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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Do 28.10.2010 | | Autor: | Drezil |
| Aufgabe | | Beweis: [mm]\sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l (b-a)^{n-l} = \sum_{l=0}^n a^l b^{n-l}[/mm] gilt für a=b |
Umformung der Aufgabenstellung:
[mm]\sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l (a-a)^{n-l} = \sum_{l=0}^n a^l a^{n-l}[/mm]
rs: [mm]\sum_{l=0}^n a^l a^{n-l} = \sum_{l=0}^n a^n = (1+n)a^n[/mm]
Ich komme nicht auf die gewünschte Lösung.
Mein Ansatz für die linke Seite war [mm]\sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l 0^{n-l} = \left ( \sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l 0^{n+1-l} \right ) + a^{n+1} - a^{n+1}
= \left ( \sum_{l=0}^{n+1} {n+1 \choose l} a^l 0^{n+1-l} \right ) - a^{n+1}
= (a+0)^{n+1} - a^{n+1} = 0[/mm]
Aber 0 ist nicht die gesuchte Lösung.. Ich vermute mal, der Fehler liegt darin, dass in meinem Schritt auch ein [mm]0^0[/mm] vorkommt, was ja undefiniert ist (je nach Sachlage mal 1, mal 0, mal was ganz anderes ..).
Wäre Schön, wenn mir wer sagen könnte, wo der Fehler liegt bzw. nach welchem Satz die Formel gilt .. dann könnte ich mir per google nen paar beweise ansehen und würds vielleicht dann verstehen.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Edit: Aufgabenstellung auf den (originalen) allgemeinen Fall erweitert.
Edit2: Eine "Lösung", die ich hier habe, aber nicht verstehe ist:
[mm]\sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l 0^{n-l} = {n+1 \choose n} a^n = (n+1) a^n[/mm]. Ich kapier nicht, wieso man sagen darf [mm]\sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l 0^{n-l} = {n+1 \choose n} a^n[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beweis: [mm]\sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l = (n+1) a^n[/mm]
Das ist doch falsch ! Nimm mal n=1 und a=1. Dann steht links 3 und rechts 2
Bitte gib die Aufgabenstellung korrekt wieder
FRED
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> Ich komme nicht auf die gewünschte Lösung.
> Mein Ansatz war [mm]\sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l = \left ( \sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l 0^{n+1-l} \right ) + a^{n+1} - a^{n+1}
= \left ( \sum_{l=0}^{n+1} {n+1 \choose l} a^l 0^{n+1-l} \right ) - a^{n+1}
= (a+0)^{n+1} - a^{n+1} = 0[/mm]
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> Aber 0 ist nicht die gesuchte Lösung.. Ich vermute mal,
> der Fehler liegt darin, dass in meinem Schritt auch ein [mm]0^0[/mm]
> vorkommt, was ja undefiniert ist (je nach Sachlage mal 1,
> mal 0, mal was ganz anderes ..).
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> Wäre Schön, wenn mir wer sagen könnte, wo der Fehler
> liegt bzw. nach welchem Satz die Formel gilt .. dann
> könnte ich mir per google nen paar beweise ansehen und
> würds vielleicht dann verstehen.
>
> Vielen Dank
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Beweis: [mm]\sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l (b-a)^{n-l} = \sum_{l=0}^n a^l b^{n-l}[/mm]
> gilt für a=b
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
EDIT:
Für a=b hätte man links
[mm] $\sum_{l=0}^{n} \vektor{n+1\\l} a^l 0^{n-l}§
[/mm]
[mm] =\vektor{n+1\\l}a^n 0^{0}= (n+1)*a^n*0^0.
[/mm]
Wenn man nun der Meinung ist, daß [mm] 0^0=1, [/mm] dann stimmt dies mit der rechten Seite überein.
Rechts steht nämlich
[mm] \sum_{l=0}^n a^l a^{n-l}$ [/mm]
[mm] =\sum_{l=0}^na^n
[/mm]
[mm] =(n+1)a^n
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Do 28.10.2010 | | Autor: | Drezil |
[mm]\sum_{l=0}^{n} {n+1 \choose l} a^l (0)^{n-l}[/mm] ist hal nichts anderes als [mm]{n+1 \choose 0} a^0 0^n + {n+1 \choose 1} a^1 0^{n-1} + {n+1 \choose 2} a^2 0^{n-2} + .. {n+1 \choose n} a^n 0^0 [/mm]
Also [mm]0^{-1}[/mm] kommt da nicht vor, oder?
Das einzige, was micht da nervt ist das [mm]0^0[/mm], was mich persönlich etwas nervt.
und bei dem rechten seite wüsste ich nicht, wie mich $ [mm] =\bruch{1-a^{n+1}}{1-a} [/mm] $ irgendwie weiterbringt ..
Ich probier gleich mal die linke seite irgendwie auf sowas zurückzuführen - vielleicht klappts ja.
Edit: Autsch. Ich hab mir grad nochmal [mm]{n+1 \choose 0} a^0 0^n + {n+1 \choose 1} a^1 0^{n-1} + {n+1 \choose 2} a^2 0^{n-2} + .. {n+1 \choose n} a^n 0^0 [/mm] angesehen .. $ [mm] 0^n [/mm] $ ist ja 0 und nicht 1 ... das heisst alle Terme, bis auf den mit [mm] 0^0 [/mm] fallen weg..
Das wirds sein..
Was aber immernoch die Frage aufwirft: Ist $ [mm] 0^0 [/mm] $ wohldefiniert? Ich meine in der Wikipedia gelesen zu haben, dass dem nicht so ist.
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Hallo,
beachte, daß ich meine Antwort editiert habe.
Da stand ziemlicher Mist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
So, nun wissen wir , was zu zeigen ist:
$ [mm] \sum_{l=0}^{n} [/mm] {n+1 [mm] \choose [/mm] l} [mm] a^l (b-a)^{n-l} [/mm] = [mm] \sum_{l=0}^n a^l b^{n-l} [/mm] $
Dass dies für a=b richtig ist, sieht man (denke ich)
Sei also a [mm] \ne [/mm] b.
Multipliziere $ [mm] \sum_{l=0}^{n} [/mm] {n+1 [mm] \choose [/mm] l} [mm] a^l (b-a)^{n-l}$ [/mm] mit (b-a):
$ [mm] \sum_{l=0}^{n} [/mm] {n+1 [mm] \choose [/mm] l} [mm] a^l (b-a)^{n+1-l}= \sum_{l=0}^{n+1} [/mm] {n+1 [mm] \choose [/mm] l} [mm] a^l (b-a)^{n+1-l}-a^{n+1}=(a+b-a)^{n+1}-a^{n+1}= b^{n+1}-a^{n+1}$ [/mm]
So, nun mußt Du noch zeigen:
$ [mm] \bruch{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}= \sum_{l=0}^n a^l b^{n-l} [/mm] $
FRED
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