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Forum "Folgen und Reihen" - Binomische Reihe
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Binomische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 So 26.03.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen! :-)

Ich habe Fragen zum Beweis über die Binomische Taylor-Reihe.
Er lautet im Forster wie folgt:

Satz: Sei [mm] \alpha \in \IR. [/mm] Dann gilt für |x| < 1

[mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n}x^{n}. [/mm]

Dabei ist [mm] \vektor{\alpha\\n} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} \frac{\alpha-k+1}{k}. [/mm]

Beweis:


a) Berechnung der Taylor-Reihe von f(x) = [mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] mit Entwicklungspunkt 0:

[mm] f^{(k)}(x) [/mm] = [mm] \alpha(\alpha-1) [/mm] * ... * [mm] (\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k} [/mm] = [mm] k!\vektor{\alpha\\k}(1+x)^{\alpha-k}. [/mm]

Da also [mm] \frac{f^{(k)}(0)}{k!} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha\\k}, [/mm] lautet die Taylor-Reihe von f

T[f,0](x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\k}x^{k} [/mm]


b) Gezeigt wird nun, dass die Taylor-Reihe für |x| < 1 konvergiert. Dazu wird das Quotienten-Kriterium verwendet. Es darf angenommen werden, dass [mm] \alpha \not\in \IN [/mm] und x [mm] \not= [/mm] 0.

Sei [mm] a_{n}:= \vektor{\alpha\\n}x^{n}. [/mm] Dann gilt

[mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{\vektor{\alpha\\n+1}x^{n+1}}{\vektor{\alpha\\n}x^{n}}\right| [/mm] = |x| * [mm] \left|\frac{\alpha-n}{n+1}\right|. [/mm]

Da [mm] lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] = |x| * [mm] lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\alpha-n}{n+1} [/mm] = |x| < 1, existiert zu [mm] \theta [/mm] mit |x| < [mm] \theta [/mm] < 1 ein [mm] n_{0}, [/mm] sodass

[mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \le \theta \vorall [/mm] n [mm] \ge n_0. [/mm]

Also konvergiert die Taylor-Reihe für |x| < 1.


c) Nun wird bewiesen, dass die Taylor-Reihe gegen f konvergiert. Folglich ist zu zeigen, dass das Restglied für |x| < 1 gegen 0 konvergiert.

Anwendung der Integral-Form des Restglieds ergibt:

[mm] R_{n+1}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} f^{(n+1)}(t) dt} [/mm] = [mm] (n+1)\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} (1+t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm]

1. Fall: 0 [mm] \le [/mm] x < 1

Wir setzen c:= [mm] max(1,(1+x)^{\alpha}). [/mm] Dann gilt für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] x

0 [mm] \le (1+t)^{\alpha-n-1} \le (1+t)^{\alpha} \le [/mm] C,

also

[mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] = [mm] (n+1)\left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} (1+t)^{\alpha-n-1} dt} \le (n+1)\left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] C [mm] \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} dt} [/mm] = C [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right|. [/mm]

Weil nach b) die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] für |x| < 1 konvergiert, folgt

[mm] lim_{k\rightarrow\infty} \left|\vektor{\alpha\\k}\right| x^{k} [/mm] = 0, daher [mm] lim_{n\rightarrow\infty} R_{n+1}(x) [/mm] = 0.


2. Fall: -1 < x < 0. Hier gilt

[mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] = (n+1) [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right| [/mm]

= [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm]

[mm] \le \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t|x|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm]

= [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1} dt} [/mm]

[mm] \le [/mm] C [mm] \left| \vektor{\alpha-1\\n}x^{n} \right| [/mm] mit C:= [mm] |\alpha|* \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1} dt}. [/mm]

Da wiederum nach b) die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{\alpha-1\\n}x^{n} [/mm] für |x| < 1 konvergiert, folgt

[mm] lim_{n\rightarrow\infty} R_{n+1}(x) [/mm] = 0.

----


Nun zu meinen Fragen:

1) Zuerst einmal frage ich mich vor dem Beweis, was im Satz für x = 0 geschieht. Dann würde doch gelten [mm] 1^{\alpha}= \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n}0^{n} [/mm] <=> 1 = 0, oder habe ich irgendwo einen grundliegenden Denkfehler?

2) Wird in b)  [mm] \alpha \not\in \IN [/mm] angenommen, da der Satz sonst aus dem binomischen Lehrsatz folgt?


Zum 1. Fall:

3) Kann der Fall 0 = [mm] (1+t)^{\alpha-n-1} [/mm] überhaupt eintreten? Weil im kleinsten Fall t = 0 erhält man doch [mm] (1+0)^{\alpha-n-1} [/mm] = 1

4) Wenn im kleinsten Fall [mm] (1+t)^{\alpha-n-1} [/mm] = 1 ist, wieso wird dann definiert C:= [mm] max(1,(1+x)^{\alpha})? [/mm] Es ist doch auch [mm] (1+x)^{\alpha}= [/mm] 1 im kleinsten Falle, somit kann doch eigentlich der Ausdruck [mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] nur größer als 1 werden und nicht kleiner als 1, und folglich ist dann ja automatisch [mm] (1+x)^{\alpha} [/mm] das Maximum, oder?


Die Fragen zum 2. Fall würde ich stellen, wenn ich alles bis dahin verstanden habe.
Wie immer wäre ich für eure Antworten sehr dankbar! :-)


Einen schönen Sonntag noch,
X3nion

        
Bezug
Binomische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Mo 27.03.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1) Zuerst einmal frage ich mich vor dem Beweis, was im Satz
> für x = 0 geschieht. Dann würde doch gelten [mm]1^{\alpha}= \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha\\n}0^{n}[/mm]

Ja.

> <=> 1 = 0, oder habe ich irgendwo einen grundliegenden Denkfehler?

Nix mit Äquivalenz, du vernachlässigst nämlich den ersten Summanden, der da lautet: [mm] $\vektor{\alpha\\0} 0^{0}$ [/mm]
[mm] $\vektor{\alpha\\0}$ [/mm] ist per Definition $1$ und [mm] $0^{0}$ [/mm] ist (hier) ebenfalls 1.
D.h. es gilt [mm] $\vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] = 1 * 1 = 1$

> 2) Wird in b)  [mm]\alpha \not\in \IN[/mm] angenommen, da der Satz sonst aus dem binomischen Lehrsatz folgt?

Jein!
Primär kommt das daher, weil du sonst Probleme in der Argumentation bekämst, denn du betrachtest ja

$ [mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{\vektor{\alpha\\n+1}x^{n+1}}{\vektor{\alpha\\n}x^{n}}\right| [/mm] $

Nun ist im Falle [mm] $\alpha \not\in\IN$ [/mm] aber [mm] $\vektor{\alpha\\n} \not= [/mm] 0$ und damit ist der Bruch immer wohldefiniert.
Wäre [mm] $\alpha\in\IN$ [/mm] so wäre [mm] $\vektor{\alpha\\n} [/mm] = 0$ für $n > [mm] \alpha$, [/mm] der Nenner würde irgendwann Null werden und der Bruch wäre nicht wohldefiniert.
Da aber bekannt ist, dass der Satz für [mm] $\alpha\in\IN$ [/mm] gilt, kann hier also [mm] $\alpha\not\in\IN$ [/mm] angenommen und das obige Problem damit vermieden werden.

> Zum 1. Fall:
>  
> 3) Kann der Fall 0 = [mm](1+t)^{\alpha-n-1}[/mm] überhaupt
> eintreten? Weil im kleinsten Fall t = 0 erhält man doch
> [mm](1+0)^{\alpha-n-1}[/mm] = 1

korrekt. Die Abschätzung stimmt ja aber trotzdem.

> 4) Wenn im kleinsten Fall [mm](1+t)^{\alpha-n-1}[/mm] = 1 ist, wieso
> wird dann definiert C:= [mm]max(1,(1+x)^{\alpha})?[/mm] Es ist doch
> auch [mm](1+x)^{\alpha}=[/mm] 1 im kleinsten Falle, somit kann doch
> eigentlich der Ausdruck [mm](1+x)^{\alpha}[/mm] nur größer als 1
> werden und nicht kleiner als 1, und folglich ist dann ja
> automatisch [mm](1+x)^{\alpha}[/mm] das Maximum, oder?

Du verwendest dasselbe c ja auch im zweiten Teil der Aufgabe im Fall $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$ und dort kann eben  auch [mm] $(1+x)^\alpha [/mm] < 1$ gelten.
In dem Fall willst du aber 1 haben.

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Binomische Reihe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 00:09 Di 28.03.2017
Autor: X3nion

Hallo Gono,

vielen Dank für das Drüberschauen und ausführliche Antworten! :-)

> Nix mit Äquivalenz, du vernachlässigst nämlich den ersten Summanden, der da
> lautet: $ [mm] \vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] $
> $ [mm] \vektor{\alpha\\0} [/mm] $ ist per Definition $ 1 $ und $ [mm] 0^{0} [/mm] $ ist (hier) ebenfalls > 1.
> D.h. es gilt $ [mm] \vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] = 1 [mm] \cdot{} [/mm] 1 = 1 $

Wieso ist in diesem Fall [mm] 0^{0} [/mm] = 1? Ich dachte eigentlich, [mm] 0^{0} [/mm] wäre nicht definiert?



> Nun ist im Falle $ [mm] \alpha \not\in\IN [/mm] $ aber $ [mm] \vektor{\alpha\\n} \not= [/mm] 0 $
> und damit ist der Bruch immer wohldefiniert.
> Wäre $ [mm] \alpha\in\IN [/mm] $ so wäre $ [mm] \vektor{\alpha\\n} [/mm] = 0 $ für $ n > [mm] \alpha [/mm] $, > der Nenner würde irgendwann Null werden und der Bruch wäre nicht
> wohldefiniert.
> Da aber bekannt ist, dass der Satz für $ [mm] \alpha\in\IN [/mm] $ gilt, kann hier
> also $ [mm] \alpha\not\in\IN [/mm] $ angenommen und das obige Problem damit
> vermieden werden.

Okay klar, das macht Sinn! Und man nimmt x = 0 ebenfalls raus, weil sonst der Nenner ebenso "0" wäre?



> Du verwendest dasselbe c ja auch im zweiten Teil der Aufgabe im Fall
> $ -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 $ und dort kann eben  auch $ [mm] (1+x)^\alpha [/mm] < 1 $ gelten.
> In dem Fall willst du aber 1 haben.

1) Hmm im zweiten Fall wird C ja definiert als C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}. [/mm]
Wieso ist dies dasselbe C wie im 1. Fall mit [mm] C:=max(1,(1+x)^{\alpha}) [/mm] ?

Wenn ich C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} [/mm] ausrechne, erhalte ich:
C = [mm] \frac{|\alpha|}{\alpha} [/mm] * [mm] (-1)*[(1-t)^{\alpha}]_{0}^{|x|} [/mm] = - [mm] \frac{|\alpha|}{\alpha} [/mm] * [mm] [(1-|x|)^{\alpha} [/mm] - 1]

Ist nun [mm] \alpha [/mm] > 0, so ergibt sich: [mm] -(1-|x|)^{\alpha} [/mm] + 1

Ist [mm] \alpha [/mm] < 0, so folgt: [mm] (1-|x|)^{\alpha} [/mm] - 1

---

Ich hatte nun noch ein paar Fragen zum 2. Fall:

2) Mir ist die Anwendung des Absolutbetrages auf [mm] R_{n+1}(x) [/mm] nicht so ganz klar.
  Wieso wird aus [mm] R_{n+1}(x) [/mm] = [mm] (n+1)\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} (1+t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] nach Anwendung des Absolutbetrages schlussendlich
[mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] =  (n+1) [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right|, [/mm] also wieso verwendet man |x| als obere Integrationsgrenze und wieso wird aus [mm] (x-t)^{n} [/mm] => [mm] (x+t)^{n} [/mm] und aus [mm] (1+t)^{\alpha-n-1} [/mm] => [mm] (1-t)^{\alpha-n-1} [/mm] ?

3) Wieso wird nach Auflösung des Absolutbetrages aus (n+1) [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right| [/mm] insgesamt [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] ?

Den Schritt (n+1) * [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] verstehe ich, denn es ist (n+1) * [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] = [mm] \left| (n+1) * \vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] = [mm] \left| (n+1) * \frac{\alpha!}{(n+1)!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{\alpha!}{n!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] = [mm] \left| \alpha \frac{(\alpha-1)!}{n!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] = [mm] \left| \alpha * \vektor{\alpha-1\\n}\right| [/mm]

Aber wie ist der Schritt [mm] \left|\integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right| [/mm] = [mm] \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] begründet, also dass der Betrag komplett verschwindet und aus [mm] (x+t)^{n} [/mm] insgesamt [mm] (|x|-t)^{n} [/mm] wird?

4) Ist [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} \le \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t|x|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}, [/mm] weil 0 < |x| < 1 gilt und somit der Faktor (|x| - [mm] t|x|)^{n} [/mm] vergrößert wird?

Und kann überhaupt Gleichheit eintreten? Weil Gleichheit würde ja eigentlich nur bei |x| = 1 eintreten, weil dann (|x| - [mm] t*1)^{n} [/mm] resultieren würde, somit würde dasselbe da stehen wie links vom [mm] "\le" [/mm] Zeichen.



Der Beweis enthält viele Umformungen, deshalb würde ich mich wieder sehr über Antworten freuen!

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Binomische Reihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:26 Fr 31.03.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Binomische Reihe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:08 So 02.04.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen,

da der Fälligkeitszeitraum abgelaufen ist, poste ich meinen Beitrag nochmals in der Hoffnung auf Antworten. Wäre euch dankbar!

VG X3nion



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Hallo Gono,

vielen Dank für das Drüberschauen und ausführliche Antworten! :-)

> Nix mit Äquivalenz, du vernachlässigst nämlich den ersten Summanden, der da
> lautet: $ [mm] \vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] $
> $ [mm] \vektor{\alpha\\0} [/mm] $ ist per Definition $ 1 $ und $ [mm] 0^{0} [/mm] $ ist (hier) ebenfalls > 1.
> D.h. es gilt $ [mm] \vektor{\alpha\\0} 0^{0} [/mm] = 1 [mm] \cdot{} [/mm] 1 = 1 $

Wieso ist in diesem Fall $ [mm] 0^{0} [/mm] $ = 1? Ich dachte eigentlich, $ [mm] 0^{0} [/mm] $ wäre nicht definiert?



> Nun ist im Falle $ [mm] \alpha \not\in\IN [/mm] $ aber $ [mm] \vektor{\alpha\\n} \not= [/mm] 0 $
> und damit ist der Bruch immer wohldefiniert.
> Wäre $ [mm] \alpha\in\IN [/mm] $ so wäre $ [mm] \vektor{\alpha\\n} [/mm] = 0 $ für $ n > [mm] \alpha [/mm] $, > der Nenner würde irgendwann Null werden und der Bruch wäre nicht
> wohldefiniert.
> Da aber bekannt ist, dass der Satz für $ [mm] \alpha\in\IN [/mm] $ gilt, kann hier
> also $ [mm] \alpha\not\in\IN [/mm] $ angenommen und das obige Problem damit
> vermieden werden.

Okay klar, das macht Sinn! Und man nimmt x = 0 ebenfalls raus, weil sonst der Nenner ebenso "0" wäre?



> Du verwendest dasselbe c ja auch im zweiten Teil der Aufgabe im Fall
> $ -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 $ und dort kann eben  auch $ [mm] (1+x)^\alpha [/mm] < 1 $ gelten.
> In dem Fall willst du aber 1 haben.

1) Hmm im zweiten Fall wird C ja definiert als C:= $ [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}. [/mm] $
Wieso ist dies dasselbe C wie im 1. Fall mit $ [mm] C:=max(1,(1+x)^{\alpha}) [/mm] $ ?

Wenn ich C:= $ [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} [/mm] $ ausrechne, erhalte ich:
C = $ [mm] \frac{|\alpha|}{\alpha} [/mm] $ * $ [mm] (-1)\cdot{}[(1-t)^{\alpha}]_{0}^{|x|} [/mm] $ = - $ [mm] \frac{|\alpha|}{\alpha} [/mm] $ * $ [mm] [(1-|x|)^{\alpha} [/mm] $ - 1]

Ist nun $ [mm] \alpha [/mm] $ > 0, so ergibt sich: $ [mm] -(1-|x|)^{\alpha} [/mm] $ + 1

Ist $ [mm] \alpha [/mm] $ < 0, so folgt: $ [mm] (1-|x|)^{\alpha} [/mm] $ - 1

---

Ich hatte nun noch ein paar Fragen zum 2. Fall:

2) Mir ist die Anwendung des Absolutbetrages auf $ [mm] R_{n+1}(x) [/mm] $ nicht so ganz klar.
  Wieso wird aus $ [mm] R_{n+1}(x) [/mm] $ = $ [mm] (n+1)\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n} (1+t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] $ nach Anwendung des Absolutbetrages schlussendlich
$ [mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] $ =  (n+1) $ [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right|, [/mm] $ also wieso verwendet man |x| als obere Integrationsgrenze und wieso wird aus $ [mm] (x-t)^{n} [/mm] $ => $ [mm] (x+t)^{n} [/mm] $ und aus $ [mm] (1+t)^{\alpha-n-1} [/mm] $ => $ [mm] (1-t)^{\alpha-n-1} [/mm] $ ?

3) Wieso wird nach Auflösung des Absolutbetrages aus (n+1) $ [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right| [/mm] $ insgesamt $ [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] $ ?

Den Schritt (n+1) * $ [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] $ verstehe ich, denn es ist (n+1) * $ [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| (n+1) \cdot{} \vektor{\alpha\\n+1}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| (n+1) \cdot{} \frac{\alpha!}{(n+1)!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| \frac{\alpha!}{n!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| \alpha \frac{(\alpha-1)!}{n!(\alpha-n-1)!}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| \alpha \cdot{} \vektor{\alpha-1\\n}\right| [/mm] $

Aber wie ist der Schritt $ [mm] \left|\integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}\right| [/mm] $ = $ [mm] \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} [/mm] $ begründet, also dass der Betrag komplett verschwindet und aus $ [mm] (x+t)^{n} [/mm] $ insgesamt $ [mm] (|x|-t)^{n} [/mm] $ wird?

4) Ist $ [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt} \le \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| \integral_{0}^{|x|}{(|x|-t|x|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1} dt}, [/mm] $ weil 0 < |x| < 1 gilt und somit der Faktor (|x| - $ [mm] t|x|)^{n} [/mm] $ vergrößert wird?

Und kann überhaupt Gleichheit eintreten? Weil Gleichheit würde ja eigentlich nur bei |x| = 1 eintreten, weil dann (|x| - $ [mm] t\cdot{}1)^{n} [/mm] $ resultieren würde, somit würde dasselbe da stehen wie links vom $ [mm] "\le" [/mm] $ Zeichen.



Der Beweis enthält viele Umformungen, deshalb würde ich mich wieder sehr über Antworten freuen!

Viele Grüße,
X3nion

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Binomische Reihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:20 Do 06.04.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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