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| Aufgabe | H7. (Binomialkoeffizienten mit reellen Zahlen)
Nach der Definition von Binomialkoeffizienten
$* [mm] \qquad \binom{x}{n} [/mm] = [mm] \prod_{j = 1}^{n} \frac{x-j+1}{j}$
[/mm]
muss x nicht umbedingt eine natürliche Zahl sein. Zeigen Sie für alle reellen Zahlen x,y und alle n [mm] \in \IN_0:
[/mm]
$* [mm] \qquad \binom{x+y}{n} [/mm] = [mm] \sum_{k = 0}^{n}\binom{x}{n-k}\binom{y}{k}$.
[/mm]
[mm] \mathit{Hinweis}: [/mm] Verwenden Sie Inudktion! |
Also. Es gibt hier eine Stelle die mir das Genick bricht. Es kann sein das ich auch einfach völlig in die falsche Richtung laufe. :)
Ich folge also dem Hinweis und beweise mit vollständiger Induktion über n.
Induktionsanfang (IA): n = 0
[mm] $\binom{x+y}{0} [/mm] = 1 = [mm] \binom{x}{0}\cdot\binom{y}{0} [/mm] = [mm] \sum_{k = 0}^{0}\binom{x}{0-k}\binom{y}{k} \quad \checkmark$
[/mm]
Induktionsbehauptung (IB):
Die Behauptung [mm] $\binom{x+y}{n} [/mm] = [mm] \sum_{k = 0}^{n}\binom{x}{n-k}\binom{y}{k}$ [/mm] gelte für ein n [mm] \in \IN_0.
[/mm]
Induktionsschritt (IS): n [mm] \mapsto [/mm] n+1
[mm] $\binom{x+y}{n+1} \quad [/mm] =_{Def.} [mm] \quad \prod_{j=1}^{n+1}\frac{x+y-j+1}{j} \quad [/mm] = [mm] \quad \prod_{j=1}^{n}\frac{x+y-j+1}{j} [/mm] \ [mm] \cdot [/mm] \ [mm] \frac{x+y-n}{n+1} \quad [/mm] =_{IB} [mm] \quad \sum_{k = 0}^{n}\binom{x}{n-k}\binom{y}{k} [/mm] \ [mm] \cdot [/mm] \ [mm] \frac{x+y-n}{n+1}$
[/mm]
Und nun gehen die Probleme los. Ich hab es bereits mit Indexverschiebung versucht, ich hab geschaut ob ich den Bruch in die Binomialkoeffizienten bekomme. Nichts hat geholfen.
Dann hab ich gedachte, vielleicht ist der Ansatz falsch und ich habe versucht den Binom. anders auszuformen:
[mm] $\binom{x+y}{n+1} \quad [/mm] = [mm] \quad \binom{x+y+1}{n+1}\ [/mm] - \ [mm] \binom{x+y}{n}$
[/mm]
Aber das funktioniert irgendwie auch nicht.
Hat jemand einen Rat? Hab ich was übersehen?
Vielen Dank für die Hilfe schon einmal, schöne Grüße.
Andre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 So 01.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo André,
normalerweise krieg ich solche Rechenbasteleien ganz gut hin. Nach zwei Seiten Rechnung hats auch jetzt irgendwie geklappt, aber äußerst unschön, will heißen mit zeilenweiser Ausmultiplikation und neuem Zusammenfassen.
Das muss irgendwie einfacher, eleganter gehen.
Übrigens fehlt in der Definition noch [mm] \vektor{zz\\0}=1\ \forall z\in\IR, [/mm] sonst kriegt man die Aufgabe gar nicht hin.
Dass Du so lange keine Antwort bekommen hast, liegt also m.E. Erachtens darin, dass die Aufgabe es in sich hat und man einen bestimmten "Kniff" oder eine bestimmte Identität verwenden muss, auf die ich noch nicht gekommen bin.
Dein Ansatz an sich sieht vollkommen ok aus.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin reverend,
> Übrigens fehlt in der Definition noch [mm]\vektor{zz\\0}=1\ \forall z\in\IR,[/mm]
> sonst kriegt man die Aufgabe gar nicht hin.
das folgt implizit aus der Definition, wenn man das "leere Produkt" als 1 definiert (so wie man die leere Summe als 0 definieren sollte).
LG Felix
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Ich habs eigentlich auch ausmultipliziert und wieder versucht zusammen zufassen aber es klappte einfach nicht.
Könntest du vielleicht schreiben wie du das angestellt hast? Ich würde mich sehr freuen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 So 01.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Könntest du vielleicht schreiben wie du das angestellt
> hast? Ich würde mich sehr freuen.
Es ist viel zu schreiben. Mal sehen, ob ich eine etwas kürzere Form finde (oder ob nicht gar irgendwo ein Fehler drin ist...). Ich weiß nicht, ob ich heute abend dazu komme, evtl. sehr spät. Sonst morgen mehr.
wieschoo hat ja aber schon einen früheren Beitrag gefunden, der das Problem löst.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> H7. (Binomialkoeffizienten mit reellen Zahlen)
> Nach der Definition von Binomialkoeffizienten
>
> [mm]* \qquad \binom{x}{n} = \prod_{j = 1}^{n} \frac{x-j+1}{j}[/mm]
>
> muss x nicht umbedingt eine natürliche Zahl sein. Zeigen
> Sie für alle reellen Zahlen x,y und alle n [mm]\in \IN_0:[/mm]
>
> [mm]* \qquad \binom{x+y}{n} = \sum_{k = 0}^{n}\binom{x}{n-k}\binom{y}{k}[/mm].
>
> [mm]\mathit{Hinweis}:[/mm] Verwenden Sie Inudktion!
Ohne den Hinweis geht es sehr einfach: auf beiden Seiten stehen Polynome in $x$ und $y$. Und fuer natuerliche Zahlen $x, y [mm] \in \IN$ [/mm] stimmt das ganze, wie man ganz ohne reelle Zahlen mit klassischen Binomialkoeffizienten / klassischer Kombinatorik nachrechnen kann (etwa indem man den binomischen Lehrsatz bemueht).
Benutze nun: ist $f [mm] \in \IR[x, [/mm] y]$ ein Polynom mit $f(x, y) = 0$ fuer alle $x, y [mm] \in \IN$, [/mm] so folgt $f = 0$.
(Das zeigt man wie folgt: haelt man $x [mm] \in \IN$ [/mm] fest, so hat $h(y) = f(x, y) [mm] \in \IR[y]$ [/mm] unendlich viele Nullstellen, ist also das Nullpolynom. Es gilt also $f(x, y) = 0$ fuer alle $x [mm] \in \IN$ [/mm] und $y [mm] \in \IR$. [/mm] Hat man nun beliebige $x, y [mm] \in \IR$ [/mm] gegeben, so hat $h(t) = f(t, y) [mm] \in \IR[/mm] [t]$ unendlich viele Nullstellen, womit $h(t, y) = 0$ ist fuer alle $t [mm] \in \IR$, [/mm] insb. auch fuer $t = x$. Damit gilt also $f(x, y) = 0$ fuer alle $x, y [mm] \in \IR$, [/mm] womit wiederum $f$ das Nullpolynom sein muss.)
Das ganze geht sicher auch direkt, aber das wird wohl eher muehsam sein...
LG Felix
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Vielen dank für diesen Ansatz. Das Problem ist, dass wir erst in der 3. Woche AnalysisI sind. Was bedeutet das wir von Funktionen, Polynomen und Nullstellen eigentlich noch gar nichts wissen. Also rein theoretisch MUSS die Aufgabe anderweitig gelöst werden. Der Hinweis wird uns sicherlich auch nicht einfach in eine Falle locken. Das wäre etwas sehr dreist. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Vielen dank für diesen Ansatz. Das Problem ist, dass wir
> erst in der 3. Woche AnalysisI sind. Was bedeutet das wir
> von Funktionen, Polynomen und Nullstellen eigentlich noch
> gar nichts wissen.
hmm, ja dann bringt das nicht viel.
> Also rein theoretisch MUSS die Aufgabe
> anderweitig gelöst werden. Der Hinweis wird uns sicherlich
> auch nicht einfach in eine Falle locken. Das wäre etwas
> sehr dreist. :)
Ich vermute eher, dass er euch unabsichtlich in eine Falle gelockt hat...
Ich werd noch ein wenig rechnen, aber momentan mach ich mir nicht viel Hoffnungen dass da noch was gutes herauskommt...
LG Felix
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Ich löcher einfach den Tutor beim nächsten Tutorium und schreib euch hier die Antwort, wenn bis dato noch keine Lösung aufgetaucht ist. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 So 01.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ich habe jetzt nur die Definition zur Kenntnis genommen, damit das x keine natürliche Zahl sein muss. Die Rechenregeln gelten ja auch für die verallgemeinerte version.
z.z. [mm] \cdot{} \qquad \binom{x+y}{n} = \sum_{k = 0}^{n}\binom{x}{n-k}\binom{y}{k} [/mm]
IA. hattest du schon
IS also von [mm]x\to x+1[/mm]
[mm]\binom{x+1+y}{n}=\binom{x+y}{n}+\binom{x+y}{n-1}[/mm]
[mm]\ldots = \sum_{k = 0}^{n}\binom{y}{k}\binom{x}{n-k}+\sum_{k = 0}^{n-1}\binom{y}{k}\binom{x}{n-1-k}[/mm]
[mm]\ldots = \binom{y}{n}\binom{x}{0}+\sum_{k = 0}^{n-1}\binom{y}{k}\binom{x}{n-k}+\sum_{k = 0}^{n-1}\binom{y}{k}\binom{x}{n-1-k}[/mm]
[mm]\ldots = \binom{y}{n}\binom{x}{0}+\sum_{k = 0}^{n-1}\binom{y}{k}(\binom{x}{n-k}+\binom{x}{n-1-k})[/mm]
[mm]\ldots = \binom{y}{n}\binom{x}{0}+\sum_{k = 0}^{n-1}\binom{y}{k}\binom{x+1}{n-k}[/mm]
[mm]\ldots = \sum_{k = 0}^{n}\binom{y}{k}\binom{x+1}{n-k}[/mm]
ja ich weiß, dass ich nicht die Definition eingesetzt habe. Vielleicht ist es auch einfacher die üblichen Rechenregeln erst nachzuweisen, damit sich das auf die obige Form reduziert.
Allerdings habe ich nur Regeln verwendet, die auch für reelle Zahlen hier gelten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin wieschoo,
> Ich habe jetzt nur die Definition zur Kenntnis genommen,
> damit das x keine natürliche Zahl sein muss.
genau. Und deswegen funktioniert Induktion nach $x$ nicht wirklich 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 So 01.05.2011 | | Autor: | wieschoo |
Jetzt habe auch ich es gerafft. Warum. Danke. Dann nehme ich alles zurück.
Löschen geht dann leider nicht.
Ist nur doof, das es per Induktion bewiesen werden muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Jetzt habe auch ich es gerafft. Warum. Danke. Dann nehme
> ich alles zurück.
> Löschen geht dann leider nicht.
> Ist nur doof, das es per Induktion bewiesen werden muss.
Es muss nicht per Induktion bewiesen werden. Ansonsten muesste die Aufgabenstellung lauten "Zeigen sie per Induktion, dass ..."
Ich vermute, der Hinweis zur Induktion kommt daher, dass der Aufgabensteller nicht beachtet hat, dass man die Aussage normalerweise (also fuer natuerliche Zahlen) per Induktion nach $x$ zeigt und nicht nach $n$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 So 01.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
> Ich vermute, der Hinweis zur Induktion kommt daher, dass
> der Aufgabensteller nicht beachtet hat, dass man die
> Aussage normalerweise (also fuer natuerliche Zahlen) per
> Induktion nach [mm]x[/mm] zeigt und nicht nach [mm]n[/mm].
Das wäre eine gute Erklärung.
Grüße
reverend
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Nun bin ich gänzlich durcheinander. Soll ich nun eine Induktion nach x machen? Wäre doch... falsch... oder nicht?
Ich bin total verwirrt bei den ganzen Mitteilungen hier.
Also noch einmal. Es ist eine Lösung ohne Funktionen gewünscht. *grübel*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Nun bin ich gänzlich durcheinander. Soll ich nun eine
> Induktion nach x machen?
Nein. Damit kommst du hier nicht weiter.
> Wäre doch... falsch... oder nicht?
Induktion (so wie sie hier weiterhilft) geht nur mit den natuerlichen Zahlen.
LG Felix
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> Induktion (so wie sie hier weiterhilft) geht nur mit den
> natuerlichen Zahlen.
> LG Felix
Hallo Felix,
im Prinzip könnte man sich schon auch eine vollständige
Induktion mit einer Induktionsvariablen x vorstellen, die
nicht nur ganzzahlige Werte annimmt. Falls es zum Beispiel
leicht wäre, die Behauptung für x-Werte im Intervall [0..1)
als Verankerung nachzuweisen, könnte man darauf gründend
in der üblichen Weise mittels Schluss von x auf x+1 und auch
Schluss von x auf x-1 die Behauptung für alle [mm] x\in\IR [/mm] beweisen.
Im vorliegenden Fall ist dies aber kaum ein nützlicher Ansatz.
LG Al
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:24 So 01.05.2011 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | (Binomialkoeffizienten mit reellen Zahlen)
Nach der Definition von Binomialkoeffizienten
[mm] \vektor{x \\ n} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{n}\bruch{x-j+1}{j}
[/mm]
muss x nicht unbedingt eine natürliche Zahl sein. Zeigen Sie für alle reellen Zahlen x,y und alle [mm] n\in\IN_{0}:
[/mm]
[mm] \vektor{x+y \\ n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{x\\ n-k}\vektor{y \\ k}.
[/mm]
Hinweis : Verwenden Sie Induktion! |
Schönen 1. Mai wünsche ich euch allen!
Ich komme bei der beschriebenen Aufgabe nicht weiter!
Ich zeige einfach mal,wie weit ich beim Induktionsschritt komme und hoffe, einer kann mir sagen, obs richtig ist und wie ich weiter vorgehen soll,weil ich da iwie nicht weiterweiß!
Also :
aus n->n+1 schließen, dazu benutze ich die erste Formel, um auf die 2 zu kommen:
[mm] \vektor{x+y \\ n+1}=\produkt_{i=1}^{n+1}\bruch{x+y-j+1}{j} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}\bruch{x+y-j+1}{j} *\bruch{x+y-n}{n+1} [/mm]
=(I.V.)= [mm] \vektor{x+y \\ n} [/mm] * [mm] \bruch{x+y-n}{n+1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ n-k}\vektor{y \\ k}* \bruch{x+y-n}{n+1}
[/mm]
=Definition= [mm] \summe_{k=0}^{n}\produkt_{j=1}^{n-k}\bruch{x-j+1}{j}\produkt_{j=1}^{k}\bruch{y-j+1}{j}*\bruch{x+y-n}{n+1} [/mm]
So, bis hierhin komme ich sehr einfach, jetzt habe ich das Problem,dass ich nicht weiterweiß, deshalb habe ich auch mal von der "anderen" Seite angefangen :
[mm] \vektor{x+y \\ n+1}=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{x \\ n+1-k}\vektor{y \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+1}\produkt_{j=1}^{n+1-k}\bruch{x-j+1}{j}\produkt_{j=1}^{k}\bruch{y-j+1}{j}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\produkt_{j=1}^{n+1-k}\bruch{x-j+1}{j}\produkt_{j=1}^{k}\bruch{y-j+1}{j} [/mm] + [mm] \produkt_{j=1}^{0}\produkt_{j=1}^{n+1}\bruch{y-j+1}{j}
[/mm]
So das soll nun das gleiche sein wie das weiter oben... und hier sehe ich nicht,wie ich weiter umformen kann... beim letzten Absatz find ich aber schon diese Umformung seltsam von der Summe n+1 auf summe n, während sich das Produkt drinnen das n+1 beibehält? Hoffe, hier übersehe ich gerad eine deutliche Umformung oder es fehlt mir an WIssen,hier iwas umzuformen. Bitte helft:)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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Ja an die Rückrichtung habe ich ebenfalls gedacht, aber es führt einen auch in eine Sackgasse. Wie du ja gezeigt hast. Ganz schön High-End die Aufgabe. o.O
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Da gibt es so ein Forum: matheraum.de
https://matheraum.de/read?i=83687
Bis auf die falsche Verwendung des Fakultätszeichen, ist das doch genau das gesuchte?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Da gibt es so ein Forum: matheraum.de
das kannte ich noch gar nicht! :D
> https://matheraum.de/read?i=83687
>
> Bis auf die falsche Verwendung des Fakultätszeichen, ist
> das doch genau das gesuchte?!
Wow, ja, das ist genau das gesuchte. Wie gut das ich noch nicht angefangen hab zu rechnen, damit hast du mir einiges erspart 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 01.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo wieschoo,
> Da gibt es so ein Forum: matheraum.de
[...]
Interessantes Forum, das.
Guter Fund.
Grüße
reverend
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> > Da gibt es so ein Forum: matheraum.de
>
> Interessantes Forum, das.
> Guter Fund.
Genau das habe ich mir auch gerade gedacht.
Da gibt's offenbar Leute, die was können.
Werde da mal genauer reinschauen ...
Al
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| Aufgabe | ...
$ [mm] \stackrel{(IV)}{=} \frac{x+y-n}{n+1} \cdot \sum\limits_{k=0}^n [/mm] {x [mm] \choose{n- k}} \cdot [/mm] {y [mm] \choose [/mm] k} $
$ [mm] =\frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n \frac{x+y-n}{n+1} \cdot \prod\limits_{i=1}^{n-k} \frac{x-i+1}{i!} \cdot \prod\limits_{j=1}^k \frac{y-j+1}{j!} [/mm] $ ... |
Könnte mir jemand diesen Schritt erklären? Irgendwie ist das nicht nachvollziehbar.
Hat sich erledigt. Er hat einfach zwei Schritte danach die [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] ausgeklammert und ausversehen schon vorher geschrieben. Also alles klar. Sehr genial gemacht. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 03.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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