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| Aufgabe | | Seien [mm] X_1,...,X_n [/mm] unabhängigen Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable [mm] X_1+...+X_n [/mm] binomialverteilt ist mit Parametern m = [mm] m_1+...+m_n [/mm] und p = [mm] p_1^2+...+p_n^2, [/mm] falls [mm] X_i \sim Bin(m_i, p_i), [/mm] i=1,...,n. |
Hallo an alle :)
in diesem Fall weiss ich den Lösungsansatz trotzdem bin einfach nicht fähig das richtig ableiten. Ich versuche den ersten Schritt in der Induktion zu machen und zwar:
k=2, [mm] X_1 \sim Bin(m_1, p_1), X_2 \sim Bin(m_2, p_2)
[/mm]
[mm] P(X_1+X_2=r) [/mm] = (unabhängig und diskretverteilt) [mm] \summe_{i=0}^{r} \vektor{m_1 \\ i} p_1^i (1-p_1)^{m_1 - i} \vektor{m_2 \\ r-i} p_2^{r-i} (1-p_2)^{m_2 -(r- i)} [/mm]
Ich versuche, doch dieser Ausdruck [mm] \vektor{m_1+m_2 \\ r}(p_1^2+p_2^2)^r (1-(p_1^2+p_2^2))^{m_1+m_2-r} [/mm] kann ich nicht daraus ableiten.
Es wäre nett, wenn mir jemand eine Idee geben kann. :) Danke.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Di 14.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin lugalzagez
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] unabhängigen Zufallsvariablen. Zeigen
> Sie, dass die Zufallsvariable [mm]X_1+...+X_n[/mm] binomialverteilt
> ist mit Parametern m = [mm]m_1+...+m_n[/mm] und p = [mm]p_1^2+...+p_n^2,[/mm]
> falls [mm]X_i \sim Bin(m_i, p_i),[/mm] i=1,...,n.
Hier scheint etwas nicht zu stimmen: Betrachte den Fall $n=2_$ mit [mm] $p_1=p_2=0.9$ [/mm] ...
vg Luis
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Danke Luis,
Du hast Recht, unser Professor hat den Fehler heute korrigiert. Wir sollen die Aufgabe lösen, wobei [mm] X_i \sim Bin(m_i, [/mm] p) ohne jeweilige Bedingung zu p. Dann ist es ganz einfach für k=2:
[mm] P(X_1+X_2=r) [/mm] = [mm] P(\{X_1=i\} \cap \{X_2=r-i\}) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{r}\vektor{m_1 \\ i}p^i(1-p)^{m_1-i}\vektor{m_2 \\ r-i}p^{r-i}(1-p)^{m_2-(r-i)} [/mm] = [mm] p^r(1-p)^{m_1+m_2-r} \summe_{i=0}^{r}\vektor{m_1 \\ i}\vektor{m_2 \\ r-i} [/mm] = (Vandermodensche Identität) = [mm] \vektor{m_1+m_2 \\ r}p^r(1-p)^{m_1+m_2-r}
[/mm]
Und für k=n-1 und k=n ist es analog. Danke :)
Und so stimmt das :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mi 15.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Ich erlaube mir, den Aufgabentext wie folgt zu revidieren:
Seien $ [mm] X_1,...,X_n [/mm] $ unabhängigen Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable $ [mm] X_1+...+X_n [/mm] $ binomialverteilt ist mit Parametern $m = [mm] m_1+...+m_n [/mm] $ und $p_$ falls $ [mm] X_i \sim Bin(m_i, [/mm] p), i=1,...,n$.
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 15.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du hast also gezeigt, dass [mm] $X_1+X_2$ [/mm] binomialverteilt ist mit [mm] $m_1+m_2$ [/mm] und $p_$. Das reicht doch aber schon, denn mit derselben Argumentation ist [mm] $X_1+X_2+X_3=(X_1+X_2)+X_3$ [/mm] binomialverteilt mit [mm] $m_1+m_2+m_3=(m_1+m_2)+m_3$ [/mm] und $p_$ usw.
Wenn du unbedingt mit IV beweisen willst, kannst du genauso im Induktionsschluss argumentieren.
vg Luis
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Ja, echt. Dann wird die ganze Induktion vereinfacht und ich spare mir langes Schreiben. Danke für den Tip und alle Deine Bemerkungen :)
Schönen Abend!
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