0,01 oder halt 1/100 schreibe, beides ist ja gleich. Ich dachte mir ,schreibste das als Bruch hin, vielleicht sieht das dann einfacher aus. Dies ist auch eher eine Beispielaufgabe und die ganze Aufgabe ist bereits in dem Beitrag von mir erklärt. Was ich nur nicht verstehe sind Schritt 4, wie man was einsetzen muss um auf die 10,050000, 10,049875 und halt die Plausibilitätsprüfung mit den ganzen Genauigkeiten und den signifikanten Stellen. Das bereitet mir eher so Kopfzerbrechen. Danke für deine Mühe trotzdem und VG :)

Bezug
                        
Bezug
Binomialentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 So 22.07.2018
Autor: Gonozal_IX

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hiho,

> Was ich nur nicht verstehe sind Schritt 4, wie man was einsetzen muss um auf die 10,050000, 10,049875

Das, was du vorher berechnet hast....

Du hast doch bereits bei Berücksichtigung der Terme nullter und erster Ordnung:
(1 + $ 0,01)^\bruch{1}{2} \approx $ 1 + $ \bruch{1}{2}(0,01)= $ 1 + 0,00500000 = 1,0050000

Damit ergibt sich für die Wurzel:
$\sqrt{101} = \sqrt{100}*(1+0,01)^\bruch{1}{2} \approx 10*1,0050000 = 10,05$

Analog gilt bei Berücksichtigung des Terms zweiter Ordnung:
(1 + $ 0,01)^\bruch{1}{2} \approx $ 1 + $ \bruch{1}{2}(0,01)+ \bruch{\bruch{1}{2} \cdot{} (-\bruch{1}{2})}{2}(0,01)^2 \approx $ 1 + 0,0050000 - 0,0000125 = 1,0049875

Und damit für die Wurzel:
$\sqrt{101} = \sqrt{100}(1+0,01}^\frac{1}{2} \approx = 10*1,0049875 = 10,049875$

Zur Plausibilitätsprüfung: Wir vernachlässigen alle Terme ab der dritten Ordnung, d.h. es ist anzunehmen, dass die Abweichung im Bereich $0,01^3 = 0,001%$ liegt (wobei das begründet werden müsste, aber das ist gerade mal egal).

Nun überprüfen wir mal, ob das so ist:
Die Abweichung vom "realen" Wert von Wurzel 10 betrifft bei der Berücksichtigung von Termen 1. Ordnung:

$|\sqrt{101} - 10,05| \approx 0,000124$
Die vierte Nachkommastelle Unterscheidet sich also, die vierte Nachkommastelle, entspricht einem Faktor von $10^-4 = \frac{1}{10000}$ was eben 1:10000 entspricht.
Wenn man dasselbe für den anderen Wert macht, erhält man eben eine Abweichung der Größenordnung $10^{-7}$.

Gruß,
Gono



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