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Hallo,
ich habe hier eine tolle Aufgabe und komme nicht wirklich weiter.
Für alle [mm] \alpha,x\in\IR [/mm] mit |x| < 1 ist die binomische Reihe [mm] b_\alpha [/mm] (x) definiert durch
[mm] b_\alpha [/mm] (x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} {\alpha \choose n} x^n [/mm] = [mm] 1+{\alpha \choose 1}x+{\alpha \choose 2}x^2 [/mm] +...
Zeigen Sie:
a) Die binomische Reihe [mm] b_\alpha [/mm] (x) ist für die angegebenen [mm] \alpha, [/mm] x absolut konvergent
d) Es ist [mm] b_\alpha [/mm] (x) = [mm] (1+x)^\alpha [/mm] für alle [mm] \alpha\in\IZ
[/mm]
Bitte um eure Hilfe!
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Hallo,
also a löst man mit dem Quotientenkriterium.
Und zwar [mm] a_{n} [/mm] in [mm] \IR [/mm] , [mm] N\in \IN, a_{n}\not= [/mm] 0
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \le \delta [/mm] (davon natürlich Betrag) für alle [mm] n\ge [/mm] N
[mm] 0\le \delta \le [/mm] 1
wenn du das Kriterium nun anwendest, kommst du auf
|x | [mm] |\bruch{\alpha -n}{n+1} [/mm] |
Jetzt brauchst du bloß noch den lim sup bilden und dann kommst du am Ende drauf, dass die Binomische Reihe für |x |<1 absolut konvergent ist.
mfg
P.S.: Ich hoffe man kann alles gut lesen.
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Hallo sunshinenight,
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \le \delta[/mm] (davon natürlich Betrag)
> für alle [mm]n\ge[/mm] N
> [mm]0\le \delta \le[/mm] 1
[mm] \delta [/mm] muß echt kleiner 1 sein aber ansonsten wür d ich dem zustimmen.
gruß
mathemaduenn
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d) sollte mit der Zusatzaufgabe von Blatt 1 zu machen sein.
Dürfte eigentlich nicht so schwer sein, da sich das ja doch schon ziemlich ähnelt, habe es mir allerdings noch nicht weiter angesehen.
kannst du mir bei b und c helfen? Wie hast du das dort gemacht?
mfg
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 19:52 Di 30.11.2004 | | Autor: | blue |
Hallo Conny,
bei der ersten Gleichung in b) habe ich folgende Sätze benutzt, um sie zu beweisen:
1. 8.3 Folgerung (Cauchy Produkt)
2. Zusatzaufgabe aus Blatt 1,
Man muss dann nur etwas kürzen und umformen, damit das richtige Ergebnis rauskommt. Wenn bei meiner Lösung etwas nicht stimmen sollte, wäre schön, wenn du mir ne Mitteilung schreibst.
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Di 30.11.2004 | | Autor: | blue |
Hallo,
(ich werde "a" statt [mm] "\alpha" [/mm] schreiben)
es gilt [mm] b_{1}(x)=1+x [/mm] (einfach selber nachprüfen)
also muss auch gelten: [mm] (1+x)^a [/mm] =( [mm] b_{1}(x))^a
[/mm]
d.h. aber [mm] b_{1}(x) [/mm] * [mm] b_{1}(x) [/mm] *...* [mm] b_{1}(x) [/mm] .... [mm] b_{1}(x) [/mm] kommt in diesem Produkt a-mal vor.
Daraus folgt aus der Aufgabe 32(b)-1. Gleichung:
(zeigen Sie: [mm] b_{\alpha}(x) [/mm] * [mm] b_{\beta}(x) [/mm] = [mm] b_{\alpha + \beta}(x) [/mm] für alpha, beta [mm] \in [/mm] R )
[mm] b_{1+1+1+...+1}(x) [/mm] ....wobei die 1 in der Summe genau a-mal vorkommt.
Also es kommt raus: [mm] b_{a} [/mm] (x)
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Hallo blue,
> es gilt [mm]b_{1}(x)=1+x[/mm] (einfach selber nachprüfen)
>
> also muss auch gelten: [mm](1+x)^a[/mm] =( [mm]b_{1}(x))^a
[/mm]
>
> d.h. aber [mm]b_{1}(x)[/mm] * [mm]b_{1}(x)[/mm] *...* [mm]b_{1}(x)[/mm] ....
> [mm]b_{1}(x)[/mm] kommt in diesem Produkt a-mal vor.
> Daraus folgt aus der Aufgabe 32(b)-1. Gleichung:
>
> [mm]b_{1+1+1+...+1}(x)[/mm] ....wobei die 1 in der Summe genau
> a-mal vorkommt.
Ich kenn zwar Aufgabe 32(b) nicht aber dies scheint ein Beweis für die nat. Zahlen zu sein. Da die Aussage für die ganzen Zahlen gültig sein soll müsstest Du wahrscheinlich noch etwas mehr zeigen.
gruß
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Di 30.11.2004 | | Autor: | blue |
Hallo,
danke erstmal, dass du dich mit diesen Aufgaben beschäftigst.
Ich hab aber leider meinen Fehler noch nicht gefunden.
Die Aufgabe 32/b ist:
zeigen Sie: [mm] b_{\alpha}(x) [/mm] * [mm] b_{\beta}(x) [/mm] = [mm] b_{\alpha + \beta}(x) [/mm] für alpha, beta [mm] \in [/mm] R
das habe ich auch beweisen können
Es wäre schön, wenn du mir kurz schreiben könntest, wo mein Fehler liegt.
Danke vielmals
blue
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Hallo blue,
Du hast gezeigt [mm] (1+x)^{\alpha}=b_{\alpha}(x) [/mm] für [mm] \alpha \in \IN
[/mm]
analog kannst Du das für die negativen Zahlen tun, wenn Du zeigen kannst [mm] b_{-1}(x)=(1+x)^{-1}
[/mm]
gruß
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Di 30.11.2004 | | Autor: | blue |
Ok,
das dürfte jetzt kein großes Problem mehr sein
Danke dir nochmals
gruß Blue
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Hallo blue,
Wenn das Aufgabenteil b ist dann sind die negativen Zahlen ja hier schon mit verwurstet
gruß
mathemaduenn
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Hallo Leute,
Laut Lemma 3 Abschnitt 2 aus der Vorlesung vom 5.11.2001 bei Prof. Voigt gilt:
[mm] C_c^{\infty}(\Omega) [/mm] dicht in [mm] L_p(\Omega)
[/mm]
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
Was ich damit sagen will?
Falls ihr Interesse daran habt das jmd die Aufgabe liest und Ideen einbringt der die Vorlesung nicht hört solltet ihr die Sätze schon hinschreiben auf die ihr euch bezieht.
gruß
mathemaduenn
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