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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Binomialverteilung
Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Binomialverteilung: Aufgabe1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Di 31.01.2006
Autor: Anna17

Aufgabe
Die Wahrscheinlichkeit ,dass ein Junge oder ein Mädchen geboren wird, ist etwa 0,5.

a) In einem Krankenhaus werden an einem Tag 12 Kinder geboren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,, dass es genau 6 Jungen und 6 Mädchen sind?

Hallo!,
komme mit der oben gestellten Aufgabe nicht zu Recht. Wie kann ich diese Aufgabe einfach und unkompliziert lösen?

        
Bezug
Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Di 31.01.2006
Autor: mui

stell dir am besten vor du haettest eine muenze und kopf bedeutet junge und zahl bedeutet maedchen, die wahrscheinlichkeit, dass erst 6 jungs und dann 6 maedchen geborgen werden, ist also (0,5)^12, (beobachtung: egal welche geburtenkonstellation man euch gegeben haette, die wahscheinlichkeit fuer eine BESTIMMTE reihenfolge ist immer (0,5)^12), wie auch immer wichtig ist jetzt nur noch herauszufinden wieviel moegliche reihenfolgen es geben kann, damit eben 6 jungen und 6 maedchen dabei sind, d.h. man muesste quasi zaehlen
1. J,J,J,J,J,J,M,M,M,M,M,M
2. J,J,J,J,J,M,J,M,M,M,M,M usw.
man will also wissen wieviele moegliechkeiten es gibt 6 jungen auf 12 "plaetze" zu verteilen
der schlaue bernoulli hat das gechecked:
naemlich 12 ueber 6=12!/(6!*6!)=924
es gibt also 924 solche Jungen-maedchen kette, so dass genau 6 j und 6 m dabei sind -->
Wahrscheinlichkeit = 924*(0.5)^12=0,2256
ciao

Bezug
                
Bezug
Binomialverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Di 31.01.2006
Autor: Anna17

Aufgabe
Bestimme die verteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Mädchen in einer Familie mit 4 Kindern  (Wahrscheinlichkeit = 0,5)

Hallo!,
habe diese aufgabe nun mit Hilfe des Stammbaums gelöst:

0 Mädchen: [mm] 1*(0,5)x^{0}* (0,5)x^{4}= [/mm] 0,0625
1 Mädchen: [mm] 4*(0,5)x^{1}* (0,5)x^{3}= [/mm] 0,25
2 Mädchen: [mm] 6*(0,5)x^{2}* (0,5)x^{2}= [/mm] 0,375
3 Mädchen: [mm] 4*(0,5)x^{3}* (0,5)x^{1}= [/mm] 0,25
4 Mädchen: [mm] 1*(0,5)x^{4}* (0,5)x^{0}= [/mm] 0,0625

sind die Ergebnisse richtig? und gibt es nicht eine einfachen Weg als den Stammbaum?

c)Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Familie mit 6 Kindern mehr Jungen als Mädchen? (Wahrscheinlichkeit Jungen 0,5 Mädchen 0,5)

-->Stammbaum?

Bezug
                        
Bezug
Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Di 31.01.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Anna,

> Bestimme die verteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der
> Mädchen in einer Familie mit 4 Kindern  (Wahrscheinlichkeit
> = 0,5)
>  Hallo!,
>  habe diese aufgabe nun mit Hilfe des Stammbaums gelöst:
>  
> 0 Mädchen: [mm]1*(0,5)x^{0}* (0,5)x^{4}=[/mm] 0,0625
>  1 Mädchen: [mm]4*(0,5)x^{1}* (0,5)x^{3}=[/mm] 0,25
>  2 Mädchen: [mm]6*(0,5)x^{2}* (0,5)x^{2}=[/mm] 0,375
>  3 Mädchen: [mm]4*(0,5)x^{3}* (0,5)x^{1}=[/mm] 0,25
>  4 Mädchen: [mm]1*(0,5)x^{4}* (0,5)x^{0}=[/mm] 0,0625
>  
> sind die Ergebnisse richtig? und gibt es nicht eine
> einfachen Weg als den Stammbaum?

Wenn Du das "x" noch weglässt, dann stimmt's.
Meinst Du mit Stammbaum das "Baumdiagramm"?
Dann ist's klar, dass es einfacher geht, nämlich mit der Bernoulli-Formel, die Dir mui bereits an einem Beispiel vorgerechnet hat:

P(X=k) = [mm] \vektor{4 \\ k}*0,5^{k}*0,5^{4-k} [/mm]

Ja es gibt sogar Tabellen für gängige Binomialverteilungen. Bin mir sicher, dass Ihr die bald benutzen werdet! Dann brauchst Du's bloß abzulesen.
  

> c)Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Familie mit
> 6 Kindern mehr Jungen als Mädchen? (Wahrscheinlichkeit
> Jungen 0,5 Mädchen 0,5)

Mehr Jungen als Mädchen heißt in diesem Fall: 4 Jungen, 5 Jungen oder 6 Jungen.
Bezeichne die Anzahl der Jungen mit X, dann gilt:

P(X > 3) = [mm] \vektor{6 \\ 4}*0,5^{4}*0,5^{2} [/mm] + [mm] \vektor{6 \\ 5}*0,5^{5}*0,5^{1} [/mm] + [mm] \vektor{6 \\ 6}*0,5^{6}*0,5^{0} [/mm] = 0,23438 + 0,09375 + 0,01563 = 0,34376

mfG!
Zwerglein

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