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Bionominalkoeffizient: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:25 Mo 19.04.2004
Autor: schwarzesgift13

Einfach ausrechnen!
(a+b) hoch 0
(a+b) hoch 2
(a+b) hoch 3
(a+b) hoch 4
(a+b) hoch 5

- bei (a+b) hoch 2 handelt es sich so um ein bionomische Formel?
- Ist die Lösung a hoch 2 +2ab+b hoch 2

        
Bezug
Bionominalkoeffizient: Binomialkoeffizient
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Mo 19.04.2004
Autor: Marc

Hallo schwarzesgift13,

willkommen im MatheRaum!

> Einfach ausrechnen!
>  (a+b) hoch 0
>  (a+b) hoch 2
>  (a+b) hoch 3
>  (a+b) hoch 4
>  (a+b) hoch 5
>  
> - bei (a+b) hoch 2 handelt es sich so um ein bionomische
> Formel?
>  - Ist die Lösung a hoch 2 +2ab+b hoch 2

Handelt es sich hier um eine Frage und wenn ja, wie lautet sie? Wie man einen Term der Form [mm] $(a+b)^n$ [/mm] mit dem Binomialkoeffizienten darstellen kann?

Bis gleich,
Marc

Bezug
                
Bezug
Bionominalkoeffizient: Binominalkoeffizient
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Mo 19.04.2004
Autor: schwarzesgift13

Ich soll die gegeben Aufgaben, wie z.B
(a+b) hoch 3 erstmal ausrechnen
Welches schon ein Problem ist und dabei soll es dann auch einen Zusammenhang zu Binominalkoeffizient geben?

Bezug
                        
Bezug
Bionominalkoeffizient: Binominalkoeffizient
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 Mo 19.04.2004
Autor: Marc

Hallo schwarzesgift13,

> Ich soll die gegeben Aufgaben, wie z.B
> (a+b) hoch 3 erstmal ausrechnen
>  Welches schon ein Problem ist und dabei soll es dann auch
> einen Zusammenhang zu Binominalkoeffizient geben?

alles klar.

Beim Ausrechnen per Hand handelt es sich "einfach" nur um Ausmultiplizieren, ich mache es mal für die ersten vier vor:

[mm] (a+b)^0=1 [/mm] (per Definition, denn [mm] x^0=1 [/mm] für alle $x$)

[mm] (a+b)^1=a+b [/mm] (klar)

[mm] (a+b)^2=(\red{a}\black{+}\red{b}\black{)(}\blue{a}\black{+}\blue{b}\black{})=\red{a}\black{*}\blue{a}\black{+}\red{a}\black{*}\blue{b}\black{+}\red{b}\black{*}\blue{a}\black{+}\red{b}\black{*}\blue{b}\black{}=a^2+2ab+b^2 [/mm]

[mm] (a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(\red{a}\black{+}\red{b}\black{)(}\blue{a^2}\black{+}\blue{2ab}\black{+}\blue{b^2}\black{})=\red{a}\blue{a^2}\black{+}\red{a}\black{*}\blue{2ab}\black{+}\red{a}\blue{b^2}\black{+}\red{b}\blue{a^2}\black{+}\red{b}\black{*}\blue{2ab}\black{+}\red{b}\blue{b^2}\black{}=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/mm]

[mm] (a+b)^4=(a+b)(a+b)^3=\ldots [/mm]

[mm] $\vdots$ [/mm]

[mm] (a+b)^n=\ldots [/mm]


Das Prinzip des Ausmultiplizierens ist dir bekannt, nehme ich an: Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert.
Übrigens gibt es dazu auch ein schönes "Schema", das so genannte "Pascalsche Dreieck", wenn du dich nochmal meldest, führe ich dir das gerne vor.

Um jetzt ein "Aha!"-Erlebnis zu bekommen, schaue dir doch mal für jedes $n$ die Koeffizienten der Summanden [mm] $a^k*b^{n-k}$, $k\in\{0,\ldots,n\}$ [/mm] an:

$n=0$: [mm] $(a+b)^0=1=1*a^0b^0$ [/mm]
  $k=0$: [mm] $\red{1}\black{}*a^0b^0$ [/mm]

$n=1$: [mm] $(a+b)^1=a+b=1*a^1b^0+1*a^0b^1$ [/mm]
  $k=0$: [mm] $\red{1}\black{}*a^0b^1$ [/mm]
  $k=1$: [mm] $\red{1}\black{}*a^1b^0$ [/mm]

$n=2$: [mm] $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1*a^2b^0+2*a^1b^1+1*a^0b^2$ [/mm]
  $k=0$: [mm] $\red{1}\black{}*a^0b^2$ [/mm]
  $k=1$: [mm] $\red{2}\black{}*a^1b^1$ [/mm]
  $k=2$: [mm] $\red{1}\black{}*a^2b^0$ [/mm]

$n=3$: [mm] $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2=1*a^3b^0+3*a^2b^1+3*a^1b^2+1*a^0b^3$ [/mm]
  $k=0$: [mm] $\red{1}\black{}*a^0b^3$ [/mm]
  $k=1$: [mm] $\red{3}\black{}*a^1b^2$ [/mm]
  $k=2$: [mm] $\red{3}\black{}*a^2b^1$ [/mm]
  $k=3$: [mm] $\red{1}\black{}*a^3b^0$ [/mm]

$n=4$:
  [mm] $\ldots$ [/mm]

Vergleiche diese Ergebnisse nun mit den entsprechenden Werten des Binomialkoeffizienten: ${n [mm] \choose [/mm] k}$.

Melde dich doch noch mal mit deinen Erkenntnissen oder mit weiteren Fragen! :-)

--Marc



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