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hallo liebe Mathefreunde,
ich habe mir die Herleitung der Binomialverteilung angesehen und so gut wie verstanden.
Mir ist dann etwas aufgefallen, was ich so nie gesehen habe und zwar eine andere Interpretationsmöglichkeit des Binomialkoeffizienten.
So verstehe ich den Binomialkoeffizient und so interpretiere ich ihn immer:
49 über 6:
Man hat 49 verschiedene Kugeln, und 6 Plätze/Schalen, also
_ _ _ _ _ _ jetzt kann ich 1 2 3 4 5 6 ziehen, ich kann auch
1 2 3 4 5 7 ziehen, 1 2 3 4 5 49 ist auch möglich etc.
Natürlich ist die Reihenfolge egal und Zahlen kommen nicht doppelt vor da beim Binomialkoeffizient die Reihenfolge egal ist.
Nun gibt es eine andere Interpretationsmöglichkeit die ich nicht verstehe:
Angenommen ich habe 5 Würfelwurfe und möchte wissen wie viele Möglichkeiten es gibt 2 6-er zu haben, dann lässt sich das beschreiben durch 5 über 2.
Die Darstellung sah so aus:
1. 6, 6, #, #, # <--- werden hier nicht die Möglichkeiten vergessen wo #
2. 6, #, 6, #, #
3. 6, #, #, 6, #
4. 6, #, #, #, 6
5. #, 6, 6, #, #
6. #, 6, #, 6, #
7. #, 6, #, #, 6
8. #, #, 6, 6, #
9. #, #, 6, #, 6
10. #, #, #, 6, 6
1. 6, 6, #, #, # <--- werden hier nicht die Möglichkeiten vergessen wo #
1, 2, 3, 4, 5, 6 sein kann?
Ich verstehe diese Interpretationsmöglichkeit, ich würde das eher so interpretieren:
Man hat 5 Kugeln und 2 Plätze.
Wie man sieht ist meine Betrachtungsart falsch.
Wieso kann man das auch so interpretieren?
Wie könnt man diesen Fall mit der Kugel/Platz Interpretation darstellen?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und meinen Denkfehler korrigieren.
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Hallo,
> hallo liebe Mathefreunde,
>
> ich habe mir die Herleitung der Binomialverteilung
> angesehen und so gut wie verstanden.
> Mir ist dann etwas aufgefallen, was ich so nie gesehen
> habe und zwar eine andere Interpretationsmöglichkeit des
> Binomialkoeffizienten.
>
> So verstehe ich den Binomialkoeffizient und so
> interpretiere ich ihn immer:
>
> 49 über 6:
> Man hat 49 verschiedene Kugeln, und 6 Plätze/Schalen,
> also
> _ _ _ _ _ _ jetzt kann ich 1 2 3 4 5 6 ziehen, ich kann
> auch
> 1 2 3 4 5 7 ziehen, 1 2 3 4 5 49 ist auch möglich etc.
> Natürlich ist die Reihenfolge egal und Zahlen kommen
> nicht doppelt vor da beim Binomialkoeffizient die
> Reihenfolge egal ist.
>
> Nun gibt es eine andere Interpretationsmöglichkeit die ich
> nicht verstehe:
>
> Angenommen ich habe 5 Würfelwurfe und möchte wissen wie
> viele Möglichkeiten es gibt 2 6-er zu haben, dann lässt
> sich das beschreiben durch 5 über 2.
> Die Darstellung sah so aus:
> 1. 6, 6, #, #, # <--- werden hier nicht die
> Möglichkeiten vergessen wo #
> 2. 6, #, 6, #, #
> 3. 6, #, #, 6, #
> 4. 6, #, #, #, 6
> 5. #, 6, 6, #, #
> 6. #, 6, #, 6, #
> 7. #, 6, #, #, 6
> 8. #, #, 6, 6, #
> 9. #, #, 6, #, 6
> 10. #, #, #, 6, 6
>
> 1. 6, 6, #, #, # <--- werden hier nicht die
> Möglichkeiten vergessen wo #
> 1, 2, 3, 4, 5, 6 sein kann?
>
> Ich verstehe diese Interpretationsmöglichkeit, ich würde
> das eher so interpretieren:
> Man hat 5 Kugeln und 2 Plätze.
> Wie man sieht ist meine Betrachtungsart falsch.
Nein, die ist schon richtig. Du darfst nicht vergessen, dass es bei dieser Betrachtung (noch) nicht um Wahrscheinlichkeiten geht. Insofern kann man das Ereignis, eine Sechs zu würfeln oder eben keine, gleichwertig behandeln und damit insgesamt die Fälle [mm] \{1;2;3;4;5\} [/mm] eben zu 'nicht Sechs' zusammenfassen. Dann ist man aber genau bei deiner Interpretation.
Gruß, Diophant
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Ahh okay, Man hat 5 Kugeln und 2 Plätze, aber OHNE die 6.
Wenn ich den fall 6, 6, #, #, # betrachte, haben die dann nicht folgende Fälle vergessen?
6, 6, 1, 1, 1
6, 6, 2, 2, 2
6, 6, 3, 3, 3
6, 6, 4, 4, 4
6, 6, 5, 5, 5
6, 6, 6, 6, 6
6, 6, 1, 2, 3
6, 6, 1, 2, 4
6, 6, .... etc.?
Außerdem betrachtet Binomialkoeffizient nur unterschiedliche Elemente, also müssten es doch mehrere Möglichkeiten von
6, 6, #, #, # geben, also
6A, 6B, #, #, #
6C, 6D, #, #, # etc.
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Hallo,
das hast du falsch verstanden. Die Sechser sind die gezogenen Kugeln, die Platznummern, an denen sie bei Beachtung der Reihenfolge landen sind die Nummern der Kugeln, die nämlich unterscheidbar sein müssen. Die Möglichkeiten für die Würfe, bei denen keine Sechs fällt spielen - ich wiederhole es - keinerlei Rolle bei dieser Betrachtung.
Gruß, Diophant
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ok, du meinst das also so:
5 über 2 mit der anderen Betrachtungsart:
ich habe 2 6-er und 5 unterschiedliche Plätze die ich aus der Urne nehme und auf diese 2 6-er ohne Wiederholung kombiniere.
Mit anderen Worten:
2 6-er: 6A und 6B
Nun kann 6A Position 1, 2, 3, 4 oder 5 haben, das gleiche gilt auch für 6B wobei eine Zahl niemals doppelt vorkommen darf da ohne Wiederholung.
Die Betrachtung ist mir jetzt klar, aber sie betrachtet nicht was mit den anderen Stellen passieren kann, also was ich im letzten Post geschrieben habe.
Ich versteh nicht wieso die Möglichkeiten für die Würfe, bei denen keine Sechs fällt keinerlei Rolle spielen.
Damit betrachte ich doch nicht alle Möglichkeiten.
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Hallo,
> Die Betrachtung ist mir jetzt klar, aber sie betrachtet
> nicht was mit den anderen Stellen passieren kann, also was
> ich im letzten Post geschrieben habe.
Doch, tut es.
> Ich versteh nicht wieso die Möglichkeiten für die
> Würfe, bei denen keine Sechs fällt keinerlei Rolle
> spielen.
> Damit betrachte ich doch nicht alle Möglichkeiten.
Alle, welche dich interessieren. UNd nochmals: es geht hier nicht um Wahrscheinlichkeiten, also spielt es keine Rolle, ob es von der einen oder anderen Sorte Kugeln mehr oder weniger gibt. Es geht einzig und allein darum, die Anzahl an Mögglichkeiten zu zählen, wie sich k Treffer und n-k 'Nieten' anordnen lassen.
Gruß, Diophant
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Mir ist es klar das es nicht um Wahrscheinlichkeiten geht, aber
ich glaube ich habe das verstanden, brauche aber deine Bestätigung:
also ich habe
6 IRGENDWAS 6 IRGENDWAS IRGENDWAS:
Soll bedeuten das ich zuerst eine 6 Würfele dann kommt irgend eine Zahl dann wieder die und dann 2 mal irgendwas.
Das beschreibt eine von 5 über 2 Möglichkeiten die 6-er und die "Nieten" zu Kombinieren.
Wenn man jetzt alles noch gewichtet, dann betrachte man nicht nur die Wahrscheinlichkeiten, sondern auch das IRGENDWAS 1,2,3,4 oder 5 sein kann.
Hoffe das stimmt.
Mir ist aber immer noch nicht wirklich klar wieso man die anderen fälle weg lässt, also: 6 1 6 1 1, 6 2 6 2 2....
Ich stell mir die Möglichkeiten mit einem Baumdiagramm vor, vielleicht ist da der Denkfehler.
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Hallo,
> Mir ist es klar das es nicht um Wahrscheinlichkeiten geht,
> aber
> ich glaube ich habe das verstanden, brauche aber deine
> Bestätigung:
> also ich habe
>
> 6 IRGENDWAS 6 IRGENDWAS IRGENDWAS:
> Soll bedeuten das ich zuerst eine 6 Würfele dann kommt
> irgend eine Zahl dann wieder die und dann 2 mal irgendwas.
>
> Das beschreibt eine von 5 über 2 Möglichkeiten die 6-er
> und die "Nieten" zu Kombinieren.
Ja, genau so ist es.
> Wenn man jetzt alles noch gewichtet, dann betrachte man
> nicht nur die Wahrscheinlichkeiten, sondern auch das
> IRGENDWAS 1,2,3,4 oder 5 sein kann.
> Hoffe das stimmt.
Ic h verstehe nicht, was du hier mit gewichten meinst. Könntest du das (falls es noch notwendig ist) präzisieren?
>
> Mir ist aber immer noch nicht wirklich klar wieso man die
> anderen fälle weg lässt, also: 6 1 6 1 1, 6 2 6 2 2....
> Ich stell mir die Möglichkeiten mit einem Baumdiagramm
> vor, vielleicht ist da der Denkfehler.
Es geht um eine Binomialverteilung. Das zu Grunde liegende Experiment ist damit eine BErnozuliikette der Länge n, bei der per definizionem jeder einzelne Durchgang nur zwei mögliche Ergebnisse kennt. Treffer und Niete sozusagen, oder wie immer man das nennen möchte. In deinem Beispiel sind die Sechsen die Treffer und alle anderen Augenzahlen zusammen die Nieten. Jetzt klarer?
Gruß, Diophant
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Mir gibt es nie um die Binomialverteilung, das hat sich nur ergeben.
Was ich nicht verstehe ist die Art der Interpretation:
Es ist klar was mit 49 über 6 gemeint ist bzw. was man sich darunter vorstellen kann (49 Kugeln und 6 Plätze, keine Wiederholung)
Bei meinem Beispiel, mit den 5 Würfelwurfen und genau 2 6er.
Klar ist das eine frage nach Wahrscheinlichkeit, aber darum geht es mir nicht.
Hier lautet die Frage nach der Kombinationsmöglichkeit 2 Erfolge von insgesamt 5 Würfen. Deshalb wurde 5 über 2 gerechnet.
Aber was ich hier sehe ist nur eine Aufzählung der Reihenfolge:
6, 6, #, #, # <--- Ich werfe zuerst eine 6 danach eine 6 dann...
6, #, 6, #, # <--- ich werfe zuerst eine 6 danach etwas anderes...
usw.
Ich frage mich wieso nur diese Aufzählung reicht.
Um zu verstehen wo mein Problem ist, versuche ich das mal anders:
Angenommen ich würde die Wahrscheinlichkeit berechnen wollen
"genau 2 6-er von 5 Würfen"
Dann würde ich das einfach so berechnen:
"Alle Tupel wo genau 2 6-er drin sind" / "Alle Tupel die es gibt"
= "Alle Tupel wo genau 2 6-er drin sind" / [mm] 6^5
[/mm]
"Alle Tupel wo genau 2 6-er drin sind" != 5 über 2
Vielleicht erkennst du jetzt mein Problem / Denkfehler.
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Hallo,
> Mir gibt es nie um die Binomialverteilung, das hat sich nur
> ergeben.
ich habe mir die Herleitung der Binomialverteilung angesehen und so gut wie verstanden.
Das ist dein erster Satz in dem ganzen Thread, so viel dazu.
> Was ich nicht verstehe ist die Art der Interpretation:
> Es ist klar was mit 49 über 6 gemeint ist bzw. was man
> sich darunter vorstellen kann (49 Kugeln und 6 Plätze,
> keine Wiederholung)
>
> Bei meinem Beispiel, mit den 5 Würfelwurfen und genau 2
> 6er.
> Klar ist das eine frage nach Wahrscheinlichkeit, aber
> darum geht es mir nicht.
Nein, warum nimmst du das nicht endlich zur Kenntnis: beider Frage des Abzählens der Reihenfolgen ist es keine Frage der Wahrscheinlichkeit. Soll ich mich im Halbkreis auftsellen und das im Kanon vorsingen, dass es vielleicht klarer wird? 
> Hier lautet die Frage nach der Kombinationsmöglichkeit 2
> Erfolge von insgesamt 5 Würfen. Deshalb wurde 5 über 2
> gerechnet.
>
> Aber was ich hier sehe ist nur eine Aufzählung der
> Reihenfolge:
> 6, 6, #, #, # <--- Ich werfe zuerst eine 6 danach eine 6
> dann...
> 6, #, 6, #, # <--- ich werfe zuerst eine 6 danach etwas
> anderes...
> usw.
>
> Ich frage mich wieso nur diese Aufzählung reicht.
> Um zu verstehen wo mein Problem ist, versuche ich das mal
> anders:
>
> Angenommen ich würde die Wahrscheinlichkeit berechnen
> wollen
> "genau 2 6-er von 5 Würfen"
>
> Dann würde ich das einfach so berechnen:
> "Alle Tupel wo genau 2 6-er drin sind" / "Alle Tupel
> die es gibt"
> = "Alle Tupel wo genau 2 6-er drin sind" / [mm]6^5[/mm]
>
> "Alle Tupel wo genau 2 6-er drin sind" != 5 über 2
>
> Vielleicht erkennst du jetzt mein Problem / Denkfehler.
Du würfelst zwei verschiedene Zählweisen durcheinander. Entweder, du berücksichtigst tatsächlich bei den Nicht-Sechsen jede unterschiedlcihe Zahl. Dann aber ist es keine Binomialverteilung mehr und es muss entsprechend völlig anders gerechnet werden. Oder du vergisst die Unterschiede der Nicht-Sechsen, und dann gilt das bisher Gesagte.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mo 10.02.2014 | | Autor: | MatheMario |
Erstmals vielen Dank, ich glaube ich habe es jetzt verstanden, aber erst nachdem ich den vorletzten Post von dir nochmals durchgelesen habe.
Es handelt sich, wie du schon gesagt hast, um eine Bernoulli-Kette und das ist der Springende Punkt:
Angenommen ich möchte genau zwei 6-er bei 5 Würfelwürfen:
Ich kann zuerst eine 6, dann wieder eine 6 und dann 3 nicht 6-er.
Ich kann zuerst eine 6 und dann 4 nicht 6-er.
usw.
Wenn ich dann die Wahrscheinlichkeit berechne wird die andere Interpretationsmöglichkeit den Binomialkoeffizienten klarer, womit ich Probleme hatte.
[mm] $\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}*\bruch{5}{6}*\bruch{5}{6}$ [/mm] + [mm] $\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}*\bruch{5}{6}*\bruch{5}{6}$ [/mm] + ....
Also habe ich 5 über 2 viele Summen, da man sich fragt wie viele Kombinationsmöglichkeiten es gibt 5 Plätze auf 2 6-er Zahlen unterschiedlich zu verteilen.
Genauer fragt man sich wie viele Kombinationen es gibt 5 Plätze auf zwei [mm] $\bruch{1}{6}$ [/mm] Gewichtungen zu platzieren, da ist die Nummer des Würfels egal.
Jetzt ist alles klar!
Vielen Vielen Dank Diophant. Dank dir habe ich eine neue Betrachtung des Binomialkoeffizienten kennengelernt.
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