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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Binomialkoeffizient - Symm.
Binomialkoeffizient - Symm. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Binomialkoeffizient - Symm.: Induktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Mo 26.12.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Beweisen Sie die Identität mit vollständiger Induktion über n unter Verwendung der Rekursion für Binomialkoeffizienten.

[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm] für alle n,k [mm] \in \IN [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n

Hallo,

ich soll die Identität mit Induktion beweisen.

Da steht ja unter Verwendung der Rekursion für Binomialkoeff. ALso die beiden hier:

[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm]

und

[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{k!}{(n-k)k!} [/mm]

Ich spare mir mal den Induktionsanfang und kürze ab:

IV : Es gelte [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm]

IS: n -> n+1

[mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm]

Wie gehe ich jetzt am besten vor, ich muss jetzt irgendwie auf [mm] \vektor{n+1 \\ n+1-k} [/mm] kommen.

Hat jemand einen Tipp, welche Rekursionsformel ich hier benutzen sollte, um es nicht unnötig kompliziert zu machen?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Binomialkoeffizient - Symm.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Mo 26.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

dein Ansatz ist doch richtig*.

Die beiden Summanden auf der rechten Seite lassen sich jetzt entsprechend der Induktionsvoraussetzung umformen. Dann die Addition zweier benachbarter Binomialkoeffizienten anwenden, und du bis fertig.

*Den Induktionsanfang wegzulassen ist noch nie eine gute Idee gewesen.

Gruß, Diophant

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Bezug
Binomialkoeffizient - Symm.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:34 Di 27.12.2016
Autor: sinnlos123

Ich möchte zustimmen, dass es eine schlechte Angewohnheit ist den Induktionsanfang wegzulassen.

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Binomialkoeffizient - Symm.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Di 27.12.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,danke für die Antworten.

Den Anfang habe ich aus Faulheit weggelassen, aufgeschrieben habe ich ihn natürlich.

Dennoch habe ich eine Frage:

"Dann die Addition zweier benachbarter Binomialkoeffizienten anwenden, und du bis fertig."

Was ist mit "benachbarter Binom.koeffizienten" gemeint? Das habe ich noch nicht ganz verstanden.

Bezug
                                
Bezug
Binomialkoeffizient - Symm.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Di 27.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

> Dennoch habe ich eine Frage:

>

> "Dann die Addition zweier benachbarter
> Binomialkoeffizienten anwenden, und du bis fertig."

>

> Was ist mit "benachbarter Binom.koeffizienten" gemeint? Das
> habe ich noch nicht ganz verstanden.

[mm] \vektor{n \\ k}+ \vektor{n \\ k+1}= \vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]

Die beiden Binomialkoeffizienten auf der linken Seite stehen im []Pascal'schen Dreieck nebeneinander, daher meine Ausdrucksweise.


Gruß, Diophant

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Bezug
Binomialkoeffizient - Symm.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:05 Di 27.12.2016
Autor: pc_doctor

Ah, jetzt macht es Klick :D

Okay, vielen Dank für die Antwort. Das sollte ich nun alleine hinbekommen.

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Binomialkoeffizient - Symm.: Alternativer Lösungsweg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Di 27.12.2016
Autor: X3nion

Hallo pc_doctor,

falls es dich interessiert, es gibt auch einen anderen Lösungsweg ohne vollständige Induktion, der sich an der Definition und an Umformungen der Definition entlanghangelt.

Es gilt nach Definition

[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm]

Somit ergibt sich:

[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!k!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm]


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                
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Binomialkoeffizient - Symm.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:55 Mi 28.12.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,
danke für die Antwort. Das geht natürlich auch, aber das hatten wir quasi schon bewiesen. Induktion war leider Pflicht.

Bezug
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