Binomialverteilung-Bernoulli < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Do 20.08.2009 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Ein Glücksrad ist in zehn gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 10 aufgeteilt. Es wird sechsmal nacheinander gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a)sind die ersten vier Zahlen gerade
b)tritt mindestens einmal die Zahl 6 auf
c)sind drei hintereinander auftretende Zahlen gerade
d)treten die Zahlen 1 und 6 jeweils genau zweimal auf
e)sind alle Zahlen gerade oder ungerade
f)treten die Zahlen 1 oder 9 insgesamt viermal auf? |
Guten Morgen zusammen,
ich muss bei dieser Aufgabe mal nachfragen, weil es mehrere Aufgaben dieses Typs gibt und ich mir nicht sicher bin, ob ich das richtig mache und daher vermeiden möchte, dass sich meine Fehler durch das gesamte Kapitel ziehen. Einige Sachen sind klar, bei anderen bin ich etwas unsicher. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Rechnungen/Gedankengänge:
a)sind die ersten vier Zahlen gerade
g=gerade u=ungerade
P(g)=0,5
Insgesamt gibt es 4 Möglichkeiten: gggguu, ggggug, gggggu, gggggg
[mm] P=4*(0,5)^6
[/mm]
b)tritt mindestens einmal die Zahl 6 auf
Das hab ich übers Gegenereignis (keine 6) gemacht.
P(6)= 0,1
Gegenereignis: [mm] 0,9^6
[/mm]
[mm] P(x\ge1)=1-0,9^6
[/mm]
c)sind drei hintereinander auftretende Zahlen gerade
hier bin ich mir etwas unsicher. Da gibt es ja viele Möglichkeiten, ich habe angefangen einige aufzulisten, aber irgendwie sind das sehr viele und es wurde etwas unübersichtlich. Gibt es da einen einfacheren Weg?
d)treten die Zahlen 1 und 6 jeweils genau zweimal auf
hier bin ich auch unsicher. Kann ich die beiden Ereignisse einfach zusammenfassen, weil 1 und 6 ja die gleiche Wahrscheinlichkeit haben?
Also [mm] \vektor{10 \\ 4}*0,2^4*0,8^6? [/mm] Kommt mir aber irgendwie auch komisch vor, weil ich ja nicht sicher sein kann, dass ich auch wirklich 2 von jedem bekomme...
e)sind alle Zahlen gerade oder ungerade
P(gggggg)= [mm] 0,5^6
[/mm]
P(uuuuuu)= [mm] 0,5^6 [/mm]
P(gggggg/uuuuuu)= [mm] 0,5^6+0,5^6
[/mm]
f)treten die Zahlen 1 oder 9 insgesamt viermal auf?
hier hab ich natürlich das gleiche Problem wie bei der d)
Bin für jeden Tipp dankbar!
Sonnige Grüße von der Berstraße,
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Do 20.08.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a) und b) stimmen.
c)
Rechne mal die Wahrscheinlichkeit aus, wenn die ersten 3 Zahlen, also die Zahlen (1, 2 und 3) gerade sein sollen. Das musst du dann mit 4 multiplizieren, denn es gibt ja nämlich noch die Fälle, dass die Zahlen 2, 3 und 4 gerade sind, oder 3, 4 und 5, oder 4, 5 und 6.
d)
Wenn du dir einen Wahrscheinlichkeitsbaum denkst, dann wäre ein gesuchter Pfad dadurch z.B. 6-6-1-1-x-x, wobei x Zahlen außer 1 und 6 sind.
Die Wahrscheinlichkeit dafür wäre ja dann [mm] p=\bruch{1}{10}*\bruch{1}{10}*\bruch{1}{10}*\bruch{1}{10}*\bruch{8}{10}*\bruch{8}{10}=(\bruch{1}{10})^2*(\bruch{1}{10})^2*(\bruch{8}{10})^2=\bruch{64}{10^6}. [/mm] Jetzt musst du nur noch schauen, auf wie viele Arten man 6-6-1-1-x-x anordnen kann.
Das ist übrigens fast wie die normale Binomialverteilung.
Wenn ich 4 mal würfele und genau 2 sechsen haben möchte (die Lösung wäre ja [mm] p=\vektor{4 \\ 2}*(\bruch{1}{6})^2*(\bruch{5}{6})^2), [/mm] dann rechne ich die Wahrscheinlichkeit für einen Weg aus, also z.B. 6-6-x-y, (x [mm] \not= [/mm] 6), die dann [mm] p=(\bruch{1}{6})^2*(\bruch{5}{6})^2 [/mm] wäre. Und der Binomialkoeffizient davor, also [mm] \vektor{4 \\ 2}, [/mm] gibt auch nur an, auf wie viele Verschiedene Weisen man 6-6-x-x anordnen kann.
Sicher gibt es hier auch noch bessere Varianten, vielleicht meldet sich ja noch jemand!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Do 20.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Hallo Teufel :)
Erstmal vielen lieben Dank für deine Antwort!
Allerdings habe ich noch eine Frage :
"c)
Rechne mal die Wahrscheinlichkeit aus, wenn die ersten 3 Zahlen, also die Zahlen (1, 2 und 3) gerade sein sollen. Das musst du dann mit 4 multiplizieren, denn es gibt ja nämlich noch die Fälle, dass die Zahlen 2, 3 und 4 gerade sind, oder 3, 4 und 5, oder 4, 5 und 6. "
Dass 3 hintereinander auftretende Zahlen gerade sind steht ja fest, aber steht damit gleichzeitig fest, dass es wirklich nur 3 Zahlen sind? Ich meine: Wird damit zum Bsp diese Variante: gggugu oder diese: uggggu oder ggguug auch ausgeschlossen? Weil entsprechend mehr Möglichkeiten hätte ich ja, deshalb wurde es mir auch so unübersichtlich.
und noch zur d)
hab ich dann [mm] \vektor{6\\ 4} [/mm] Möglichkeiten?
Liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 20.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Teufel :)
>
> Erstmal vielen lieben Dank für deine Antwort!
>
> Allerdings habe ich noch eine Frage :
>
> "c)
> Rechne mal die Wahrscheinlichkeit aus, wenn die ersten 3
> Zahlen, also die Zahlen (1, 2 und 3) gerade sein sollen.
> Das musst du dann mit 4 multiplizieren, denn es gibt ja
> nämlich noch die Fälle, dass die Zahlen 2, 3 und 4 gerade
> sind, oder 3, 4 und 5, oder 4, 5 und 6. "
>
> Dass 3 hintereinander auftretende Zahlen gerade sind steht
> ja fest, aber steht damit gleichzeitig fest, dass es
> wirklich nur 3 Zahlen sind? Ich meine: Wird damit zum Bsp
> diese Variante: gggugu oder diese: uggggu oder ggguug auch
> ausgeschlossen? Weil entsprechend mehr Möglichkeiten
> hätte ich ja, deshalb wurde es mir auch so
> unübersichtlich.
Hallo,
wenn du Einzelwahrscheinlichkeiten verschiedener Fälle berechnen und die anschließend addieren willst musst du
- alle Möglickeiten erfassen
- keine Möglichkeit doppelt zählen.
Bei den 6 Versuchen können wir folgende Bezeichnungen einführen:
g - die Zuahl ist gerade (p=0,5)
u - sie ist ungerade (p=0,5)
b - sie ist beliebig. (p=1)
Dann gibt es folgende Fälle:
gggbbb
ugggbb
bugggb
bbuggg
Wie du dich leicht überzeuen kannst, sind trotz der beliebigen Stellen hier 4 Fälle aufgelistet, die sich jeweils an mindestens einer Position unterscheiden. ZUdem sind es alle möglichen Fälle, wo die drei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen liegen können.
Die Wahrscheinlichkeit für die Teilfolge ggg ist damit 1/8 + 1/16 + 1/16 + 1/16.
Gruß Abakus
>
> und noch zur d)
> hab ich dann [mm]\vektor{6\\ 4}[/mm] Möglichkeiten?
>
> Liebe Grüße,
> Kati
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Do 20.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Ahhhh, okay! Das habe ich jetzt verstanden! Das mit dem "beliebig" ist sehr gut um es sich besser vorzustellen! Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 20.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Aber Moment, dann müsste doch aber die a) bei mir auch falsch sein,oder?
da hatte ich ja 4 Möglchkeiten gesehen (gggguu, ggggug, gggggu, gggggg), aber da müsste es dann ja auch nur eine geben, ggggbb, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Do 20.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Aber Moment, dann müsste doch aber die a) bei mir auch
> falsch sein,oder?
> da hatte ich ja 4 Möglchkeiten gesehen (gggguu, ggggug,
> gggggu, gggggg), aber da müsste es dann ja auch nur eine
> geben, ggggbb, oder?
Alles okay.
ggggbb hat die Wahrscheinlichkeit 1/16, du hast die Summe von viermal 1/64. Das ist das Gleiche.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Do 20.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Okay, aber der Weg war falsch gedacht! Danke schön, Abakus!!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 20.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Gott, wie peinlich, aber ich muss leider doch nochmal nachfragen. Je mehr ich drüber nachdenke desto unsicherer werde ich.... *schäm*
"Dann gibt es folgende Fälle:
gggbbb
ugggbb
bugggb
bbuggg
Wie du dich leicht überzeuen kannst, sind trotz der beliebigen Stellen hier 4 Fälle aufgelistet, die sich jeweils an mindestens einer Position unterscheiden. ZUdem sind es alle möglichen Fälle, wo die drei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen liegen können.
Die Wahrscheinlichkeit für die Teilfolge ggg ist damit 1/8 + 1/16 + 1/16 + 1/16.
Gruß Abakus"
Mir ist doch noch nicht ganz klar, wieso es sich auf diese 4 Fälle
gggbbb
ugggbb
bugggb
bbuggg
konzentriert.
Was ist denn zB mit gggbbb oder bgggub? Es gibt ja noch viel mehr Möglichkeiten?
Und wieso kann ich es nicht so allgemein machen: gggbbb/bgggbb/bbgggb/bbbggg?
Entschuldigung, dass ich wegen so ner simplen Aufgabe so viele Fragen habe....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Do 20.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Gott, wie peinlich, aber ich muss leider doch nochmal
> nachfragen. Je mehr ich drüber nachdenke desto unsicherer
> werde ich.... *schäm*
>
> "Dann gibt es folgende Fälle:
> gggbbb
> ugggbb
> bugggb
> bbuggg
> Wie du dich leicht überzeuen kannst, sind trotz der
> beliebigen Stellen hier 4 Fälle aufgelistet, die sich
> jeweils an mindestens einer Position unterscheiden. ZUdem
> sind es alle möglichen Fälle, wo die drei
> aufeinanderfolgenden geraden Zahlen liegen können.
> Die Wahrscheinlichkeit für die Teilfolge ggg ist damit
> 1/8 + 1/16 + 1/16 + 1/16.
> Gruß Abakus"
>
> Mir ist doch noch nicht ganz klar, wieso es sich auf diese
> 4 Fälle
>
> gggbbb
> ugggbb
> bugggb
> bbuggg
>
> konzentriert.
> Was ist denn zB mit gggbbb oder bgggub? Es gibt ja noch
> viel mehr Möglichkeiten?
> Und wieso kann ich es nicht so allgemein machen:
> gggbbb/bgggbb/bbgggb/bbbggg?
Hallo,
den Fall gggg.. hättest du in allen vier von dir eben beschriebenen Varianten mit erfasst (b kann ja eben auch die Möglichkeit g enthalten) und würdest ihn damit bei der Addition der Wahrscheinlichkeiten mehrach zählen.
Wenn es eine Folge von g's gibt, dann ist irgendein g das Erste in dieser Folge (und damit muss zwangsläufig davor ein u stehen, denn sonst wäre dieses g nicht das erste der (mindestens) Dreierfolge. Deswegen gibt es bei mir keine Reihenfolge bggg, sondern immer nur uggg.
Gruß Abakus
>
> Entschuldigung, dass ich wegen so ner simplen Aufgabe so
> viele Fragen habe....
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Do 20.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Jetzt hab ichs wirklich verstanden! Danke für deine Geduld, Abakus!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 20.08.2009 | | Autor: | kati93 |
So, jetzt bleiben noch d)/f) ungeklärt.
Momentan bin ich bei der d), also zweimal die 1 und zweimal die 6.
Nun hab ich wieder Schwierigkeiten alle Möglichkeiten aufzuzählen. Diesemal sind es ja auf jeden Fall mehr als bei der c), weil die Zahlen ja noch nicht mal zwingend nebeneinander liegen. Das wären ja wieder unglaubliche viele. Und dann erst recht bei der f). Ich glaube, auch wenn ich die c) jetzt verstanden habe, dass ich da immer noch einen Denkfehler drin habe und deshalb nicht weiter komme.
Damit ihr euch vorstellen könnte was ich meine, poste ich grad mal den Anfang meiner Liste:
1166bb
b1166b
bb1166
6611bb
b6611b
bb6611
1616bb
b1616b
bb1616
6161bb
b6161b
bb6161
6116bb
b6116b
bb6116
1661bb
b1661b
bb1661
etc.
Das stimmt doch schon wieder nicht,oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Fr 21.08.2009 | | Autor: | abakus |
> So, jetzt bleiben noch d)/f) ungeklärt.
>
> Momentan bin ich bei der d), also zweimal die 1 und zweimal
> die 6.
> Nun hab ich wieder Schwierigkeiten alle Möglichkeiten
> aufzuzählen. Diesemal sind es ja auf jeden Fall mehr als
> bei der c), weil die Zahlen ja noch nicht mal zwingend
> nebeneinander liegen. Das wären ja wieder unglaubliche
> viele. Und dann erst recht bei der f). Ich glaube, auch
> wenn ich die c) jetzt verstanden habe, dass ich da immer
> noch einen Denkfehler drin habe und deshalb nicht weiter
> komme.
>
> Damit ihr euch vorstellen könnte was ich meine, poste ich
> grad mal den Anfang meiner Liste:
>
> 1166bb
> b1166b
> bb1166
> 6611bb
> b6611b
> bb6611
> 1616bb
> b1616b
> bb1616
> 6161bb
> b6161b
> bb6161
> 6116bb
> b6116b
> bb6116
> 1661bb
> b1661b
> bb1661
>
> etc.
>
> Das stimmt doch schon wieder nicht,oder?
>
Hallo,
ganz so kannst du nicht rangehen.
Diesmal heißt es "genau 2", deshalb kannst du an den restlichen Stellen nicht davon ausgehen, dass dort beliebige Zahlen sind (diese könnten ja auch 1 oder 6 sein).
Setzen wir dort lieber "a" für "andere".
Suche zunächst nur die Möglicheiten, wo die zwei Einsen liegen können.
Das sind folgende
11xxxx
1x1xxx
1xx1xx
1xxx1x
1xxxx1
x11xxx
x1x1xx
x1xx1x
x1xxx1
xx11xx
xx1x1x
xx1xx1
xxx11x
xxx1x1
xxxx11
Zu JEDER dieser 15 Anordnungen gibt es mehrere Möglichkeiten, die vier "x" durch je zwei "6" und "a" zu ersetzen:
66aa
6a6a
6aa6
a66a
a6a6
aa66
Das gibt insgesamt 15*6=90 Anordnungen,
jede einzelne hat die Wahrscheinlichkeit 0,1*0,1*0,1*0,1*0,8*0,8.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Fr 21.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Wenn du das erklärst, hört sich das immer so einfach und logisch an! Danke schön! Jetzt bin ich mal gespannt ob ich bei der f) auch auf alle Möglichkeiten komme, ein bisschen kompliziert finde ich das ehrlich gesagt schon...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Fr 21.08.2009 | | Autor: | kati93 |
So, ich hab jetzt die f) insgesamt 4mal die Zahlen 1 oder 9 probiert. Die Wahrscheinlichkeiten sind klar, ich würde nur gerne wissen, ob ich wirklich alle Möglichkeiten in Betracht gezogen habe.
Ich hab mir zuerst eine Liste gemacht mit Kombinationen, in denen 4mal die 1 vorkommt. (leider hab ich erst hinterher gemerkt, dass ich ja auch die von der c) hätte nehmen können, ich hab mir umständlich ein 6stufiges Baumdiagramm gemacht, damit ich auch keine Kombination vergesse).
1x111x
1x11x1
1x1x11
1xx111
x1x111
x11x11
x111x1
x1111x
11xx11
11x11x
11x1x1
111xx1
111x1x
1111xx
Damit habe ich wieder 15 Möglichkeiten
Nun habe ich die erste ausgewählt: 1x111x und geschaut welche Kombinationsmöglichkeiten sich jetzt ergeben
wenn ich 3 Einser und eine 9 habe:
1x119x
1x191x
1x911x
9x111x
Wenn ich von beiden 2 habe
1x199x
9x911x
9x119x
1x991x
9x191x
1x919x
3 Einser und eine 9
9x991x
9x919x
9x199x
1x999x
4 Neuner
9x999x
Dh ich hätte dann nach meinen Überlegungen auf jeder der 15 Möglichkeiten 15 weitere Kombinationsmöglichkeiten, wobei ich damit auf insgesamt 225 Möglichkeiten komme.
Stimmt das???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Fr 21.08.2009 | | Autor: | abakus |
> So, ich hab jetzt die f) insgesamt 4mal die Zahlen 1 oder 9
> probiert. Die Wahrscheinlichkeiten sind klar, ich würde
> nur gerne wissen, ob ich wirklich alle Möglichkeiten in
> Betracht gezogen habe.
>
> Ich hab mir zuerst eine Liste gemacht mit Kombinationen, in
> denen 4mal die 1 vorkommt. (leider hab ich erst hinterher
> gemerkt, dass ich ja auch die von der c) hätte nehmen
> können, ich hab mir umständlich ein 6stufiges
> Baumdiagramm gemacht, damit ich auch keine Kombination
> vergesse).
>
> 1x111x
> 1x11x1
> 1x1x11
> 1xx111
> x1x111
> x11x11
> x111x1
> x1111x
> 11xx11
> 11x11x
> 11x1x1
> 111xx1
> 111x1x
> 1111xx
>
> Damit habe ich wieder 15 Möglichkeiten
Was ist mit xx1111?
>
> Nun habe ich die erste ausgewählt: 1x111x und geschaut
> welche Kombinationsmöglichkeiten sich jetzt ergeben
>
> wenn ich 3 Einser und eine 9 habe:
>
> 1x119x
> 1x191x
> 1x911x
> 9x111x
>
> Wenn ich von beiden 2 habe
>
> 1x199x
> 9x911x
> 9x119x
> 1x991x
> 9x191x
> 1x919x
>
> 3 Einser und eine 9
>
> 9x991x
> 9x919x
> 9x199x
> 1x999x
>
> 4 Neuner
>
> 9x999x
>
> Dh ich hätte dann nach meinen Überlegungen auf jeder der
> 15 Möglichkeiten 15 weitere Kombinationsmöglichkeiten,
Den Fall mit 4 Einsen hast du nicht mitgezählt.
Gruß Abakus
> wobei ich damit auf insgesamt 225 Möglichkeiten komme.
>
> Stimmt das???
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Fr 21.08.2009 | | Autor: | kati93 |
1x111x
> 1x11x1
> 1x1x11
> 1xx111
> x1x111
> x11x11
> x111x1
> x1111x
> 11xx11
> 11x11x
> 11x1x1
> 111xx1
> 111x1x
> 1111xx
>
> Damit habe ich wieder 15 Möglichkeiten
Was ist mit xx1111?
Oh, ja, den hab ich beim Abtippen unterschlagen, sonst wären es ja auch keine 15 Möglichkeiten :)
"Den Fall mit 4 Einsen hast du nicht mitgezählt.
Gruß Abakus"
Warum habe ich die nicht mitgezählt? Das mit den 4 Einsen sind doch meine ersten 15 Möglichkeiten. Und zu jeder dieser 15 Möglichkeiten gibt es 15 (4 bei 3x1 und 1x9, 6 bei 2x9 und 2x1, 4 bei 3x9 und 1x1 und 1 bei 4x9) weitere Möglichkeiten. So bin ich auf 15x15=225 Möglichkeiten gekommen. Da steh ich wohl grad auf dem Schlauch :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Fr 21.08.2009 | | Autor: | abakus |
> 1x111x
> > 1x11x1
> > 1x1x11
> > 1xx111
> > x1x111
> > x11x11
> > x111x1
> > x1111x
> > 11xx11
> > 11x11x
> > 11x1x1
> > 111xx1
> > 111x1x
> > 1111xx
> >
> > Damit habe ich wieder 15 Möglichkeiten
>
> Was ist mit xx1111?
>
> Oh, ja, den hab ich beim Abtippen unterschlagen, sonst
> wären es ja auch keine 15 Möglichkeiten :)
>
> "Den Fall mit 4 Einsen hast du nicht mitgezählt.
> Gruß Abakus"
> Warum habe ich die nicht mitgezählt? Das mit den 4 Einsen
> sind doch meine ersten 15 Möglichkeiten. Und zu jeder
> dieser 15 Möglichkeiten gibt es 15 (4 bei 3x1 und 1x9, 6
> bei 2x9 und 2x1, 4 bei 3x9 und 1x1 und 1 bei 4x9) weitere
> Möglichkeiten. So bin ich auf 15x15=225 Möglichkeiten
> gekommen. Da steh ich wohl grad auf dem Schlauch :(
Hallo,
du hast in deinen obigen Aufzahlungen nur Einsen verwendet, das ist ungüstig.
Da wo du Einsen geschrieben hast, können die gunstigen Zahlen 1 oder 9 stehen. Du hast erst einmal nur die 15 möglichen Verteilungen/Anordnungen von 4 günstigen und 2 ungünstigen Zahlen aufgelistet.
In jeder dieres Reihenfolgen können nun die 4 günstigen Zahlen
- nur aus Einsen bestehen (einmal)
- aus einer 1 und 3 Neuen (viermal)
- aus 2+2 (sechsmal)
- aus 3+1 (viermal)
- nur aus Neunen (einmal)
... und das sind 16 Arten der Auswahl von Einsen und/oder Neunen.
Damit hast du 15*16 Möglichkeiten.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Fr 21.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Ahhhhhh!! :D
Okay, jetzt hab ichs verstanden! Mensch, das war echt ne schwierige Aufgabe, finde ich zumindest. Alle anderen in diesem Kapitel waren nicht so knifflig!
Danke für deine Hilfe und deine übermäßige Geduld!!!
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