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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 So 07.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Sei Z eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Paramtern (n,p).
(i) Berechnen Sie P(Z=12), wenn p=0.01 und n=1000 mit Hilfe einer geeigneten Approximation.
(ii) Schätzen Sie [mm] P(7\leqslant Z\leqslant [/mm] 13) für p=0.01 und n=1000 mittels einer geeigneten Wahrscheinlichkeits-Ungleichung nach unten ab. |
Also (i) ist an sich kein Problem. Was mich daran stutzig macht, ist das Wort "Approximation". Ich meine, das ist doch ne ganz normale Binomialverteilung, da kann ich doch einfach rechnen
[mm] P(Z=12)=\vektor{1000 \\ 12}p^{12}(1-p)^{988}\approx [/mm] 9,5%
Was gibts da zu approximieren?
(ii) "Wahrscheinlichkeits-Ungleichung" - Da fällt mir doch glatt Tschebyschev ein ;) Allerdings:
Da [mm] P(|Z-EZ|\geqslant 3)\leqslant \bruch{var(Z)}{3^2}=\bruch{np(1-p)}{9} [/mm] ist
[mm] P(7\leqslant Z\leqslant 13)=P(|Z-EZ|\leqslant 3)=1-P(|Z-EZ|\geqslant 3)\geqslant 1-\bruch{1000*0.01*0.99}{9}=-0.01
[/mm]
Toll?! Hab ich da was falsch gemacht? Ich mein, dass die Warhscheinlichkeit größer -0.01 ist, hätt ich mir auch selbst denken können ;)
Und dann gleich mal noch ne formelle Sache zu ner anderen Frage: Wenn gefragt wird "Geben Sie die Verteilung von ... an", reicht es dann, wenn man einfach aufschreibt
P(X=1)=..., P(X=2)=..., P(X=3)=... ?
Bin für jede (Teil-)Antwort dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 So 07.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei Z eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Paramtern
> (n,p).
> (i) Berechnen Sie P(Z=12), wenn p=0.01 und n=1000 mit
> Hilfe einer geeigneten Approximation.
> (ii) Schätzen Sie [mm]P(7\leqslant Z\leqslant[/mm] 13) für p=0.01
> und n=1000 mittels einer geeigneten
> Wahrscheinlichkeits-Ungleichung nach unten ab.
> Also (i) ist an sich kein Problem. Was mich daran stutzig
> macht, ist das Wort "Approximation". Ich meine, das ist
> doch ne ganz normale Binomialverteilung, da kann ich doch
> einfach rechnen
> [mm]P(Z=12)=\vektor{1000 \\ 12}p^{12}(1-p)^{988}\approx[/mm] 9,5%
> Was gibts da zu approximieren?
Hallo,
die meisten Taschenrechner steigen entweder bei [mm] \vektor{1000 \\ 12} [/mm] oder [mm] (1-p)^{988} [/mm] wegen Speicherüberlaufs aus oder runden irgendwann [mm] (1-p)^{988} [/mm] auf Null.
Für n*p<3 kann man mit guter Näherung die Normalverteilung als Näherungswert nehmen, indem man das [mm] \mu [/mm] und das [mm] \sigma [/mm] der Bin.-Vert. auf eine Normalverteilung mit den gleichen Werten überträgt. Der Näherungswert wäre dann P(11,5<X<12,5) dieser Normalverteilung.
Gruß Abakus
>
> (ii) "Wahrscheinlichkeits-Ungleichung" - Da fällt mir doch
> glatt Tschebyschev ein ;) Allerdings:
>
> Da [mm]P(|Z-EZ|\geqslant 3)\leqslant \bruch{var(Z)}{3^2}=\bruch{np(1-p)}{9}[/mm]
> ist
>
> [mm]P(7\leqslant Z\leqslant 13)=P(|Z-EZ|\leqslant 3)=1-P(|Z-EZ|\geqslant 3)\geqslant 1-\bruch{1000*0.01*0.99}{9}=-0.01[/mm]
>
> Toll?! Hab ich da was falsch gemacht? Ich mein, dass die
> Warhscheinlichkeit größer -0.01 ist, hätt ich mir auch
> selbst denken können ;)
>
> Und dann gleich mal noch ne formelle Sache zu ner anderen
> Frage: Wenn gefragt wird "Geben Sie die Verteilung von ...
> an", reicht es dann, wenn man einfach aufschreibt
> P(X=1)=..., P(X=2)=..., P(X=3)=... ?
>
> Bin für jede (Teil-)Antwort dankbar :)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:31 So 07.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Das mit der Normalverteilung hatte ich mir auch schon überlegt, mir war nur nicht klar, dass man dann 11.5<X<12.5 nehmen muss. Also Danke!
Aber meine anderen Fragen sind immer noch offen...
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Hallo,
> (ii) "Wahrscheinlichkeits-Ungleichung" - Da fällt mir doch
> glatt Tschebyschev ein ;) Allerdings:
mir auch 
> Da [mm]P(|Z-EZ|\geqslant 3)\leqslant \bruch{var(Z)}{3^2}=\bruch{np(1-p)}{9}[/mm]
> ist
>
> [mm]P(7\leqslant Z\leqslant 13)=P(|Z-EZ|\leqslant 3)=1-P(|Z-EZ|\geqslant 3)\geqslant 1-\bruch{1000*0.01*0.99}{9}=-0.01[/mm]
>
> Toll?! Hab ich da was falsch gemacht? Ich mein, dass die
> Warhscheinlichkeit größer -0.01 ist, hätt ich mir auch
> selbst denken können ;)
Du hast einen Fehler an folgender Stelle gemacht:
[mm] $P(|Z-EZ|\leqslant 3)=1-P(|Z-EZ|\geqslant [/mm] 3)$
Das gilt (hoechstens) für stetig verteilte Zufallsvariablen! Hier ist Z aber diskret verteilt!
Da ist:
[mm] $P(|Z-EZ|\leqslant 3)=1-P(|Z-EZ|\red{>} [/mm] 3)$
Damit du trotzdem "elegant" Tschebyscheff anwenden kannst, solltest du es so machen:
[mm] $P(7\le [/mm] Z [mm] \le [/mm] 13) = P(6 < Z < 14) = P(-4 < Z-10 < 4) = P(|Z-10| < 4) = [mm] 1-P(|Z-10|\ge [/mm] 4)$
Guck mal, ob's jetzt besser klappt
> Und dann gleich mal noch ne formelle Sache zu ner anderen
> Frage: Wenn gefragt wird "Geben Sie die Verteilung von ...
> an", reicht es dann, wenn man einfach aufschreibt
> P(X=1)=..., P(X=2)=..., P(X=3)=... ?
Das, was du jetzt hier hinschreibst, ist ja mehr oder weniger eine Zähldichte.
Theoretisch reicht das (meine ich), meist ist die Verteilung dann aber irgendwas "bekanntes", dessen Namen solltest du dann noch hinschreiben.
Grüße,
Stefan
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