matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-InduktionBinomialkoeffizient, neg. Zahl
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Binomialkoeffizient, neg. Zahl
Binomialkoeffizient, neg. Zahl < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Sa 17.10.2009
Autor: ChopSuey

Hallo,

ich habe eine Übungsaufgabe, die mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen werden soll und bin dann durch gewisse Umformungen irgendwann zu einem ganz bestimmten Binomialkoeffizienten gekommen, der

$\ [mm] \vektor{m \\ -1} [/mm] $ lautet.

Ich hab mir dabei eigentlich nichts gedacht, und erstmal weitergemacht.

Damit das aber wieder verschwindet, habe ich Gebrauch von der Gleichung

$\ [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm] $ gemacht, sprich:

$\ [mm] \vektor{m \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{m \\ m+1}$. [/mm] Ich bin allerdings sehr sehr skeptisch, was das Ganze betrifft.

Darf ein solcher Ausdruck überhaupt entstehen? Beim Rechnen mit Binomialkoeffizienten schleichen sich doch gerne kleine Fehler ein.

Würde mich über eine Antwort freuen,
Danke

Viele Grüße
ChopSuey





        
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Sa 17.10.2009
Autor: reverend

Hallo ChopSuey,

sowohl [mm] \vektor{m\\-1} [/mm] als auch [mm] \vektor{m\\m+1} [/mm] stimmen mich skeptisch. Natürlich kommt es darauf an, was Du da eigentlich beweisen willst. Möglicherweise machen []verallgemeinerte Binomialkoeffizienten ja aber Sinn in Deiner Rechnung. Sei Dir nur bewusst, dass dann [mm] \vektor{m\\-1}=\vektor{m\\m+1}=0 [/mm] ist. Passt das in Deinen Beweis?

Wenn nein, dann zeig mal, wie Du auf den Wert gekommen bist.

> Beim Rechnen mit Binomialkoeffizienten schleichen sich doch
> gerne kleine Fehler ein.

Eben, eben...

Grüße
rev

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Sa 17.10.2009
Autor: ChopSuey

Guten Abend reverend!

Die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten ist ja interessant, danke! So etwas habe ich ungefähr gesucht.


> ja aber Sinn in Deiner Rechnung. Sei Dir nur bewusst, dass
> ... Passt das in
> Deinen Beweis?

Hm, gute Frage. Auf den ersten Blick scheint es mich leider nicht weiter zu bringen. Ich kann aber gerne zeigen, worum es überhaupt geht.
(wollte es erst zurueckhalten, weil es eine Hausübung ist und ich mich durchbeißen wollte)

Aufgabe:

Zeige mittels vollständiger Induktion, daß für alle $\ n,k,m [mm] \in \IN [/mm] $ die folgende Aussage gilt:

$\   {n+m [mm] \choose [/mm] k} = [mm] \sum\limits_{i=0}^k [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i} {m [mm] \choose [/mm] k-i} $

so, nun folgen meine Überlegungen :

Induktionsanfang: $ k = 0 [mm] $\\ [/mm]

$ {n+m [mm] \choose [/mm] 0} =   {n [mm] \choose [/mm] 0} {m [mm] \choose [/mm] 0} [mm] $\\ [/mm]

$ 1 = 1*1 $ ist wahr. [mm] \\ [/mm]

Wir vermuten, die Aussage gilt für alle $ k [mm] \in \mathbb [/mm] N$.

Induktionsschritt: $k [mm] \to [/mm] k+1$


Es ist $ [mm] \sum\limits_{i=0}^k [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i} {m [mm] \choose [/mm] k-i} = {n [mm] \choose [/mm] 0} {m [mm] \choose [/mm] k}+{n [mm] \choose [/mm] 1} {m [mm] \choose [/mm] k-1}+...+{n [mm] \choose [/mm] k} {m [mm] \choose [/mm] 0} [mm] $\\ [/mm]

Folglich ist $ [mm] \sum\limits_{i=0}^{k+1} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i} {m [mm] \choose [/mm] k+1-i} = {n [mm] \choose [/mm] 0} {m [mm] \choose [/mm] k}+{n [mm] \choose [/mm] 1} {m [mm] \choose [/mm] k-1}+...+{n [mm] \choose [/mm] k} {m [mm] \choose [/mm] 0} + {n [mm] \choose [/mm] k+1} [mm] \red{{m \choose -1}}$\\ [/mm]

Ohhhmann ! Jetzt seh' ich, was ich falsch gemacht hab.

Ich ließ den Laufindex nun von $\ 0 $ bis $\ k+1$ laufen und hab dann aber die obere Grenze nicht richtig eingesetzt, so dass ich $\ [mm] \red{k} [/mm] - (k+1) = -1 $ erhielt, wobei es natürlich $\ [mm] \green{k+1} [/mm] - (k+1) = 0 $ hätte sein sollen.

Richtig müsste es dann wie folgt lauten:

$ [mm] \sum\limits_{i=0}^{k+1} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i} {m [mm] \choose [/mm] k+1-i} = {n [mm] \choose [/mm] 0} {m [mm] \choose [/mm] k}+{n [mm] \choose [/mm] 1} {m [mm] \choose [/mm] k-1}+...+{n [mm] \choose [/mm] k} {m [mm] \choose [/mm] 1} + {n [mm] \choose [/mm] k+1} [mm] \green{{m \choose 0}}$\\ [/mm]

>  
> Wenn nein, dann zeig mal, wie Du auf den Wert gekommen
> bist.
>  
> > Beim Rechnen mit Binomialkoeffizienten schleichen sich doch
> > gerne kleine Fehler ein.
>  
> Eben, eben...
>  
> Grüße
>  rev

Saugeil, vielen Dank reverend. Du hast mich direkt zur Fehlerquelle geführt ;-) Ich hab tatsächlich kurz bevor ich hier reingeschrieben hab, extra nochmal nachgesehen, ob ich den vermuteten Fehler nicht selbst finde aber ich hab's einfach nicht gesehen.

Viele Grüße
ChopSuey


Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Frage beantwortet.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:52 Sa 17.10.2009
Autor: ChopSuey

Hallo nochmal,

da ich den Fehler erst während des Tippens entdeckte, habe ich vergessen, das Ganze nur als Mitteilung zu schreiben, entschuldigt.

Meine Frage hat sich vollständig beantwortet.

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
                                
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Glückwunsch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Sa 17.10.2009
Autor: reverend

Hey, gut!
Ein selbst gefundener Fehler ist immer der beste. Das ist dann keine gefährliche Blockade, kein Unwissen, keine Blindheit - sondern einfach ein Denkfehler.
Wenn Dir eines Tages keiner mehr passiert, sei vorsichtig: wahrscheinlich bist Du tot.
;-)

LG, rev

Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Do 22.10.2009
Autor: melisa1

Hallo;

ist jmd so net und sagt mir wie man auf diese Reihe kommt:

$ [mm] \sum\limits_{i=0}^{k+1} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i} {m [mm] \choose [/mm] k+1-i} = {n [mm] \choose [/mm] 0} {m [mm] \choose [/mm] k}+{n [mm] \choose [/mm] 1} {m [mm] \choose [/mm] k-1}+...+{n [mm] \choose [/mm] k} {m [mm] \choose [/mm] 1} + {n [mm] \choose [/mm] k+1} [mm] \{{m \choose 0}} [/mm] $

hier steht ja zB:

[mm] \vektor{m \\ k}ich [/mm] dachte man muss hier überall wo k steht k+1 einsetzen muss hier nicht unter m k+1 stehen?

oder hier:

[mm] \vektor{n \\ 1} \vektor{m \\ k-1} [/mm]

wenn man i=1 ist dann muss doch unter m nur k stehen weil ich für k  k+1
einsetze und mein i eins ist also k+1-1= k ?

und hier versteh ich gar nichts mehr warum steht unter n auf einmal k?

$ {n [mm] \choose [/mm] k} {m [mm] \choose [/mm] 1} + {n [mm] \choose [/mm] k+1} [mm] \{{m \choose 0}} [/mm] $

würde mich sehr freuen, wenn mir das jmd erklären kann

Lg Melisa

Bezug
                                
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Do 22.10.2009
Autor: Herby

Hallo Melisa,

> Hallo;
>  
> ist jmd so net und sagt mir wie man auf diese Reihe kommt:
>  
> [mm]\sum\limits_{i=0}^{k+1} {n \choose i} {m \choose k+1-i} = {n \choose 0} {m \choose k}+{n \choose 1} {m \choose k-1}+...+{n \choose k} {m \choose 1} + {n \choose k+1} \{{m \choose 0}}[/mm]
>  
> hier steht ja zB:
>  
> [mm]\vektor{m \\ k}ich[/mm] dachte man muss hier überall wo k steht
> k+1 einsetzen muss hier nicht unter m k+1 stehen?

[ok] ja, müsste eigentlich

> oder hier:
>  
> [mm]\vektor{n \\ 1} \vektor{m \\ k-1}[/mm]
>  
> wenn man i=1 ist dann muss doch unter m nur k stehen weil
> ich für k  k+1
>  einsetze und mein i eins ist also k+1-1= k ?

[ok] ist auch richtig
  

> und hier versteh ich gar nichts mehr warum steht unter n
> auf einmal k?
>  
> [mm]{n \choose k} {m \choose 1} + {n \choose k+1} \{{m \choose 0}}[/mm]

hier stimmt das k, weil es ja erst das vorletzte Glied ist und anschließend noch i=k+1 folgt.


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                        
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Do 22.10.2009
Autor: melisa1

Hallo Herby,
  

> > und hier versteh ich gar nichts mehr warum steht unter n
> > auf einmal k?
>  >  
> > [mm]{n \choose k} {m \choose 1} + {n \choose k+1} \{{m \choose 0}}[/mm]
>  

> hier stimmt das k, weil es ja erst das vorletzte Glied ist

>und anschließend noch i=k+1 folgt.



aber unter dem n ist doch eigentlich i warum ist jz i=k und wie kommt man auf die 1 unter m?

Lg Melisa

Bezug
                                                
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Do 22.10.2009
Autor: Herby

Hallo Melisa,

> Hallo Herby,
>    
> > > und hier versteh ich gar nichts mehr warum steht unter n
> > > auf einmal k?
>  >  >  
> > > [mm]{n \choose k} {m \choose 1} + {n \choose k+1} \{{m \choose 0}}[/mm]
>  
> >  

>
> > hier stimmt das k, weil es ja erst das vorletzte Glied ist
> >und anschließend noch i=k+1 folgt.
>  
>
>
> aber unter dem n ist doch eigentlich i warum ist jz i=k und
> wie kommt man auf die 1 unter m?

weil es erst das vorletzte Glied ist - mmmh

Nehmen wir z.B. mal für i=0 bis i=k


$ [mm] \sum\limits_{i=0}^k [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i} {m [mm] \choose [/mm] k-i} = {n [mm] \choose [/mm] 0} {m [mm] \choose [/mm] k-0}+{n [mm] \choose [/mm] 1} {m [mm] \choose [/mm] k-1}+...+{n [mm] \choose [/mm] k-2} {m [mm] \choose [/mm] k-(k-2)}+{n [mm] \choose [/mm] k-1} {m [mm] \choose [/mm] k-(k-1)}+{n [mm] \choose [/mm] k} {m [mm] \choose [/mm] k-k}$

So, nun das gleiche für i=0 bis k+1

$ [mm] \sum\limits_{i=0}^{k+1} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i} {m [mm] \choose [/mm] k+1-i} = {n [mm] \choose [/mm] 0} {m [mm] \choose [/mm] k+1-0}+{n [mm] \choose [/mm] 1} {m [mm] \choose [/mm] k+1-1}+...+{n [mm] \choose [/mm] k-2} {m [mm] \choose [/mm] k+1-(k-2)}+{n [mm] \choose [/mm] k-1} {m [mm] \choose k+1-(k-1)}+\underbrace{n \choose k}_{n\ "uber\ k} \underbrace{m \choose k+1-k}_{m\ "uber\ 1}+{n \choose k+1} \underbrace{m \choose k+1-(k+1)}_{m\ "uber\ 0}$ [/mm]

Nu besser?


Lg
Herby

Bezug
                                                        
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Do 22.10.2009
Autor: melisa1

Hallo Herby,

ja danke schon besser :D

ist damit jz der beweis zu ende, weil bei beiden (also k und k+1) das letzte glied gleich (also m über 0) ist?

Lg Melisa

Bezug
                                                                
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Do 22.10.2009
Autor: Herby



> Hallo Herby,
>  
> ja danke schon besser :D
>  
> ist damit jz der beweis zu ende, weil bei beiden (also k
> und k+1) das letzte glied gleich (also m über 0) ist?

Öhm - nach dem Beweis hatte ich jetzt gar nicht geschaut. Ich hatte dir nur deine Frage beantwortet, wie man zu den Reihengliedern kommt.

Aber ich denke schon, da es ja bislang keine Rückfragen mehr gab ;-)


Liebe Grüße
Herby


Bezug
                                                                        
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Do 22.10.2009
Autor: melisa1

Hallo;

ich glaub es ist noch nicht fertig

ich soll zeigen das $ \ {n+m [mm] \choose [/mm] k} = [mm] \sum\limits_{i=0}^k [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i} {m [mm] \choose [/mm] k-i} $

und das habe ich damit glaube ich noch nicht oder :S

Lg Melisa

Bezug
                                                                                
Bezug
Binomialkoeffizient, neg. Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 Do 22.10.2009
Autor: Herby

Hi,

> Hallo;
>  
> ich glaub es ist noch nicht fertig
>  
> ich soll zeigen das [mm]\ {n+m \choose k} = \sum\limits_{i=0}^k {n \choose i} {m \choose k-i}[/mm]
>  
> und das habe ich damit glaube ich noch nicht oder :S
>  

ah ok, jetzt habe ich mir das auch mal angeschaut - es handelt sich um die Vandermonde Identität (da findest du genug drüber im Netz). Aber vielleicht hilft dir ja auch schon mal jener welcher Artikel weiter:

[guckstduhier]  Vandermonde Identität


Lg
Herby

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]