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Forum "Induktionsbeweise" - Binomialkoeffizienten
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Binomialkoeffizienten: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Sa 17.01.2009
Autor: Chrono

Aufgabe
Für n[mm]\in\IN[/mm] und a,b[mm]\in\IR[/mm] gilt: [mm](a+b)^{n}[/mm]=[mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n \\ i}\*a^{n-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Hallo liebe Forum Nutzer und Nutzerinnen. Ich besuchen den Mathematik Leistungskurs der 13.Klasse des Dürer-Gymnasiums udn schreibe dort Facharbeit. Ich soll unter anderem diese Formel mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion beweisen. Ich habe bereits einige Aufgaben gelöst und weis, dass ich zunächst 1 einsetzen muss und die Gleichung auf Richtigkeit für eine Zahl überprüfen muss. Ich brauch auch keine sonstigen großartigen Erklärungen ich hab vielmehr ein Umformungs bzw Ansatz Problem. Ich möchte die gegebene Funktion auf diese hier bringen: [mm](a+b)^{n+1}[/mm]=[mm]\summe_{i=0}^{n+1}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n+1 \\ i}\*a^{n+1-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm], indem ich sage [mm](a+b)^{n+1}[/mm]= [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n \\ i}\*a^{n-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm] + eine zweite Summe, die in etwa so aussehen müsste: [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n \\ i-1}\*a^{n+1-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm]. Stimmt das so? Und könnte mir jemand kurz erklären warum das stimmt bzw nicht. Ich seh das irgendwie nicht heraus. Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass meine Rechnung stimmt und habe dann [mm]\vektor{n \\ i-1}[/mm] zu [mm]\vektor{n+1 \\ i}-\vektor{n \\ i}[/mm] umgeformt. somit stünde nun folgendes da:[mm](a+b)^{n+1}[/mm]= [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n \\ i}\*a^{n-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm][mm]\*[/mm][mm](\vektor{n+1 \\ i}-\vektor{n \\ i})\*a^{n+1-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm]. Ist das richtig so? und wenn ich die 2. Summe jetzt ausmultipliziere, subtrahiert sich dann die allererste Summe wirklich raus, damit ich dann nur noch den n+1 Term habe, den ich brauche? Ich habe mir jetzt schon ziemlich lange den Kopf zerbrochen und weis nicht weiter... bitte helft mir. Danke im vorraus.

        
Bezug
Binomialkoeffizienten: SchulMatheLexikon
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Sa 17.01.2009
Autor: informix

Hallo Chrono und [willkommenmr],

> Für n[mm]\in\IN[/mm] und a,b[mm]\in\IR[/mm] gilt:
> [mm](a+b)^{n}[/mm]=[mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n \\ i}\*a^{n-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Hallo liebe Forum Nutzer und
> Nutzerinnen. Ich besuchen den Mathematik Leistungskurs der
> 13.Klasse des Dürer-Gymnasiums udn schreibe dort
> Facharbeit. Ich soll unter anderem diese Formel mit dem
> Beweisprinzip der vollständigen Induktion beweisen. Ich
> habe bereits einige Aufgaben gelöst und weis, dass ich
> zunächst 1 einsetzen muss und die Gleichung auf Richtigkeit
> für eine Zahl überprüfen muss. Ich brauch auch keine
> sonstigen großartigen Erklärungen ich hab vielmehr ein
> Umformungs bzw Ansatz Problem.
> Ich möchte die gegebene
> Funktion auf diese hier bringen:
> [mm](a+b)^{n+1}[/mm]=[mm]\summe_{i=0}^{n+1}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n+1 \\ i}\*a^{n+1-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm],
> indem ich sage [mm](a+b)^{n+1}[/mm]= [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n \\ i}\*a^{n-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm]
> + eine zweite Summe, die in etwa so aussehen müsste:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n \\ i-1}\*a^{n+1-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm].
> Stimmt das so? Und könnte mir jemand kurz erklären warum
> das stimmt bzw nicht. Ich seh das irgendwie nicht heraus.

> Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass meine Rechnung stimmt
> und habe dann [mm]\vektor{n \\ i-1}[/mm] zu [mm]\vektor{n+1 \\ i}-\vektor{n \\ i}[/mm]
> umgeformt. somit stünde nun folgendes da:[mm](a+b)^{n+1}[/mm]=
> [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm][mm]\*[/mm][mm]\vektor{n \\ i}\*a^{n-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm] +
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm][mm]\*[/mm][mm](\vektor{n+1 \\ i}-\vektor{n \\ i})\*a^{n+1-i}[/mm][mm]\*[/mm][mm]b^{i}[/mm].
> Ist das richtig so? und wenn ich die 2. Summe jetzt
> ausmultipliziere, subtrahiert sich dann die allererste
> Summe wirklich raus, damit ich dann nur noch den n+1 Term
> habe, den ich brauche? Ich habe mir jetzt schon ziemlich
> lange den Kopf zerbrochen und weis nicht weiter... bitte
> helft mir. Danke im vorraus.

was du suchst, sind Umrechnungen mit den MBBinomialkoeffizienten [<-- click it!]

Gruß informix

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:57 Sa 17.01.2009
Autor: Chrono

Hey informix, danke für deine schnelle antwort ich glaub damit kann ich was anfangen ich setz mich nochmal hin rechne das ganze durch

Bezug
        
Bezug
Binomialkoeffizienten: Vorgehensweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Sa 17.01.2009
Autor: reverend

Der Induktionsschritt geht so:

Du gehst davon aus, dass die Formel für ein n stimmt. Nun ist zu zeigen, dass sie auch für n+1 stimmt.

[mm] (a+b)^{n+1}=(a+b)*(a+b)^{n}=a*\summe\cdots [/mm] + [mm] b*\summe\cdots [/mm]

Dann a und b in die Summe hineinmultiplizieren, in einer Summe die Laufvariable um 1 verschieben und dann, wie Du es ja gemacht hast, die Binomialkoeffizienten der gleichen Glieder addieren. Zwei der Glieder kommen nur in einer der beiden Summen vor, nämlich [mm] a^{n+1} [/mm] und [mm] b^{n+1}. [/mm] Sie haben die Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{n\\0}=\vektor{n\\n}=1=\vektor{n+1\\0}=\vektor{n+1\\n+1}. [/mm]

Damit und mit dem Link von informix solltest Du fertig werden und hast außerdem endlich einen guten Grund, warum da eine zweite Summe hinkommt. ;-)

lg,
reverend

Bezug
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