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Forum "Uni-Stochastik" - Binomialverteilung
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Binomialverteilung: zweimal berechnen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Di 29.05.2012
Autor: bandchef

Aufgabe
Um zu entscheiden, ob die umfangreiche Lieferung eines Massenartikels angenommen werden soll, wird der folgende zweistufige Stichprobenplan durchgeführt: Es wird eine erste Stichprobe vom Umfang n1 = 5 mit Zurücklegen genommen. Enthält sie kein fehlerhaftes Teil, so wird die Lieferung angenommen, bei zwei oder mehr fehlerhaften Teilen wird sie zurückgewiesen. Bei einem Ausschussteil wird eine zweite Stichprobe vom Umfang n2 = 10 mit Zurücklegen entnommen und die Lieferung angenommen, wenn diese kein Ausschussteil enthält.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Annahme der Lieferung, wenn ihr Ausschussanteil 1% beträgt?

Hi Leute!

Ich weiß mittlerweile, dass solche Aufgaben mit der Binomialverteilung zu lösen sind. Hier hab ich aber nun das Problem, dass ich nicht so genau weiß wie das mit den zwei Versuchen zu machen ist.

Ich hab mir mal folgende Angaben rausgeschrieben:

[mm] $n_1 [/mm] = 5, [mm] n_2 [/mm] = 10, p=0,01, [mm] k_1 [/mm] = 0, [mm] k_2 [/mm] = 1$

Stimmt das soweit? Muss ich da jetzt die Binomialverteilung zweimal berechnen?

        
Bezug
Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Di 29.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

die beiden Möglichkeiten, wie es zu einer Annahme der Lieferung kommen kann, sind disjunkt, insofern greift der Additionssatz.

Möglichkeit 1 (erste Stichprobe ist ok) dürfte klar sein. Bei der zweiten Möglichkeit liegt eine Binomialverteilung mit Umfang n=10 vor, die Trefferwahrscheinlichkeiten beider Stichproben müssen gleich groß sein. Ich würde hier aber mit p=0.99 rechnen, sonst musst du noch mit Komplementärereignissen arbeiten. Schlussendlich muss man dann die Wahrscheinlichkeiten der beiden Stichproben multiplizieren und der Rest dürfte klar sein.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Binomialverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Di 29.05.2012
Autor: bandchef

Du meinst also dass das so geht:

Möglichkeit 1 hat ja quasi volle 100% Annahmewahrscheinlichkeit.

Möglichkeit 2:
$ B(k [mm] \mid [/mm] p,n) = [mm] \binom [/mm] nk [mm] p^k (1-p)^{n-k} =\binom{10}{1} \cdot 0,01^1 \cdot (1-0,01)^{10-1} \approx [/mm] 0,0914 = [mm] \Rightarrow 9,14\%$ [/mm]

Stimmt das so?


Was soll ich hier jetzt miteinander multiplizieren?



Bezug
                        
Bezug
Binomialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Di 29.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Du meinst also dass das so geht:
>
> Möglichkeit 1 hat ja quasi volle 100%
> Annahmewahrscheinlichkeit.

nein: bitte Hinweise gründlicher durchlesen!


> Möglichkeit 2:
> [mm]B(k \mid p,n) = \binom nk p^k (1-p)^{n-k} =\binom{10}{1} \cdot 0,01^1 \cdot (1-0,01)^{10-1} \approx 0,0914 = \Rightarrow 9,14\%[/mm]

Nein.

> Was soll ich hier jetzt miteinander multiplizieren?

Es ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment, um genau zu sein, ein zweistufiges. Auch ein solches Experiment kann ja unter bestimmten Bedingungen schon nach einem Zug zu Ende sein, das lernt man alles in der Schule im Zusammenhang mit Baumdiagrammen.

Auch hier hast du einen solchen Baum: ein Zweig, das wäre die Möglichkeit, dass die 1. Stichprobe ok ist. Sie ist B(5,0.99)-verteilt und die Wahrscheinlichkeit P(X=5) interessiert dich (man kann diese Wahrscheinlichkleit theoretisch hier wegen X=5 auch ohne Kenntnis der Binomialverteilung ermitteln).

der andere Zweig wäre der, dass die erste Stichprobe ein fehlerhaftes Teil aufweist und die 2. keines. Nennen wir doch mal die Zufallsvariable, welche die Anzahl einwandfreier Stücke bei der zweiten Stichprobe beschreibt, Y. Dann bekommst du die Wahrscheinlichkeit dieser 2. Möglichkeit vermittels

P(X=4)*P(Y=10).

Beide Einzelwahrscheinlichkeiten sind am Ende zu addieren.

Und ich glaube ich sagte schon einmal, dass du hier besser die Anzahl der fehlerfreien Stücke zählst, nicht wie du es bisher gehalten hast, die Anzahl der fehlerhaften. Das verkompliziert die Rechnung unnötig!


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Binomialverteilung: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 16:40 Di 29.05.2012
Autor: bandchef

erster Zweig:

$P(x=5) = B(0|0,99;5) = [mm] \binom50 \cdot 0,99^0 \cdot (1-0,99)^{5-0} [/mm] = 0,01 [mm] \Rightarrow 1\%$ [/mm]
Also entspricht die Wahrscheinlichkeit $P(x=5) = 1 [mm] \%$, [/mm] oder? Stimmt das so?



zweiter Zweig:

Hier soll ich ja nun die Wahrscheinlichkeit P(X=4)*P(Y=10) berechnen. Ich denke, da muss ich jetzt wohl zweimal den Binomialkoeffizienten berechnen, oder? Bloß welche Werte sind dann hier für k,n und p zu benutzen? p=1-0,01=0,99 für P(X=4) und P(Y=10) ist mir klar. Aber was ist dann k und n für P(X=4) und P(Y=10)?

Stimmt das dann vielleicht so:

$P(x=4) = B(1|0,99;4) = [mm] \binom41 \cdot 0,99^1 \cdot (1-0,99)^{4-1} [/mm] = 3,96 [mm] \cdot 10^{-6} \Rightarrow 0,0003961\%$ [/mm]

$P(y=10) = B(0|0,99;10) = [mm] \binom{10}{0} \cdot 0,99^0 \cdot (1-0,99)^{10-0} [/mm] = 1 [mm] \cdot 10^{-6}$ [/mm]




[mm] $P_{ges} [/mm] = 0,01 + 3,96 [mm] \cdot 10^{-6} \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot 10^{-20} [/mm] = ?$

Ehrlich gesagt kauf ich mir mein Ergebnis selber nicht ab...




Zitat: "Beide Einzelwahrscheinlichkeiten sind am Ende zu addieren." Hier meinst du wohl die Wahrscheinlichkeiten aus dem ersten und dem zweiten Zweig, oder?

Bezug
                                        
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Binomialverteilung: Crossposting ohne Hinweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:50 Di 29.05.2012
Autor: Marc

Ich wiederhole:
Bitte weise uns immer auf zeitgleich in anderen Foren gepostete Fragen hin, damit wenigstens hier im MatheRaum die Zeit unserer hilfsbereiten Mitglieder nicht verschwendet wird.

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