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Binomialverteilung Party-Auf.: Binomialverteilung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:44 Do 14.07.2016
Autor: yusufycl

Aufgabe
Sie sind auf einer Party und ein Partygast wettet, dass er auf jeden Fall bei verbundenen Augen Coca-Cola von Pepsi unterscheiden kann. Sie werden als Schiedsrichter bestimmt und setzen dem Partygast über den Abend verteilt insgesamt siebenmal mit verbundenen Augen Coca-Cola und Pepsi zum Probieren vor. Begründen sie mit Hilfe einer mathematischen Modellierung bei welcher Anzahl an erfolgreichen Tests man mit mindestens 90% Sicherheit zustimmen würde, dass er tatsächlich Coca-Cola von Pepsi unterscheiden kann!

Hallo liebe Mathematiker,
ich stecke irgendwie auf dem Schlauch. Zu lösen habe ich die obige Aufgabe.
Ich gehe davon aus, dass es sich um eine Binomialverteilung handelt.
Meine Annahmen sind:
Es gibt kein geschmacklichen Unterschied zwischen Pepsi und Cola und daher ist die Trefferwahrscheinlichkeit p=0,5.
Es werden insgesamt n=7 Versuche durchgeführt.

Zu Berechnen - denke ich- ist die höchstmögliche Anzahl an  erfolgreichen Treffern (Anzahl „k“), ab da man mit 90%-iger Sicherheit sagen kann, dass der Proband den Unterschied zwischen Pepsi und Cola kennt.
Meine Rechnung lautet folgender maßen:
Z.z: P(X<=k)>=0,9
Gesucht ist das k.
Da nach erfolgreichen Tests gefragt ist, habe ich folgendermaßen gerechnet:
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)>=0,9.
Es werden also 5 erfolgreiche Tests benötigt.
Mir wurde jedoch der Hinweis gegeben, dass ich die Wahrscheinlichkeit P(X=0) mit rechnen müsse. Das verstehe ich jedoch nicht. Die Wahrscheinlichkeit kein Treffer zu erhalten, ist doch kein erfolgreicher Treffer?

Wo habe ich den Gedankenfehler?

Vielen Dank
Yusuf
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Binomialverteilung Party-Auf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:55 Fr 15.07.2016
Autor: Teufel

Hi!

Ja, wenn der Typ es wirklich nicht ein einziges mal schafft, dann wird er wohl Cola und Pepsi nicht auseinander halten können. Aber das gleiche gilt ja, wenn er es nur ein oder 2 mal schafft. Genauso wie du 1 und 2 Treffer mit einberechnest, musst du deshalb auch 0 Treffer mit einberechnen.

Sieh es so: du nimmst an, dass der Typ nur rät. Wenn er nur raten würde, dann würde er mit 90%iger Wahrscheinlichkeit 0-5mal richtig tippen, wie du korrekt ausgerechnet hast. 6 oder 7mal das richtige Ergebnis sagen passiert nur in weniger als 10% der Fälle.

Bezug
        
Bezug
Binomialverteilung Party-Auf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Sa 16.07.2016
Autor: HJKweseleit

Wenn jemand behauptet, er könne Coca von Pepsi unterscheiden, muss er das immer können. Wenn ich von 7 mal 5 mal richtig und 2 mal falsch entscheide, kann ich es eben nicht unterscheiden.

1. Durchgang: 7 mal richtig entschieden.

Falls der Kandidat geraten hat, gelingt das nur in 1 von [mm] 2^7= [/mm] 64 Fällen. Dafür ist die W. 1/64=1,5625 %.

Das bedeutet: Würde ich den 7-er Durchgang mit 100 Leuten machen, die alle nur raten, würden nicht mal 2 sieben mal richtig raten. Damit beträgt die W. schon über 90 % bei einem Durchgang, wenn unser Freund alles richtig rät. Und wenn nicht, hat er - auch bei 6 Richtigen - nur geraten.

Bezug
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