Binomische Lehrsatz < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:39 Di 05.02.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Die inhomogene Version des binomischen Lehrsatzes:
[mm] (1+x)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k
[/mm]
Die homogene Version des binomischen Lerhsatzes:
[mm] (x+y)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k}
[/mm]
Lehrer meinte diese beiden wären äquivalent.
Richtung <= ist klar. |
=>
Ersetze x durch x/y
[mm] (1+\frac{x}{y})^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} (\frac{x}{y})^k
[/mm]
nun multipliziere ich mit [mm] y^n
[/mm]
[mm] y^n (1+\frac{x}{y})^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k}
[/mm]
<=>
[mm] (y+x)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k}
[/mm]
Passt das so?
2Frage: wieso heißt das inhomogene oder homogene Version? Was hats damit auf sich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Di 05.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die inhomogene Version des binomischen Lehrsatzes:
> [mm](1+x)^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k[/mm]
>
> Die homogene Version des binomischen Lerhsatzes:
> [mm](x+y)^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k}[/mm]
>
> Lehrer meinte diese beiden wären äquivalent.
> Richtung <= ist klar.
> =>
> Ersetze x durch x/y
> [mm](1+\frac{x}{y})^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} (\frac{x}{y})^k[/mm]
>
> nun multipliziere ich mit [mm]y^n[/mm]
> [mm]y^n (1+\frac{x}{y})^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k}[/mm]
>
> <=>
> [mm](y+x)^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k}[/mm]
> Passt
> das so?
Ja, bis auf eine Kleinigkeit: Du hast x ersetzt durch x/y. Das darfst Du nur , wenn y [mm] \ne [/mm] 0 ist.
Erledige also den Fall y=0 vorher.
>
> 2Frage: wieso heißt das inhomogene oder homogene Version?
> Was hats damit auf sich?
Ehrlich gesagt, habe ich das bisher noch nie gehört (oder gelesen) . Ich könnt mir abe vorstellen, dass folgendes gemeint sein könnte:
Setzen wir [mm] g(x,y):=(x+y)^n
[/mm]
Für t [mm] \in \IR [/mm] ist dann $g(t(x,y))=g(tx,ty)=t^ng(x,y)$
Dazu sagt man auch: g ist homogen vom Grade n.
Ist [mm] f(x):=(1+x)^n, [/mm] so findet man kein m [mm] \in \IN [/mm] mit
$ f(tx)=t^mf(x)$ für alle t,x [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Di 05.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Hallo
-) y=0
Ist [mm] 0^0 [/mm] := 1?
Denn dann steht bei $ [mm] (y+x)^n [/mm] $ = $ [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k} [/mm] $
[mm] x^n =\vektor{n \\ n} x^n
[/mm]
wahre Aussage.
> Setzen wir $ [mm] g(x,y):=(x+y)^n [/mm] $
> Für t $ [mm] \in \IR [/mm] $ ist dann $ g(t(x,y))=g(tx,ty)=t^ng(x,y) $
g(t(x,y))=g(tx,ty)= [mm] (tx+ty)^n [/mm] = [mm] t^n (x+y)^n
[/mm]
> Dazu sagt man auch: g ist homogen vom Grade n.
> Ist $ [mm] f(x):=(1+x)^n, [/mm] $ so findet man kein m $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit
> $ f(tx)=t^mf(x) $ für alle t,x $ [mm] \in \IR. [/mm] $
Wieso schreibst du einmal n und einmal m? Du meinst immer n oder?
Und wieso findet man da kein solches n?
Es gilt nur:f(tx)= [mm] (1+tx)^n [/mm] = [mm] t^n [/mm] (1/t + [mm] x)^n
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Di 05.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> -) y=0
> Ist [mm]0^0[/mm] := 1?
> Denn dann steht bei [mm](y+x)^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k}[/mm]
> [mm]x^n =\vektor{n \\ n} x^n[/mm]
> wahre Aussage.
>
> > Setzen wir [mm]g(x,y):=(x+y)^n[/mm]
>
> > Für t [mm]\in \IR[/mm] ist dann [mm]g(t(x,y))=g(tx,ty)=t^ng(x,y)[/mm]
> g(t(x,y))=g(tx,ty)= [mm](tx+ty)^n[/mm] = [mm]t^n (x+y)^n[/mm]
>
> > Dazu sagt man auch: g ist homogen vom Grade n.
> > Ist [mm]f(x):=(1+x)^n,[/mm] so findet man kein m [mm]\in \IN[/mm] mit
>
> > [mm]f(tx)=t^mf(x)[/mm] für alle t,x [mm]\in \IR.[/mm]
> Wieso
> schreibst du einmal n und einmal m? Du meinst immer n
> oder?
Nein. Wenn es ein m gäbe mit
[mm]f(tx)=t^mf(x)[/mm] für alle t,x [mm]\in \IR,[/mm]
so wäre f homogen vom Grade m.
> Und wieso findet man da kein solches n?
Das stelle ich Dir als Aufgabe:
Nimm an, es gäbe ein m mit
$ f(tx)=t^mf(x) $ für alle t,x $ [mm] \in \IR, [/mm] $
Kitzle einen Widerspruch heraus.
FRED
> Es gilt nur:f(tx)= [mm](1+tx)^n[/mm] = [mm]t^n[/mm] (1/t + [mm]x)^n[/mm]
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:38 Di 05.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Hallo
Ang es gäbe ein m mit $ f(tx)=t^mf(x) $ für alle t,x $ [mm] \in \IR, [/mm] $
<=> [mm] (1+tx)^n [/mm] = [mm] t^m (1+x)^n
[/mm]
füt t =0
steht doch schon 1 = [mm] 0^m (1+x)^n
[/mm]
Im fall [mm] m=\{1,2,..\}
[/mm]
Steht eine falsche Aussage 1 =0 da
Im Fall m=0
1= [mm] (1+x)^n
[/mm]
Stimmt doch auch nicht [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] außer n=0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:13 Do 07.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Hallo
Fred, liege ich so falsch - dass du nicht mehr antworten möchtest ?
Ich bitte um Rückmeldung.
Liebste Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Do 07.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Fred, liege ich so falsch
nein.
- dass du nicht mehr antworten
> möchtest ?
ich bitte höflichst um Entschuldigung, dass ich nicht Tag und Nacht, ununterbrochen das Treiben in diesem Forum rund um die Uhr und ständig in vollem Umfang verfolge.
>
> Ich bitte um Rückmeldung.
Hast Du ja nun.
> Liebste Grüße
Noch liebstere zurück
Dein allgegenwärtiger FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Do 07.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Ich habe in paar Tagen Prüfung deshalb wollte ich nochmals nachfragen, was ich sonst versuche zu vermeiden.
Also wenn du zeit hast würd ich mich über Rückmeldung bez. des mathematischen Themas freuen.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Do 07.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe in paar Tagen Prüfung
ich drück Dir alle Daumen , die ich habe.
deshalb wollte ich nochmals
> nachfragen, was ich sonst versuche zu vermeiden.
> Also wenn du zeit hast würd ich mich über Rückmeldung
> bez. des mathematischen Themas freuen.
Hab ich doch gemacht: Du liegst nicht falsch.
FRED
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Do 07.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Ah okay.
Dann danke dafür.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Di 05.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die inhomogene Version des binomischen Lehrsatzes:
> [mm](1+x)^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k[/mm]
>
> Die homogene Version des binomischen Lerhsatzes:
> [mm](x+y)^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k}[/mm]
>
> Lehrer meinte diese beiden wären äquivalent.
> Richtung <= ist klar.
> =>
> Ersetze x durch x/y
> [mm](1+\frac{x}{y})^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} (\frac{x}{y})^k[/mm]
>
> nun multipliziere ich mit [mm]y^n[/mm]
> [mm]y^n (1+\frac{x}{y})^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k y^{n-k}[/mm]
Nur mal nebenbei: Du hättest den Anfang auch so machen können:
Für $y [mm] \not=0$ [/mm] gilt (mit den Rechenregeln für Potenzen)
[mm] $$(x+y)^n=y^n*(\tfrac{x}{y}+1)^n=y^n*(1+\tfrac{x}{y})^n\,.$$
[/mm]
Der Vorteil hier ist, dass dabei klarer zum Vorschein kommt, wieso das
Ersetzen von [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $x/y\,$ [/mm] "Sinn" macht/sinnvoll erscheint...
Der Rest ist Dir dann eh klar...
Gruß,
Marcel
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