Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Do 25.11.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe 1 | Eine Firma stellt ein Serienprodukt mit den Maschinen M1, M2, M3 und M4 her. Es werden 45% der Gesamtproduktion auf M1, 32% der Gesamtproduktion auf M2, 15% der Gesamtproduktion auf M3 und der Rest auf M4 hergestellt.
Empirisch wurde festgestellt, dass 5% der von M1, 4% der von M2, 2% der von M3 und 6% der von M4 hergestellten Produkte fehlerhaft sind. Die insgesamt produzierten Teile werden in einem Lager gesammelt.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein im Lager zufällig ausgewähltes Produkt fehlerhaft ist.
b) Berechnen Sie, wie viele Teile geprüft werden müssen, dass die Wahrscheinlichkeit, wenigstens ein fehlerhaftes zu erhalten, mindestens 95% beträgt. |
| Aufgabe 2 | Die Wahrscheinlichkeit für das Ausfallen eines bestimmten elektrischen Geräts in den ersten 1000 Betriebsstunden beträgt 2%.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 200 solcher Geräte weniger als 3% fehlerhaft sind?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 2500 solcher Geräte die Anzahl der fehlerhaften Geräte um höchstens 5 Stück vom Erwartungswert abweicht? |
Hallo,
ich zerbreche mir jetzt schon seit über zwei Tagen den Kopf bezüglich der Binomialverteilung.
Mir ist zwar grundsätzlich die Rechenweise mit der Formel [mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)^n^-^k [/mm] klar, jedoch scheitere ich jedes Mal an Aufgaben, in denen je zwei Prozentsätze gegeben sind. Ich wäre daher sehr dankbar, wenn mir jemand grundsätzlich weiterhelfen würde. Am ehesten würde mir ein Tipp helfen, wie ich aus dem Text die nötigen Angaben herauslesen kann.
Zwei Beispielaufgaben habe ich oben genannt.
Besten Dank!
Edit: Teil a) der zweiten Aufgabe habe ich jetzt herausgefunden. Ich habe die 3% der Geräte von % in Geräte umgerechnet. So komme ich auf 6 Stk.
P(X<6)=P(X=0;1;2;3;4;5)=0,7865 = 78,65%
Bei b) hänge ich aber weiterhin. Genau so bei der ersten Aufgabe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Do 25.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hat jemand einen Tipp für mich? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Drahmas,
Binomialverteilungen sind ja durch 2 Parameter charakterisiert, nämlich die sogenannte Erfolgswahrscheinlichkeit (bei einer Durchführung des Experiments) p und die Anzahl der Durchführungen n. Wenn irgendwelche W'keiten zu bestimmen sind, muss man die erst mal haben.(Erfolgsw'keit heisst es,obwohl manchmal auch Misserfolge oder Defekte gemeint sind. Ist nur ein Name.)
Zu 2.
"Die W'keit für das Ausfallen eines bestimmten elektrischen Gerätes[...] beträgt 2%." Da haben wir ja schon das p=0,02
b) "...2500 solcher Geräte...", also n=2500
Für den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] einer binomialverteilten Zufallsgrösse gibt es eine Formel, die sollte man natürlich wissen (oder wissen, wo sie steht  ): [mm] \mu=n*p
[/mm]
Hier also [mm] \mu=2500*0,02=50
[/mm]
X: die Anzahl defekter Geräte soll höchstens 5 vom Erwartungswert abweichen, heisst also [mm] 50\pm5, [/mm] also [mm] $45\le [/mm] X [mm] \le55$ [/mm] und davon ist die W'keit gesucht.
Zu 1.
Wenn ich mir zufällig ein Teil rausgreife ist es zunächst mal Zufall von welcher Maschine das Teil ist.
P(M1)=0,45
P(M2)=0,32
P(M3)=0,15
P(M4)=1-(0,45+0,32+0,15)=0,08 (Insgesamt muss 1 rauskommen,da es von irgendeiner der Maschinen kommen muss.)
Und aussedem hängt seine Defektw'keit dann davon ab,von welcher Maschine es ist. Diese W'keit ist also eine bedingte W'keit. Ist das Teil von M1, beträgt sie also
[mm] P_{M1}(D)=0,05 [/mm] und analog
[mm] P_{M2}(D)=0,04
[/mm]
[mm] P_{M3}(D)=0,02
[/mm]
[mm] P_{M4}(D)=0,06
[/mm]
Diese Überlegungen kann man mir einem 2 Stufen Zufallsexperiment beschreiben, bei dem in der ersten Stufe über die Maschine, in der zweiten, dann über defekt, nicht defekt entschieden wird. Kann man zB durch ein Baumdiagramm darstellen.
Um nun die gesuchte W'keit rauszufinden, muss das Teil von M1 und defekt sein, Ereignis [mm] $M1\cap [/mm] D$ oder von M2 und defekt sein, also [mm] $M2\cap [/mm] D$, usw.
Da die Ereignisse disjunkt sind (ein Teil kann nicht gleichzeitig von mehreren Maschinen sein) und "oder" bei W'keiten "+" bedeutet (2.Pfadregel beim Baumdiagramm ) gilt
[mm] $P(D)=P(M1\cap D)+P(M2\cap D)+P(M3\cap D)+P(M4\cap [/mm] D)$ und wie man auf [mm] $P(M1\cap [/mm] D)$ usw. kommt, kriegst du vielleicht selbst hin? (1.Pfadregel im Baumdiagramm)
So, wenn man nun P(D) hat, weiss man mit welcher W'keit ein geprüftes Teil kaputt ist. Wenn X: Anzahl defekter Teile bei n geprüften ist, ist X wieder binomailverteilt mit p=P(D) und n=unbekannt, das sollst du rausfinden. Es soll gelten [mm] P(X\ge 1)\ge0,95
[/mm]
Mein Tipp: [mm] $P(X\ge [/mm] 1)=1-P(X=0)$ dann kommst du vielleicht selbst drauf.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 26.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo Walde,
vielen Dank für Deine sehr ausführliche Antwort.
Zunächst eine Frage zu 2b)
Wenn die Abweichung höchstens 5 betragen darf, wäre das doch [mm] P(X\le5)=P(X=0;1;2;3;4;5), [/mm] oder?
Oder ist damit gemeint P(X=45;46;…;55)?
Wenn ich aber rechne z.B.: [mm] P(X=5)=\vektor{2500 \\ 5}*0,02^5*0,98^2^5^0^0^-^5=3.3341\times10^-^1^6 [/mm] ist das eine extrem kleine Zahl. Somit komme ich selbst mit allen Wahrscheinlichkeiten zusammen, nicht auf das Endergebnis.
Oder habe ich da was falsch verstanden?
lG> Hi Drahmas,
>
>
> Binomialverteilungen sind ja durch 2 Parameter
> charakterisiert, nämlich die sogenannte
> Erfolgswahrscheinlichkeit (bei einer Durchführung des
> Experiments) p und die Anzahl der Durchführungen n. Wenn
> irgendwelche W'keiten zu bestimmen sind, muss man die erst
> mal haben.(Erfolgsw'keit heisst es,obwohl manchmal auch
> Misserfolge oder Defekte gemeint sind. Ist nur ein Name.)
>
> Zu 2.
> "Die W'keit für das Ausfallen eines bestimmten
> elektrischen Gerätes[...] beträgt 2%." Da haben wir ja
> schon das p=0,02
>
> b) "...2500 solcher Geräte...", also n=2500
>
> Für den Erwartungswert [mm]\mu[/mm] einer binomialverteilten
> Zufallsgrösse gibt es eine Formel, die sollte man
> natürlich wissen (oder wissen, wo sie steht ):
> [mm]\mu=n*p[/mm]
>
> Hier also [mm]\mu=2500*0,02=50[/mm]
>
> X: die Anzahl defekter Geräte soll höchstens 5 vom
> Erwartungswert abweichen, heisst also [mm]50\pm5,[/mm] also [mm]45\le X \le55[/mm]
> und davon ist die W'keit gesucht.
>
> Zu 1.
>
> Wenn ich mir zufällig ein Teil rausgreife ist es zunächst
> mal Zufall von welcher Maschine das Teil ist.
> P(M1)=0,45
> P(M2)=0,32
> P(M3)=0,15
> P(M4)=1-(0,45+0,32+0,15)=0,08 (Insgesamt muss 1
> rauskommen,da es von irgendeiner der Maschinen kommen
> muss.)
>
> Und aussedem hängt seine Defektw'keit dann davon ab,von
> welcher Maschine es ist. Diese W'keit ist also eine
> bedingte W'keit. Ist das Teil von M1, beträgt sie also
> [mm]P_{M1}(D)=0,05[/mm] und analog
> [mm]P_{M2}(D)=0,04[/mm]
> [mm]P_{M3}(D)=0,02[/mm]
> [mm]P_{M4}(D)=0,06[/mm]
>
> Diese Überlegungen kann man mir einem 2 Stufen
> Zufallsexperiment beschreiben, bei dem in der ersten Stufe
> über die Maschine, in der zweiten, dann über defekt,
> nicht defekt entschieden wird. Kann man zB durch ein
> Baumdiagramm darstellen.
>
> Um nun die gesuchte W'keit rauszufinden, muss das Teil von
> M1 und defekt sein, Ereignis [mm]M1\cap D[/mm] oder von M2 und
> defekt sein, also [mm]M2\cap D[/mm], usw.
> Da die Ereignisse disjunkt sind (ein Teil kann nicht
> gleichzeitig von mehreren Maschinen sein) und "oder" bei
> W'keiten "+" bedeutet (2.Pfadregel beim Baumdiagramm ) gilt
> [mm]P(D)=P(M1\cap D)+P(M2\cap D)+P(M3\cap D)+P(M4\cap D)[/mm] und
> wie man auf [mm]P(M1\cap D)[/mm] usw. kommt, kriegst du vielleicht
> selbst hin? (1.Pfadregel im Baumdiagramm)
>
> So, wenn man nun P(D) hat, weiss man mit welcher W'keit ein
> geprüftes Teil kaputt ist. Wenn X: Anzahl defekter Teile
> bei n geprüften ist, ist X wieder binomailverteilt mit
> p=P(D) und n=unbekannt, das sollst du rausfinden. Es soll
> gelten [mm]P(X\ge 1)\ge0,95[/mm]
> Mein Tipp: [mm]P(X\ge 1)=1-P(X=0)[/mm] dann
> kommst du vielleicht selbst drauf.
>
> LG walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 26.11.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
Aufgabe 2
Die Wahrscheinlichkeit für das Ausfallen eines bestimmten elektrischen Geräts in den ersten 1000 Betriebsstunden beträgt 2%.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 2500 solcher Geräte die Anzahl der fehlerhaften Geräte um höchstens 5 Stück vom Erwartungswert abweicht?
2500 Geraete, also $n=2500$,
[mm] $p=2\%$ [/mm] angegeben,
$Erwartungswert\ [mm] n\* [/mm] p=50$,
maximale Abweichung vom Mittel $5$,
also
45 oder 46 oder 47 oder .... 54 oder 55 fehlerhafte Geräte.
Die Lösung erhält man als
[mm] $P(X\le [/mm] 55) [mm] -P(X\le [/mm] 44)$,
mit $X$ als Anzahl der fehlerhaften Geräte.
Freundliche Grüße
Karsten Martin
PS: da $n*p\ ziemlich\ gross$ und $p\ ziemlich\ klein$,
nämlich $n*p=50$ und $p=0.02$ ist,
läßt sich die Binomialverteilung ohne allzu großen Fehler durch die (einfachere) Poissonverteilung nähern.
PPS: die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nach meiner Rechnung spürbar größer als 50% aber bleibt unter 60%;
mit anderen Worten:
in gut der Hälfte der Fälle findet man zwischen 45 und 55 Defektgeräte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 26.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
Die sehr großen Zahlen verwirren mich etwas.
ich müsste ja zunächst die Wahrscheinlichkeit von [mm] P(X\le55) [/mm] ausrechnen, was ja quasi P(X=0;1;2;3;4;…;55) wäre, das ist ja recht viel Aufwand? Mit dem Umkehrereignis kann man in diesem fall auch nichts anfangen.
Gibts da noch einen anderen Weg um mit so großen Zahlen zu rechnen?
Warum rechnet man bei [mm] P(X\le55)-P(X\le44) [/mm] mit [mm] P(X\le44) [/mm] und nicht mit [mm] P(X\le45), [/mm] also warum noch inkl. dem 44. Teil?
Danke und beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Fr 26.11.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Abend,
das Stchwort ist: kumulierte Verteilung.
Hier: je nachdem
kumulierte Binomialverteilung
bzw.
kumulierte Poissonverteilung.
Diese kumulierten Verteilungen sind häufig vertafelt;
man kann die Werte ablesen und braucht sie nicht auszurechnen
(wenn man die Tafel hat).
Ohne Tafel rechnet man schneller
P(x=45)+P(X=46)+...+P(X=55)
als
P(X=0)+P(x=1)+...P(X=55)-P(X=44)-P(X=43)-...-P(x=1)-P(X=0).
Freundliche Grüße
Karsten Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Fr 26.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für Deine Antwort.
Nur, wie rechne ich den Binomialkoeffizienten aus? Bei [mm] \vektor{2500 \\ 45} [/mm] macht mein Taschenrechner nicht mehr mit und mit der Formel [mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] scheint es mir auch etwas sehr, sehr aufwendig zu sein.
[mm] \vektor{2500 \\ 45}=\bruch{2500*2499*…*1}{45*44*…*1*(2455*2454*…*1)}
[/mm]
Gibts da noch andere Möglichkeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi,
also wenn ich das machen müsste, würde ich die Binomialverteilung mit der Normalverteilung annähren und die gesuchte W'keit in einer Tabelle nachlesen, wie es karma ja schon erwähnt hatte.
Alternativ, könntest du es mit dem eingebauten Taschenrechner deines Computers ausrechnen (ist zB bei Windows dabei). Meiner kanns rechnen, zB. [mm] 2500!\approx1,6*10^{7411}, [/mm] wow ganz schön viel
LG walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Fr 26.11.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und gute Nacht,
P(X=x) für x in [45, ...., 55] ist im Fall der Poissonverteilung (fast)
unabhängig von n;
n geht noch über [mm] $\lambda =n\* [/mm] p=50$ ein.
Man vermeidet die Binomialkoeffizienten
und der Unterschied zum wahren Wert
ist akzeptabel.
Ein weitere Näherungsmöglichkeit ist die Standardnormalverteilung,
deren Verteilungsfunkion vertafelt und ( ziemlich leicht ) zu finden ist.
In jedem Fall tauscht man Genauigkeit gegen Bequemlichkeit,
aber:
Exaktheit ist hin und wieder unangemessen.
Freundliche Grüße
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 26.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Zu Aufgabe 1)
Gut, ich habe jetzt gemäß der ersten Pfadregel für Teil a) der Aufgabe berechnet:
P(D)=(0,45*0,05)+(0,32*0,04)+(0,15*0,02)+(0,08*0,06)=0,0431 [mm] \approx [/mm] 4,3%
Teil b) will mir aber noch nicht ganz gelingen.
p=0,043; n=?; und für k setze ich 0 ein da:
[mm] P(X\ge1)=1-P(X=0)
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] 1-P(X=0)=1-\vektor{n \\ 0}*0,043^0*0,957^n^-0=0,95
[/mm]
Vereinfacht:
[mm] 1-0,957^n=0,95 \gdw 0,05=0,957^n [/mm] /lg
lg 0,05=n * lg0,957 /:lg0,957
0,014 = n
Da stimmt aber irgendwas nicht, oder?![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke noch mal…
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Fr 26.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Da hab ich zu voreilig gezweifelt :) ... hab mich anscheinend nur vertippt. So kommt man aufs Ergebnis von 68,159 …
Danke für die Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi drahmas
> Zu Aufgabe 1)
>
> Gut, ich habe jetzt gemäß der ersten Pfadregel für Teil
> a) der Aufgabe berechnet:
>
> P(D)=(0,45*0,05)+(0,32*0,04)+(0,15*0,02)+(0,08*0,06)=0,0431
> [mm]\approx[/mm] 4,3%
>
> Teil b) will mir aber noch nicht ganz gelingen.
>
> p=0,043; n=?; und für k setze ich 0 ein da:
>
> [mm]P(X\ge1)=1-P(X=0)[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]1-P(X=0)=1-\vektor{n \\ 0}*0,043^0*0,957^n^-0=0,95[/mm]
Ja, aber beachte, dass im Text mindestens 95% steht, d.h. es muss statt [mm] \cdots=0,95
[/mm]
[mm] $\cdots\ge [/mm] 0,95$ heissen
>
> Vereinfacht:
> [mm]1-0,957^n=0,95 \gdw 0,05=0,957^n[/mm] /lg
> lg 0,05=n * lg0,957 /:lg0,957
> 0,014 = n
>
> Da stimmt aber irgendwas nicht, oder?
>
>
> Danke noch mal…
was dann am Schluss ein [mm] $n\ge 68,\cdots$ [/mm] ergibt und im Antwortsatz dann "Es muss mindestens 69 mal geprüft werden." heissen muss, da n nur ganzzahlig sein kann.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Fr 26.11.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | 1) In den öffentlichen Verkehrsmitteln einer Stadt sind erfahrungsgemäß 5% Schwarzfahrer.
A
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Bus mit 60 Fahrgästen mindestens 3 Schwarzfahrer befinden? (Tippfehler korrigiert)
b) WIe groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Straßenbahn mit 80 Fahrgästen höchstens 78 einen Fahrschein vorweisen können?
c) ie viele Fahrgäste muss man mindestens überprüfen, um mit 99%iger Wahrscheinlichkeit wenigstens einen Schwarzfahrer anzutreffen?
B) Ein Kontrolleur überprüft täglich etwa 320 Fahrgäste.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei weniger als 10 Schwarzfahrer antrifft?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mehr als 20 Schwarzfahrer antrifft?
c) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] liegt mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Schwarzfahrer, die er täglich antrifft? |
Okay, prima! Vielen Dank für die Antworten, hat mir sehr geholfen ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") .
Nun noch eine Frage zum Umkehrereignis, da bin ich mir streckenweise etwas unsicher.
Ich habe das mal folgendermaßen versucht:
Genau Y bedeutet
P(X=Y) [mm] \gdw [/mm] P(X=0) ?
Mindestens Y bedeutet
[mm] P(X\ge [/mm] Y) [mm] \gdw [/mm] 1-P(X<Y)
Höchstens Y bedeutet
[mm] P(X\le [/mm] Y) [mm] \gdw [/mm] 1-P(X>Y)
Weniger als Y bedeutet
P(X<Y) [mm] \gdw 1-P(X\ge [/mm] Y)
Mehr als Y bedeutet
P(X>y) [mm] \gdw 1-P(X\le [/mm] Y)
Stimmt das so?
Ich habe oben noch mal eine Aufgabe angehängt, bei der die Aufgabenstellung etwas verzwickter ist.
Ich habe gerechnet:
1) p=5% = 0,05
A)
a) n=60; [mm] k\ge3
[/mm]
[mm] P(X\ge3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))
[/mm]
P(X=1)=0,14584
P(X=2)=0,22588
P(X=0)=0,04606
[mm] P(X\ge3)=0,58258 \approx [/mm] 58,26%
b) Da bin ich mir etwas unsicher. n=80; [mm] k\le78 [/mm] p=95% = 0,95
[mm] P(X\le78)=1-P(X\ge2) [/mm] ?
Weil [mm] \le78 [/mm] würde ja bedeuten von 0;1;2;3;…;78 – bleiben also noch mindestens 2 übrig, oder? Nur mindestens 2 würde auch auch wieder bedeuten 2;3;4… usw. das kürzt den Rechenvorgang nicht ab. Wie mache ich das also sinnvoll?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi,
> 1) In den öffentlichen Verkehrsmitteln einer Stadt sind
> erfahrungsgemäß 5% Schwarzfahrer.
>
> A
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in
> einem Bus mit 60 Fahrgästen mindestens 30 Schwarzfahrer
> befinden?
>
> b) WIe groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer
> Straßenbahn mit 80 Fahrgästen höchstens 78 einen
> Fahrschein vorweisen können?
>
> c) ie viele Fahrgäste muss man mindestens überprüfen, um
> mit 99%iger Wahrscheinlichkeit wenigstens einen
> Schwarzfahrer anzutreffen?
>
> B) Ein Kontrolleur überprüft täglich etwa 320
> Fahrgäste.
>
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei
> weniger als 10 Schwarzfahrer antrifft?
>
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mehr
> als 20 Schwarzfahrer antrifft?
>
> c) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert
> [mm]\mu[/mm] liegt mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der
> Schwarzfahrer, die er täglich antrifft?
>
> Okay, prima! Vielen Dank für die Antworten, hat mir sehr
> geholfen .
freut mich
>
> Nun noch eine Frage zum Umkehrereignis, da bin ich mir
> streckenweise etwas unsicher.
> Ich habe das mal folgendermaßen versucht:
>
>
>
> Genau Y bedeutet
> P(X=Y) [mm]\gdw[/mm] P(X=0) ?
Nein. Das Gegenerignis zu P(X=y) wäre [mm] P(X\not=y)
[/mm]
>
> Mindestens Y bedeutet
> [mm]P(X\ge[/mm] Y) [mm]\gdw[/mm] 1-P(X<Y)
Wenn du es mit "1-" schreibst kannst du ruhig ein "=" dazwischensetzen, so:
[mm] $P(X\ge [/mm] Y) =1-P(X<Y)$
Das kommt von [mm] P(A)+P(\overline{A})=1
[/mm]
>
> Höchstens Y bedeutet
> [mm]P(X\le[/mm] Y) [mm]\gdw[/mm] 1-P(X>Y)
>
> Weniger als Y bedeutet
> P(X<Y) [mm]\gdw 1-P(X\ge[/mm] Y)
>
> Mehr als Y bedeutet
> P(X>y) [mm]\gdw 1-P(X\le[/mm] Y)
>
> Stimmt das so?
Bis auf das erste, ja.
>
> Ich habe oben noch mal eine Aufgabe angehängt, bei der die
> Aufgabenstellung etwas verzwickter ist.
>
> Ich habe gerechnet:
>
> 1) p=5% = 0,05
>
> A)
> a) n=60; [mm]k\ge3[/mm]
In der Aufgabenstellung steht "30 Schwarzfahrer", ich denke, das ist dann oben ein Tippfehler?
>
> [mm]P(X\ge3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))[/mm]
>
> P(X=1)=0,14584
> P(X=2)=0,22588
> P(X=0)=0,04606
>
> [mm]P(X\ge3)=0,58258 \approx[/mm] 58,26%
>
> b) Da bin ich mir etwas unsicher. n=80; [mm]k\le78[/mm] p=95% =
> 0,95
>
> [mm]P(X\le78)=1-P(X\ge2)[/mm] ?
Da hast du nicht deine (richtige) Formel von oben benutzt. Welche, hab ich mal grün markiert.
>
> Weil [mm]\le78[/mm] würde ja bedeuten von 0;1;2;3;…;78 –
> bleiben also noch mindestens 2 übrig, oder? Nur mindestens
Mindestens 2, ja, aber Schwarzfahrer! Dein X zählt doch aber die mit Fahrschein. Gegenereignis bedeutet nicht, dass die Zufallsvariable sich ändert, nur das betrachtete Ereignis.
> 2 würde auch auch wieder bedeuten 2;3;4… usw. das kürzt
> den Rechenvorgang nicht ab. Wie mache ich das also
> sinnvoll?
Siehe oben, wenn du die Formel richtig anwendest, klappts.
>
> Beste Grüße
>
LG walde
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Sa 27.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Okay.
Dann gilt: [mm] P(X\le78)=1-P(X>2)
[/mm]
Nur größer als 2, ist doch 3;4;5;…;80.
Das wäre doch ein riesiger Aufwand da die Einzelwahrscheinlichkeiten auszurechnen?
Wie verhält sich dann das p? Das müsste doch dann entsprechend 0,95 sein, weil ich ja nun die mit Fahrschein suche, oder?
Danke noch mal für die Mühe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Walde |
> Okay.
>
> Dann gilt: [mm]P(X\le78)=1-P(X>2)[/mm]
Nein: [mm] P(X\le78)=1-P(X>\red{78}). [/mm] Vergleich doch mal genau mit deiner Formel, da steht doch beides mal y.
>
> Nur größer als 2, ist doch 3;4;5;…;80.
> Das wäre doch ein riesiger Aufwand da die
> Einzelwahrscheinlichkeiten auszurechnen?
>
> Wie verhält sich dann das p? Das müsste doch dann
> entsprechend 0,95 sein, weil ich ja nun die mit Fahrschein
> suche, oder?
Dass p=0,95 ist, hast du doch schon selbst festgestellt.
Ich zitiere:
> Da bin ich mir etwas unsicher. n=80; p=95% = 0,95
Stimmt schon.
Um alle Unklarheiten auszuräumen, sollte man angeben, wofür X steht. Etwa so:
X: Anzahl der Personen mit Fahrschein, bei 80 befragten.
>
> Danke noch mal für die Mühe :)
Gern geschehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Sa 27.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
noch ein weiteres Mal danke für die Hilfe!
Jetzt bin ich um einiges weiter.
Um die Binomialverteilung abschließen zu können, noch eine letzte Frage zum obigen Beispiel.
Und zwar zu B) c)
| Aufgabe 1 | | B) c) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegt mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Schwarzfahrer, die er täglich antrifft? |
Was ist mit "symmetrischem Intervall" gemeint? Der Erwartungswert ist jetzt klar, nur wie vereinbare ich das miteinander?
Gefühlsmäßig würd ich sagen, dass läuft sich wieder darauf raus, das Ergebnis am Ende logarithmieren zu müssen.
Kann es sein, dass [mm] \mu [/mm] k ist und n gesucht ist?. Nur wie schreibe ich dann das P(X)?
…
Hab ich beim Rest der Aufgabe jetzt richtig gerechnet?
| Aufgabe 2 | | A) b) WIe groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Straßenbahn mit 80 Fahrgästen höchstens 78 einen Fahrschein vorweisen können? |
n=80; [mm] k\le78; [/mm] p=0,95
[mm] P(X\le78)=1-P(X>78)=1-(P(X=79)+P(X=80)) [/mm] = 0,913946
| Aufgabe 3 | | A) c) ie viele Fahrgäste muss man mindestens überprüfen, um mit 99%iger Wahrscheinlichkeit wenigstens einen Schwarzfahrer anzutreffen? |
[mm] P(X\ge1)=1-P(X<1)=1-\vektor{n \\ 0}*0,05^0-0,95^n^-^0=
[/mm]
[mm] =1-0,95^n=0,99 [/mm] / [mm] -0,99+0,95^n
[/mm]
0,01 = [mm] 0,95^n [/mm] /lg
lg0,01 = n*lg0,95 /:lg0,95
n=89,78 = mehr mindestens 90 Fahrgäste
| Aufgabe 4 | B) Ein Kontrolleur überprüft täglich etwa 320 Fahrgäste.
B) a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei weniger als 10 Schwarzfahrer antrifft? |
P(X>10)=P(X=0;1;2;3;…;9) = 0,03885 = 3,88%
| Aufgabe 5 | | B) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mehr als 20 Schwarzfahrer antrifft? |
[mm] P(X>20)=1-P(X\le20)=1-P(X=0;1;2;3;…;20)=0,126822 [/mm] = 12,68%
Vielen Dank und lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
Hi,
>
> noch ein weiteres Mal danke für die Hilfe!
> Jetzt bin ich um einiges weiter.
>
> Um die Binomialverteilung abschließen zu können, noch
> eine letzte Frage zum obigen Beispiel.
>
> Und zwar zu B) c)
>
> B) c) In welchem symmetrischen Intervall um den
> Erwartungswert liegt mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die
> Anzahl der Schwarzfahrer, die er täglich antrifft?
>
>
> Was ist mit "symmetrischem Intervall" gemeint? Der
> Erwartungswert ist jetzt klar, nur wie vereinbare ich das
> miteinander?
Die Abweichung vom Erwartungswert nach oben, soll genausoviel betragen wie die Abweichung nach unten. Anders ausgedrückt: du suchst ein Intervall, in dessen Mitte der Erwartungswert liegt.
> Gefühlsmäßig würd ich sagen, dass läuft sich wieder
> darauf raus, das Ergebnis am Ende logarithmieren zu
> müssen.
Nein. Hat eher was mit der Aufgabe 2b) vom Anfang des Theads zu tun.
>
> Kann es sein, dass [mm]\mu[/mm] k ist und n gesucht ist?. Nur wie
> schreibe ich dann das P(X)?
[mm] \mu [/mm] ist einfach [mm] \mu=n*p, [/mm] n und p sind gegeben. Überleg dir zunächst, welche Gestalt ein Intervall hat, das symmetrisch um [mm] \mu [/mm] liegt.Da sind ja zunächst mal mehrere möglich. Die W'keit, dass die Anzahl der Schwarzfahrer X in diesem Intervall liegt, soll aber 95% sein(genau wirds wahrscheinlich nicht gehen, dann nimmste das erste, dessen W'keit grösser als 95% ist),da kommt dann noch eins in Frage.
Es gibt zwar Methoden, um das ohne Ausprobieren zu berechnen, falls ihr die noch nicht hattet, musst du einfach von mehreren in Frage kommenden Intervallen die W'keit berechnen, bis du das passende hast.
>
> …
>
>
> Hab ich beim Rest der Aufgabe jetzt richtig gerechnet?
>
> A) b) WIe groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer
> Straßenbahn mit 80 Fahrgästen höchstens 78 einen
> Fahrschein vorweisen können?
>
>
> n=80; [mm]k\le78;[/mm] p=0,95
>
> [mm]P(X\le78)=1-P(X>78)=1-(P(X=79)+P(X=80))[/mm] = 0,913946
>
> A) c) ie viele Fahrgäste muss man mindestens überprüfen,
> um mit 99%iger Wahrscheinlichkeit wenigstens einen
> Schwarzfahrer anzutreffen?
>
>
> [mm]P(X\ge1)=1-P(X<1)=1-\vektor{n \\ 0}*0,05^0-0,95^n^-^0=[/mm]
>
> [mm]=1-0,95^n=0,99[/mm] / [mm]-0,99+0,95^n[/mm]
> 0,01 = [mm]0,95^n[/mm] /lg
> lg0,01 = n*lg0,95 /:lg0,95
>
> n=89,78 = mehr mindestens 90 Fahrgäste
>
>
> B) Ein Kontrolleur überprüft täglich etwa 320
> Fahrgäste.
>
> B) a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei
> weniger als 10 Schwarzfahrer antrifft?
>
>
> P(X>10)=P(X=0;1;2;3;…;9) = 0,03885 = 3,88%
Es ist äusserst wichtig, dass du schreibst, was X sein soll. Wenn X:Anzahl der Schwarzfahrer ist, muss es P(X<10) heisen.
>
> B) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei
> mehr als 20 Schwarzfahrer antrifft?
>
>
> [mm]P(X>20)=1-P(X\le20)=1-P(X=0;1;2;3;…;20)=0,126822[/mm] =
> 12,68%
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> Vielen Dank und lG
Sieht sonst ganz gut aus, aber die Zahlen hab ich nicht nachgerechnet.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 28.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Mir ist ehrlich gesagt gar nicht genau klar, wie ich überhaupt zum Intervall komme? Was bedeutet in dem Zusammenhang "symmetrisch"?
p=0,95 wiederum und n=320, oder?
Danke und beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 So 28.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi drahmas,
> Mir ist ehrlich gesagt gar nicht genau klar, wie ich
> überhaupt zum Intervall komme? Was bedeutet in dem
> Zusammenhang "symmetrisch"?
Ei, das hab ich doch oben geschrieben. Ich zitiere mich selbst :
> ...du suchst ein Intervall, in dessen Mitte der Erwartungswert liegt.
Sagen wir der Erwartungswert wäre 50 (ist er hier nicht), dann wäre [45;55] ein um [mm] \mu [/mm] symmetrisches Intervall.Oder [49;51] oder [0;100]
Ich zitiere nochmal:
> Die Abweichung vom Erwartungswert nach oben, soll genausoviel betragen wie die Abweichung nach unten.
>
> p=0,95 wiederum und n=320, oder?
n stimmt, aber p=0,95 war die W'keit, das einer einen Fahrschein hat. Es geht hier ja jetzt um die Schwarzfahrer, die haben eine andere W'keit.
>
> Danke und beste Grüße
Danke und gleichfalls.
Ich geb dir noch einen Tipp. Die Intervalle, die ich oben angegeben habe, hätte ich auch so angeben können: [50-5;50+5] oder [50-1;50+1] oder [50-50;50+50]
Und du musst jetzt eins finden (natürlich mit dem Erwartungswert der Aufgabe), so dass die W'keit davon 95% (oder knapp drüber) ist.
Jetzt klarer?
walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mo 29.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hi walde,
okay, ich glaube, ich weiß nun was gemeint ist.
p= nach wie vor 0,05, da es ja um die Schwarzfahrer geht.
Den Intervall würde ich dann definieren z.B. mit P(… [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] …)
Da ja [mm] \mu=n*p=320*0,05=16 [/mm] – wäre X ja der Erwartungswert.
Wenn ich z.B. vom Intervall +/- 6 ausgehe, wäre P(10 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 22) der Intervall. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen, sollten dann, im richtigen Intervall, 95% ergeben, oder?
Mit welcher Methode könnte ich denn ohne alle Einzelw'keiten berechnen zu müssen, den korrekten Intervall herausfinden?
Besten Dank ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Hi walde,
>
> okay, ich glaube, ich weiß nun was gemeint ist.
>
>
> p= nach wie vor 0,05, da es ja um die Schwarzfahrer geht.
> Den Intervall würde ich dann definieren z.B. mit P(…
> [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] …)
>
> Da ja [mm]\mu=n*p=320*0,05=16[/mm] – wäre X ja der
> Erwartungswert.
Du meinst [mm] \mu=16 [/mm] ist für X der Erwartungswert? Ja, richtig.
> Wenn ich z.B. vom Intervall +/- 6 ausgehe, wäre P(10 [mm]\le[/mm]
> X [mm]\le[/mm] 22) der Intervall. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten
> zusammen, sollten dann, im richtigen Intervall, 95%
> ergeben, oder?
Genau.
>
> Mit welcher Methode könnte ich denn ohne alle
> Einzelw'keiten berechnen zu müssen, den korrekten
> Intervall herausfinden?
Da würde man die Binomialverteilung wieder mit der Standardnormalverteilung annähren, damit man die W'keiten in einer Tabelle ablesen kann.
>
> Besten Dank
>
Gern geschehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Mo 29.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Alles klar. Hat mir sehr geholfen. Danke! ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
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