Binomialkoeffizient + Konv.Rad < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gesucht ist der Konvergenz-Radius und die 3. Ableitung von:
[mm] \wurzel[6]{3^5} \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{5/6 \\ n} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3} [/mm] * [mm] x)^n [/mm] |
Hallo alle zusammen
Nun ganz kurz: Ich würde hier den Konvergenzradius über das Quotientenkriterium ausrechnen, nur ich mache hier irgendetwas falsch, glaube ich:
Hier mein Zwispalt: Definiere ich [mm] a_n [/mm] nach Methode (1) oder nach Methode (2) richtig?
(1) von mir aus logischerer Weg:
[mm] a_n= \vektor{5/6 \\ n} [/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \vektor{5/6 \\ n+1}
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] a_n= \vektor{5/6 \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{5/6!}{n!*(5/6-n)!}
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \vektor{5/6 \\ n+1} [/mm] = [mm] \bruch{5/6!}{n!*(5/6-n-1)!}
[/mm]
R=lim [mm] |a_n/a_{n+1}| [/mm] = [mm] \bruch{5/6!}{n!*(5/6-n)!} [/mm] * [mm] \bruch{n!*(5/6-n-1)!}{5/6!} [/mm] = [mm] \bruch{(5/6-n-1)!}{(5/6-n)!} [/mm] ab hier komme ich nicht mehr weiter...
und
a_(n+1)
(2) von mir aus gesehen etwas unlogischer:
[mm] a_n= \vektor{5/6 \\ n} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^n
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \vektor{5/6 \\ n+1} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^{n+1}
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] a_n= \vektor{5/6 \\ n} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^n [/mm] = [mm] \bruch{5/6!}{n!*(5/6-n)!} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^n
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \vektor{5/6 \\ n+1} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^{n+1} =\bruch{5/6!}{n!*(5/6-n-1)!} [/mm] * [mm] (\bruch{2}{3})^{n+1}
[/mm]
R=lim [mm] |a_n/a_{n+1}| [/mm] = [mm] \bruch{5/6!}{n!*(5/6-n)!} [/mm] * 3/2 * [mm] \bruch{n!*(5/6-n-1)!}{5/6!} [/mm] = 3/2 * [mm] \bruch{(5/6-n-1)!}{(5/6-n)!} [/mm] ebenso hier, mir fällt eben das Berechnen des Limes vom Bruch schwer.
Kann mir hier jemand sagen welches der richtige Weg wäre, sofern ich überhaupt auf dem richtigen bin?
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
Was haltet ihr von folgendem Vorgehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5/6-n}{n+1} [/mm] = 1
y=3/2*x
das y stammt daher:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{5/6 \\ n} *y^n
[/mm]
|y| < R
-1 < 3/2*x < 1
-2/3 < x <2/3
R=2/3
Ich muss zugeben, das habe ich jetzt ganz billig von einer anderen Übung abgemalt, ganz verstanden habe ich folgende Schritte nicht: Woher kommt denn das: [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{5/6-n}{n+1} [/mm] - also ist das immer so,dass :
[mm] \vektor{a \\ n} [/mm] wird im Quotientenkriterium zu:
[mm] \bruch{a-n}{n+1} [/mm] ?
lg
|
|
|
| |
|
Ich verstehe deine Schreibweise nicht, aber das hier hilft dir vielleicht trotzdem weiter:
Die beiden Fakultäten sind fast identisch:
$ [mm] \bruch{(5/6-n-1)!}{(5/6-n)!} [/mm] = [mm] \bruch{(5/6-n-1)!}{(5/6-n-1)!*(5/6-n)} =\frac{1}{5/6-n} [/mm] $
Zumindest bei den "normalen" Fakultäten, die ich kenne, ist das so. Vielleicht gilt das hier bei deinen so nicht, das weiß ich wie gesagt nicht.
lg weightgainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Alles was ich bisher zu dieser Frage gelesen habe, krankt an daran, dass offensichtlich nicht die Def. der allg. Binomialkoeffizienten verwendet wurde:
Für [mm] \alpha \in \IR [/mm] und k [mm] \in \IZ [/mm] ist
$ [mm] {\alpha \choose k} [/mm] := [mm] \begin{cases}\frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdot \, \dots \, \cdot (\alpha - (k - 1))}{k!} &\mbox{,wenn } k>0\\ 1 &\mbox{,wenn } k=0\\ 0 &\mbox{,wenn } k<0 \end{cases} [/mm] $
In den obigen Beiträgen wird völlig skrupellos von (5/6-n-1)! und anderem geredet !
Was soll denn z.B. (5/6)! sein ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Di 11.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
> Alles was ich bisher zu dieser Frage gelesen habe, krankt
> an daran, dass offensichtlich nicht die Def. der allg.
> Binomialkoeffizienten verwendet wurde:
>
> Für [mm]\alpha \in \IR[/mm] und k [mm]\in \IZ[/mm] ist
>
> [mm]{\alpha \choose k} := \begin{cases}\frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdot \, \dots \, \cdot (\alpha - (k - 1))}{k!} &\mbox{,wenn } k>0\\ 1 &\mbox{,wenn } k=0\\ 0 &\mbox{,wenn } k<0 \end{cases}[/mm]
>
> In den obigen Beiträgen wird völlig skrupellos von
> (5/6-n-1)! und anderem geredet !
>
> Was soll denn z.B. (5/6)! sein ?
>
> FRED
5/6 = 0,833.. ?
also wäre das der erste Fall den du genannt hast?
Also ist der Beitrag von weight gainer auch nicht richtig oder wie?
|
|
|
| |
|
Ja, ist falsch - ich wusste nicht, dass du mit 5/6 tatsächlich [mm] \frac{5}{6} [/mm] gemeint hast - hätte ja auch eine spezielle andere Schreibweise sein können, die ich nicht kenne (so hatte ich das auch geschrieben).
Du musst dann aber beim Rechnen aufpassen und die von Fred genannte Definition des Binomialkoeffizienten benutzen:
Für n>0 ist:
[mm] $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\vektor{ 5/6 \\ n}}{\vektor{ 5/6 \\ n + 1}} [/mm] = [mm] \frac {\frac{5/6*(5/6-1)*....* (5/6-(n-1))}{n!}}{\frac{5/6*(5/6-1)*...*(5/6-n}{(n+1)!}}$
[/mm]
Jetzt kann man vieles kürzen:
[mm] $=\frac{n+1}{5/6-n} [/mm] $
Im Grunde steckt das gleiche dahinter, es sind fast identische Produkte in Zähler und Nenner, von [mm] \frac{(n+1)!}{n!} [/mm] bleibt eben nur n+1 übrig und vom Rest entsprechend auch nur die eine Klammer.
Und mit dem Term kann man doch was anfangen  .
lg weightgainer
|
|
|
|
