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Binomialentwicklung: (1 + 0,001)^{-4} Abweichung ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:29 So 22.07.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

Aufgabe
Aufgabe:  Entwickeln Sie (1 + 0,01)^(-4). Verwenden Sie die nullte und in einer zweiten Rechnung zusätzlich die erste Ordnung der Binomialentwicklung nach (1 + [mm] x)^n \approx [/mm]  1 + n*x für |x| << 1. Berechnen Sie die Werte mit einem Taschenrechner und geben Sie die prozentuale Abweichung zwischen den beiden Werten an.


Also ich bin jetzt mal wie in der Aufgabe zuvor wie folgt heran gegangen:

0- Ordnung :
(1 + [mm] 0,001)^{-4} \approx [/mm] 1 + ... = 1

1- Ordnung:
(1 + [mm] 0,001)^{-4} \approx [/mm] 1 + (-4 * 0,001) = 1 - 0,004 = 0,996

Nun habe ich den absoluten Fehler bestimmt, den ich wie folgt berechnet habe:

absoluter Fehler:  y1 - y  und y2 - y mit y1 = 1 und y2 = 0,996 un y = (1 + [mm] 0,001)^{-4} [/mm]

Also:
y1 - y = 1 - (1 + [mm] 0,001)^{-4} [/mm] = 0,00399001996 [mm] \approx [/mm] 0,004 = 0,4%  
y2 - y = 0,996 - (1 + [mm] 0,001)^{-4} [/mm] = -0,0000998003 [mm] \approx [/mm] |- 0,00000998003| [mm] \approx [/mm]  0,00001 = 0,001%

Jetzt weich nicht, was mit prozentualer Abweichung zwischen den beiden Werten gemeint ist, die ich angeben muss.

VG :)  

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Binomialentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 So 22.07.2018
Autor: HJKweseleit


> Aufgabe:  Entwickeln Sie (1 + 0,01)^(-4). Verwenden Sie die
> nullte und in einer zweiten Rechnung zusätzlich die erste
> Ordnung der Binomialentwicklung nach (1 + [mm]x)^n \approx[/mm]  1 +
> n*x für |x| << 1. Berechnen Sie die Werte mit einem
> Taschenrechner und geben Sie die prozentuale Abweichung
> zwischen den beiden Werten an.
>  
> Also ich bin jetzt mal wie in der Aufgabe zuvor wie folgt
> heran gegangen:
>
> 0- Ordnung :
> (1 + [mm]0,001)^{-4} \approx[/mm] 1 + ... = 1
>  

Du rechnest mit einer Nachkomma-Null mehr als in der Aufgabenstellung...

> 1- Ordnung:
> (1 + [mm]0,001)^{-4} \approx[/mm] 1 + (-4 * 0,001) = 1 - 0,004 =
> 0,996
>
> Nun habe ich den absoluten Fehler bestimmt, den ich wie
> folgt berechnet habe:
>
> absoluter Fehler:  y1 - y  und y2 - y mit y1 = 1 und y2 =
> 0,996 un y = (1 + [mm]0,001)^{-4}[/mm]
>  
> Also:
> y1 - y = 1 - (1 + [mm]0,001)^{-4}[/mm] = 0,00399001996 [mm]\approx[/mm] 0,004
> = 0,4%  
> y2 - y = 0,996 - (1 + [mm]0,001)^{-4}[/mm] = -0,0000998003 [mm]\approx[/mm]
> |- 0,00000998003| [mm]\approx[/mm]  0,00001 = 0,001%
>
> Jetzt weich nicht, was mit prozentualer Abweichung zwischen
> den beiden Werten gemeint ist, die ich angeben muss.
>
> VG :)  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt

Du hast zunächst den Wert mit einem ganz einfachen Verfahren - nur Summe und Produkt - näherungsweise bestimmt, statt zu potenzieren. Dabei machst du aber einen Fehler. Die Frage ist, wie schlimm der Fehler ist. Du weichst nur 0,001 % vom wahren Wert ab, und das ist doch phänomenal dafür, dass du so einfach rechnen kannst.

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Binomialentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 So 22.07.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

Woher weiss ich denn das 0,001% der richtige prozentuale Wert für die Abweichung ist und nicht 0,4 % und habe ich das mit den Betragsstrichen richtig gemacht ? Also ich weiss ja das die Differenz gemeint und deswegen dachte ich mir, dass die Differenz ja eigentlich im Betrag sein muss aber bin mir da nicht so ganz sicher gewesen um ehrlich zu sein ^^.

Also einmal, sind die Betragsstriche um -0,00000998003 korret gesetzt und warum ist hier 0,001% die Abweichung und nicht 0,4%. Vielleicht habe ich auch einfach deinen Kommentar nicht verstanden, wenn es hier genau um die 0,001% geht.  Natürlich weiss ich ja das der Fehler, also die Abweichung genauer wird je höher die Ordnung ist aber das ist ja jetzt kein Indiz dafür das ich hier 0,4% ausser Acht lassen kann oder ?

Sorry wenn es sich etwas dumm anhört aber genau da harpert es noch bei mir ^^.

VG :)

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Binomialentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mo 23.07.2018
Autor: HJKweseleit


> Woher weiss ich denn das 0,001% der richtige prozentuale
> Wert für die Abweichung ist und nicht 0,4 %


Du hast den Vorgang noch nicht richtig durchschaut.

Berechnet werden soll [mm] (1+0,001)^{-4}. [/mm]
Der auf 15 Stellen genäherte Wert heißt 0,996009980034944.
Hierzu musst du 1,001 4-mal miteinander malnehmen, dann 1 dadurch teilen, und das ist relativ aufwändig.
Falls du den exakten Wert brauchst, geht kein Weg daran vorbei (Vereinfachung: [mm] 1,001^4=(1,001^2)^2). [/mm]
Nun startest du statt dessen eine Näherungsrechnung. Du machst einen Fehler, um besser rechnen zu können, und nimmst diesen bewusst in Kauf.

1. Variante: Statt mit 1,001 rechnest du einfach nur mit 1: [mm] 1^4=1 [/mm] statt 0,996009980034944. JETZT beträgt der Fehler 0,4 %.

2. Variante: Du nimmst noch ein weiteres Glied aus der Binomialentwicklung hinzu und rechnest [mm] 1^4-4*0,001=0,996 [/mm] statt 0,996009980034944. Jetzt ist dein Ergebnis viel genauer, also näher am richtigen Wert, und JETZT ist der Fehler nur noch 0,001%.



Ein einfaches Beispiel:

Wenn du für [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

0,3 schreibst, ist der Fehler 10 %
0,33 schreibst, ist der Fehler 1 %
0,333 schreibst, ist der Fehler 0,1 %
0,3333 schreibst, ist der Fehler 0,01 %
0,33333 schreibst, ist der Fehler 0,001 %
...

Fragst du hier auch: "Welcher %-Satz ist richtig? Ich muss doch die anderen auch mit einbeziehen"?

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Binomialentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mo 23.07.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

Das Problem ist hier bei mir das Textverständniss.
In der Aufgabe steht entwickeln Sie (1 + [mm] 0,001)^{-4}. [/mm] Verwenden Sie die "nullte" und in einer "zweiten" Rechnung zusätzlich die erste Ordnung der Binomialentwicklung nach (1 + [mm] x)^n \approx [/mm] 1 + nx  für |x| << 1.
Berechnen Sie die Werte mit einem Taschenrechner und geben Sie die prozentuale Abweichung zwischen den beiden Werten an.

Ich würde hier wie folgt vorgehen:
0- Ordnung:
(1 + [mm] 0,001)^{-4} \approx [/mm] 1 + ... = 1
1-Ordnung:
(1 + [mm] 0,001)^{-4} \approx [/mm] 1 + (-4)*(0,001) = 1 + (-0,004) = 0,996

Ab hier weiss ich nicht so wirklich weiter.
Deswegen wenn ich die Werte irgendwie subtrahiere miteinander dann kommt irgendwie das richtige Raus nur verstehe ich diesen Schritt nicht wirklich.
Vielleicht könntest du mir ab hier die Rechenschritte erklären.


Bezug
                                        
Bezug
Binomialentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Mo 23.07.2018
Autor: leduart

Hallo
es waren ja 2 Rechnungen verlangt, die erste die Abweichung bei der 0 ten Näherung vom richtigen Wert, da hast du mit 0,4% recht, musst nur seutlich sagen dass das die Abweichung der 0ten Näherung ist. mit der ersten Näherung verkleinert sich dann der Fehler auf 0,001%.
dass auch der erste Teil verlngt war hatte HJKweseleit  vielleicht übersehen.
Gruß leduart

Bezug
                                                
Bezug
Binomialentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Mo 23.07.2018
Autor: xXMathe_NoobXx

Also ist die Abweichung hier so zu verstehen, dass ich stets das Ergebnis der 0ten und der ersten Ordnung mit dem tatsächlichen Wert (TR), bestimmen muss. Also 0-Ordnung minus TR Wert und 1erste Ordnung - TR Wert.
Dann habe ich zwei Abweichungen, sprich zwei Fehler. die eine ist genauer wegen der höheren Ordnung und die andere ist das etwas diskreter.
Die Aufgabenstellung habe ich so verstanden, dass ich die Abweichung zwischen 0ter und 1Ordnung sprich Ergebnis 0ter Ordnung - 1te Ordnung.
Kannst nochma gerne dazu äussern aber ich denke jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank und viele Grüße :)

Bezug
                                                        
Bezug
Binomialentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Di 24.07.2018
Autor: leduart

Hallo
man hat 3 Werte: TR,  0-te Nh, 1.Nh
dann die Aufgabe: geben Sie die prozentuale Abweichung zwischen den beiden Werten an
kann man nätürlich je 2 Werte der 3 vergleichen. also auch 0te und 1. Nh
das letzte ist aber wohl nicht sehr sinnvoll, man will ja wohl wissen, wievielbesser (bzw, weniger Fehler) die 1. Nh ist, dazu muss man jeweils mit dem exakten Wert vergleichen.
(2 Näherungen zu vergleichen ist ja nicht sehr sinnvoll, wenn 2 Näherungen  auf 5 Stellen übereinstimmen könnten beide ja noch völlig falsch sein)
Gruß leduart

Bezug
                                                        
Bezug
Binomialentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 Di 24.07.2018
Autor: HJKweseleit

Wenn du das Ganze wortwörtlich nimmst, müsstest du tatsächlich den 2. Fehlerprozentsatz als Prozent des ersten Fehlerprozentsatzes ausdrücken:

0,001%/0,4%=0,0025=0,25%, d.h.

Der 2. Fehler ist nur noch 0,25 % so groß wie der erste.

Auch das ist eine sinnvolle Angabe.

Versuche aber bitte nicht, hier mit Differenzen zu Rechnen: Prozentangaben sind immer Anteile (bei mehr als 100 % eben Vielfache), sie geben ein Verhältnis an.

Wenn man nicht genau entscheiden kann, was der Fragesteller wissen will, ergänzt man seine Antwort durch entsprechende Aussagen.

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