Binomische Formeln < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mo 11.02.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm]s^{3}+4s^{2}+5s+2 = (s+?)*(s+?)[/mm] |
Hallo zusammen,
gibt es einen Trick, wie man binomische Formeln "erkennen" kann?
Ich weiß z.B. (durch mehrfaches Ausprobieren), dass
[mm]s^{3}+4s^{2}+5s+2 = (s+1)^{2}*(s+2)[/mm]
ist.
Gibt es da vielleicht ein Verfahren, wie man so etwas leicht "erkennen" kann?
Viele Grüße, Andreas
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Hallo Andreas!
Es verbleibt das Probieren für eine Nullstelle und anschließender  Polynomdivision.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mo 11.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner, vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Aber wie "probiere" ich denn geschickt, wo eine Nullstelle des Polynoms ist? Gibt es da vielleicht einen "Trick"?
Viele Grüße, Andreas
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Hallo Andreas!
Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, muss diese ein Teiler des Absolutgliedes sein (= Term ohne $x_$ ; d.h. hier $+2_$ ).
Dabei sollte man aber auch beiderlei Vorzeichen beachten.
In Deinem Beispiel solltest Du also folgende Zahlen zuerste probieren: [mm] $\pm [/mm] 1 \ ; \ [mm] \pm [/mm] 2$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Mo 11.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner,
alles klaro, das ist ein sehr gut verwendbarer Tipp! Vielen Dank hierfür und viele Grüße von Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Di 12.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner, jetzt muss ich doch noch mal nachfragen:
Wie verhält es sich bei Polynomen, die komplexe Nullstellen haben?
Also z.B. [mm]z^{4}+10z^{2}+9[/mm]
hat die Nullstellen [mm] (+i, -i, +3i, -3i) [/mm]
Es ist doch [mm](z+i)*(z-i) = (z^{2} +1)[/mm] entsprechend [mm] (z^{2} +9)[/mm] bei [mm] \pm [/mm] 3i
Aber wie kommt man da drauf?
Für Deine Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße, Andreas
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Hallo Andreas!
Diese Gleichung kannst Du lösen, indem du $u \ := \ [mm] z^2$ [/mm] substituierst. Damit erhältst Du dann eine quadratische Gleichung mit [mm] $u^2+10*u+9 [/mm] \ = \ 0$ .
Diese kannst Du nun mittels p/q-Formel lösen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Di 12.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner, vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
OK, das habe ich mal gemacht und erhalte:
[mm]u_{1}= -1 [/mm]
[mm]u_{2}= -9 [/mm]
Jetzt muss ich doch noch rücksubstituieren, oder?
Also mit [mm] u \ := \ z^2 [/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm] z = \wurzel{u}[/mm] erhalte ich:
[mm]z_{1}= \wurzel{-1} = i[/mm]
[mm]z_{2}= \wurzel{-9} = 3i [/mm]
Aber was ist mit [mm] \pm [/mm] i bzw. [mm] \pm [/mm] 3i?
Viele Grüße, Andreas
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Hallo Andreas!
Bei der Re-Substitution bzw. grundsätzlich beim Wurzelziehen musst Du beachten, dass Du zwei Werte erhältst, da ja gilt:
[mm] $$x^2 [/mm] \ = \ a$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ |x| \ = \ [mm] \wurzel{a}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ [mm] \red{\pm} [/mm] \ x \ = \ [mm] \wurzel{a}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ x \ = \ [mm] \red{\pm} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Di 12.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo roadrunner,
alles klar, kleiner fauxpas meinerseits.
Danke nochmal vielmals!
Viele Grüße, Andreas
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