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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 03.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Identität.
[mm] \sum^n_{k=0}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] = [mm] 2^n
[/mm]
Hinweis: "Trick": Formulieren Sie die rechte Seite mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes. |
Hallo,
Nach monatelangen Mitlesens, hab ich mich jetzt doch eingeloggt. Ich hoffe es kann mir wer bei meinem Beispiel helfen. P.s: Meine mathematik_kenntnisse sind Maturnaniveau.
Ich dachte an vollständige Induktion
Induktionsanfang:
n=1
[mm] \sum^1_{k=0}\begin{pmatrix} 1 \\ k \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = 1+1 = [mm] 2^1
[/mm]
I.Annahme:
[mm] \sum^n_{k=0}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] = [mm] 2^n
[/mm]
Zuzeigen:
[mm] \sum^{n+1}_{k=0} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} [/mm] = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
[mm] \sum^{n+1}_{k=0}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\sum^{n}_{k=0} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} [/mm]
I.Annahme anwenden
[mm] 2^n [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}
[/mm]
Ja viel kann ich damit nich anfangen. Und den Hinweis hab ich nicht verwendet, weil ich den nicht verstehe. Wahrscheinlich muss man anders an die sache herangehen!
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin sissile,
Kennst du die allgemeine bionmische Formel?
[mm] $(a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^n a^kb^{n-k}{n \choose k}$
[/mm]
Mit Hilfe dieser Formel kannst du es ganz einfach zeigen, ohne vollständige Induktion. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 03.11.2011 | | Autor: | sissile |
Ja ist mir bekannt (auch schon mal in einer voll. Induktion bewiesen). Aber was der mit meiner Aufgabe zu tun hat, ist mir nicht klar. Tschuldigung-.-
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Tipp:
[mm] $2^n [/mm] = [mm] (1+1)^n$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 03.11.2011 | | Autor: | sissile |
Ah!! Vielen Danke
Ich führe mal an:
[mm] \sum^n_{k=0}\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}= [/mm]
[mm] \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} [/mm] * [mm] 1^k [/mm] * [mm] 1^{n-k}
[/mm]
Darf ich die rechte Summe auf die linke seite dividieren?
dann steht
1= 1
War das jetzt falsch?
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[mm] $2^n [/mm] = [mm] (1+1)^n [/mm] =$ bin. Formel = 1 weglassen
so würde ich es aufschreiben (den Text musst du natürlich noch in Terme umformen).
Die 1 kannst du weglassen, da $a*1 = a$ gilt, diese Einsen (und auch ihre Potenzen) also nix am Wert ändern.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 03.11.2011 | | Autor: | sissile |
$ [mm] \sum^n_{k=0}\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}=$$ \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} [/mm] $ * [mm] 1^k [/mm] * [mm] 1^{n-k}
[/mm]
was dann ist
$ [mm] \sum^n_{k=0}\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}=$$ \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} [/mm] $
w. Aussage.
Also bewiesen! Stimmt das so jetzt?? Wäre nett wenn du noch kurz drüberschaust ob das korrekt ist!
2)Aufgabe ist
[mm] \sum^n_{k=0} (-1)^k \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} [/mm] =0
[mm] 0=(0+0)^2
[/mm]
[mm] (0+0)^2 [/mm] = [mm] \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} [/mm] * [mm] 0^{n-k} [/mm] * [mm] 0^k
[/mm]
Also
[mm] \sum^n_{k=0} (-1)^k \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}=\sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} [/mm] * [mm] 0^{n-k} [/mm] * [mm] 0^k
[/mm]
0 hoch irgendetwas ist doch immer 0, also ist die rechte summe 0? Das kann doch nicht korrekt sein!
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Zum ersten Beispiel:
Du beginnst mit [mm] 2^n [/mm] und formst es um:
[mm] 2^n=(1+1)^n. [/mm] Jetzt formst du diesen Ausdruck mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes um, und dann erkennst du das du die Einser weglassen kannst.
Du hast also sozusagen eine "Istgleich-Kette", bei der links deine [mm] 2^n [/mm] und rechts das gewünschte steht.
Aus einer am Schluss erhaltenen wahren Aussage kannst du im übrigen nicht schließen, dass die Grundaussage, von der du ausgehst, wahr ist.
Zu deiner zweiten Aufgabe: Ist so leider nicht korrekt, da du nicht die zu beweisende Aussage verwenden darfst (wie du es im Schritt nach dem "also" tust). Was du gemacht hast, ist folgendes:
Du hast angenommen, dass die Aussage schon bewiesen ist, und hast dadurch eine weitere, völlig andere Identität bewiesen.
Fang am besten nochmals von vorne an. Du brauchst einen ähnlichen Ansatz wie in der 1. Aufgabe. Wie könntest du die 0 denn noch in Summanden zerlegen, sodass du auf einen Ausdruck kommst, der dem gewünschten Resultat vielleicht ähnlich schaut?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 03.11.2011 | | Autor: | sissile |
Okay, ich mache noch mal beide von vorne. Wäre lieb, wenn sich dass nochmals wer kurz anschauen würde.
1)
[mm] 2^n [/mm] = [mm] (1+1)^n
[/mm]
[mm] (1+1)^n [/mm] = [mm] \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} [/mm] * [mm] 1^k [/mm] * [mm] 1^{n-k}=\sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}
[/mm]
fertig oder?
2)
[mm] 0^n [/mm] = [mm] (-1+1)^2
[/mm]
[mm] (-1+1)^2= \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} [/mm] * [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] 1^{n-k}= \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} [/mm] * [mm] (-1)^k
[/mm]
Jetzt korrekt?
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Hallo sissile,
> Okay, ich mache noch mal beide von vorne. Wäre lieb, wenn
> sich dass nochmals wer kurz anschauen würde.
>
> 1)
> [mm]2^n[/mm] = [mm](1+1)^n[/mm]
> [mm](1+1)^n[/mm] = [mm]\sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\
k \end{pmatrix}[/mm] * [mm]1^k[/mm] * [mm]1^{n-k}=\sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\
k \end{pmatrix}[/mm]
>
> fertig oder?
>
> 2)
> [mm]0^n[/mm] = [mm](-1+1)^2[/mm]
> [mm](-1+1)^2= \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\
k \end{pmatrix}[/mm] * [mm](-1)^k[/mm] * [mm]1^{n-k}= \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\\
k \end{pmatrix}[/mm] * [mm](-1)^k[/mm]
>
> Jetzt korrekt?
1) ist so ok. Bei 2) hast Du noch einen Tippfehler: es geht doch nicht um Quadrate... Aber sonst ist alles gut.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Do 03.11.2011 | | Autor: | sissile |
Ja da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen. statt ^2, ^ n
Vielen Dank an alle, die mich mit den zwei Beispielen begleitet haben.
Werde wenn ich darf gerne auf eure Hilfe zurückgreifen!
Finde das toll,dass ihr freiwillig anderen Leuten helft!!
Vielen Dank,
Tschau
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