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| Aufgabe | Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 1 mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] = [mm] 2^{2n-1} [/mm] |
Hallöle ^^
Ich komme mit dieser Gleichung heute einfach nicht klar.
Das einzige was ich mir bisher dazu überlegen konnte war [mm] 2^{2n-1}
[/mm]
als [mm] (1+1)^{2n-1} [/mm] zu schreiben und dann den Binomischen Lehrsatz darauf anzuwenden.
Somit steht dann dort [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2^{2n-1}} \vektor{2^{2n-1} \\ k} [/mm] . Aber weiß damit leider nix anzufangen :/
Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp dazu geben. Ich bin dankbar für jede Hilfe :)
mfg der Iwan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 1 mit Hilfe
> des Binomischen Lehrsatzes:
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> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\
2k}[/mm] = [mm]2^{2n-1}[/mm]
> Hallöle ^^
>
> Ich komme mit dieser Gleichung heute einfach nicht klar.
>
> Das einzige was ich mir bisher dazu überlegen konnte war
> [mm]2^{2n-1}[/mm]
> als [mm](1+1)^{2n-1}[/mm] zu schreiben und dann den Binomischen
> Lehrsatz darauf anzuwenden.
Schau bitte noch einmal nach, wie der geht.
>
> Somit steht dann dort [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\
2k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{2^{2n-1}} \vektor{2^{2n-1} \\
k}[/mm] . Aber weiß
Das ist ja auch Humbug!
[mm]2^{2n-1}=(1+1)^{2n-1}=\sum_{k=0}^{2n-1}\binom{2n-1}{k} 1^{2n-1-k}1^{k} =\sum_{k=0}^{2n-1}\binom{2n-1}{k}=\ldots[/mm]
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Ach mist stimmt völlig vertan :) danke für den Hinweis
bloß leider habe ich immer noch keinen Schimmer wie ich von dort aus auf
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k} [/mm] kommen soll
Ich hatte schon probiert mit auseinanderschreiben und so aber den den ganzen Fakultäten lässt sich irgendwie nicht mehr so viel rechnen ...
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp dazu geben?
mfg der Iwan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 So 05.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Ach mist stimmt völlig vertan :) danke für den Hinweis
>
> bloß leider habe ich immer noch keinen Schimmer wie ich
> von dort aus auf
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k}[/mm] kommen soll
>
> Ich hatte schon probiert mit auseinanderschreiben und so
> aber den den ganzen Fakultäten lässt sich irgendwie nicht
> mehr so viel rechnen ...
>
> Kann mir vielleicht jemand einen Tipp dazu geben?
Vollständige Induktion?!?
Gruß Abakus
>
> mfg der Iwan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 So 05.06.2011 | | Autor: | sangham |
ach.... hat sich erledigt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 So 05.06.2011 | | Autor: | sangham |
Hallo Iwan, es ist gar nicht so schwer, aber man muss ein bisschen um die ecke denken...
[mm] 2^{2n} [/mm] = [mm] (1+1)^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ k}
[/mm]
dann 0 = [mm] (1-1)^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2n}(-1)^k \vektor{2n \\ k}
[/mm]
wenn du beides addierst (am besten mal aufmalen , kommst du auf
[mm] 2^{2n} [/mm] = [mm] 2\summe_{k=0}^{2n}\vektor{2n \\ 2k}
[/mm]
für k>n ist der Koeffizient Null, so dass du auf die gewünschte Aussage kommst.
LG
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Ok das ist ja echt nen bissel Tricky ^^
danke sehr euch beiden für die schnelle Reaktion :)
mfg
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