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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Di 20.06.2006 | | Autor: | Phecda |
hi ich hab schon so lang nachgedacht aber ich komm nicht auf ein beweis.
warum gilt für eine binomialverteilte zufallsgröße mit der wahscheinlihckeit p und n als (n-te bernoulli kette) für den erwartungswert my:
my=n*p?
kann mir jemand sagen, wie man sowas beweisen kann?
dankeee
mfg Phecda
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Hallo Phecda,
> hi ich hab schon so lang nachgedacht aber ich komm nicht
> auf ein beweis.
> warum gilt für eine binomialverteilte zufallsgröße mit der
> wahscheinlihckeit p und n als (n-te bernoulli kette) für
> den erwartungswert my:
>
> my=n*p?
> kann mir jemand sagen, wie man sowas beweisen kann?
Ich kann dir ja mal den Beweis aus unserer Stochastik-Vorlesung aufschreiben: 
Es ist zu berechnen:
[mm]E(X) = \sum_{k=0}^n{k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}.[/mm]
Da für [mm]k = 0[/mm] der erste Summand 0 ist, beginnen wir die Summation mit [mm]k = 1[/mm]:
[mm] \begin{array}{ll}
\displaystyle E(X) & \displaystyle\mathop =^{\text{Def.}} \sum_{k=1}^n{k\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}}\\{}&\displaystyle
\mathop =^{\texttt{''k"urzen''}} \sum_{k=1}^n{\frac{(n-1)!n}{(k-1)!\underbrace{(n-k)!}_{=(n-1-k+1)!}}pp^{k-1}(1-p)^{n-k}}\\{}&\displaystyle
= np\sum_{k=1}^n{\binom{n-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}}\\{}&\displaystyle
\mathop =^{\substack{i:=k-1\\m := n-1}} np\sum_{i=0}^m{\binom{m}{i}p^{i}(1-p)^{m+1-i-1}}\\{}&\displaystyle
\mathop =^{\substack{\texttt{binomischer}\\\texttt{Lehrsatz}}} np\cdot{1} = np.\quad\Box
\end{array}
[/mm]
Viele Grüße
Karl
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