Bivariate Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Fr 28.06.2013 | | Autor: | farnold |
Hallo,
ich stell mir grad folgende Frage:
Gegeben zwei Zufallsvariablen X und Y.
Wie berechne ich die Stichproben-Standardabweichung einmal für X und einmal für Y, wenn ich zu der entsprechenden bivariaten Verteilung (dieser beiden Variablen) nur eine Menge an Stichproben gegeben habe?
Beispiel:
Wir haben Stichproben bei (X,Y):
(5,1), (5,3), (6,3), (8,5)
Wäre dann der Stichproben-Erwartungswert:
[mm] \mu_x [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*(5+5+6+8) [/mm] = 6
[mm] \mu_y [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*(1+3+3+5) [/mm] = 3
und die Stichprobe-Standardabweichung:
[mm] \sigma_x [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}*((5-6)^{2} + (5-6)^{2} + (6-6)^{2}) + (8-6)^{2}}
[/mm]
[mm] \sigma_y [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}*((1-3)^{2} + (3-3)^{2} + (3-3)^{2}) + (5-3)^{2}}
[/mm]
Stimmt das so?
Und wie sieht es aus, wenn eine bivariate Dichteverteilung f(x,y) gegeben ist. Kann ich dann den Erwartungswertvektor über die Randverteilungen(Marginalverteilung) berechnen, also einfach den Erwartungswert der Dichtefunktion [mm] f_{X}(x) [/mm] bestimmen?
Ich hoffe ich habe das ganze nicht komplett falsch verstanden und alles mögliche durcheinander gebracht :(
Viele Grüße,
fa
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Fr 28.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
>
> Ich hoffe ich habe das ganze nicht komplett falsch
> verstanden und alles mögliche durcheinander gebracht :(
Alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Fr 28.06.2013 | | Autor: | farnold |
Erstmal vielen Dank für deine schnelle Hilfe :)
Eine kleine Frage hätte ich noch ^^
Und zwar gibt es in bestimmten Bibliotheken für Bildverarbeitung Funktionen, die einem den Erwartungswert und die Standardabweichung für Bilder bestimmen können.
Macht nun beispielsweise eine Funktion die den Erwartungswert berechnet nichts anderes, als den durchschnittlichen Farbwert aller Pixel im Bild, bezüglich eines Farbkanals zu bestimmen?
Wie drückt man das ganzen aber formal aus?
Die allgemeine Formel hierfür lautet ja nun:
E(g(X,Y)) = [mm] \summe\summe [/mm] g(x,y)P(X=x,Y=y)
Man könnte ja sagen das Bild für einen Farbkanal lässt sich als diskrete Funktion g(X,Y) beschreiben, also für jedes Zufallstupel/Pixelposition x und y weißt die diskrete Funtion g den entsprechenden Farbwert zu.
Welche Funktion aber nimmt man für P?
Habe ich mir g schon falsch definiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo farnold,
die Abbildung des Pixelwertes eines Farbkanals, oder auch eines Luminanzkanals bei Schwarz-Weiß-Bildern, kannst Du so beschreiben, wie von Dir angegeben. Jetzt stellt sich die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit solch ein Pixel einen bestimmten Wert annimmt. Hier arbeitet man mit einer Gleichverteilung, die die Auflösung dieses Farbkanals berücksichtigt. Bei einer Auflösung von beispielsweise 8 bit pro Kanal, würde man also von einer Gleichverteilung zwischen den Werten 0 und 255 ausgehen und demzufolge käme jeder Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/256 vor.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Fr 28.06.2013 | | Autor: | farnold |
Hallo Infinit,
meinst du mit "Auflösung des Farbkanals" die Anzahl möglicher Farbwerte oder die Anzahl an Pixel?
Folgendes Beispiel:
ein Graustufenbild mit sage und schreibe 4 Pixeln definiert durch:
g(0,0) = 10
g(1,0) = 255
g(0,1) = 128
g(1,1) = 100
Definiere ich die Wahrscheinlichkeit P so, dass diese angibt, wie "wahrscheinlich" es ist auf das Pixel (x,y) zu treffen, (wobei man annimmt das dies für jedes Pixel gleichwahrscheinlich ist,) so ist P definiert durch:
P(X=0, Y=0) = 1/4
P(X=1, Y=0) = 1/4
P(X=0, Y=1) = 1/4
P(X=1, Y=1) = 1/4
und E(g(X,Y)) = 123,25.
Definiere ich die P hingegen bezüglich der Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Farbwert zu bekommen, wobei es 256 verschiedene Farben gibt (Gleichverteilung), so ist P definiert durch:
P(X=x, Y=y) = 1/256
und E(g(X,Y)) = 1,95 (was keinen Sinn ergibt?).
Vielen Dank für Eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Sa 29.06.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo farnold,
Deine Frage habe ich so aufgefasst, dass man über einen Farbkanal hinweg (der auch der Luminanzkanal sein kann), den Erwartungswert für diesen Kanal (bei einem reinen RGB-Kanal ist es demzufolge die Farbsättigung des Kanals) bestimmen möchte.
Du willst also nicht wissen, wie wahrscheinlich es ist, auf ein Pixel zu treffen (das ist im Bild sowieso immer vorhanden), sondern wie groß die Farbsättigung in einem Kanal ist. Wenn Du die Werte so gegeben hast, wie in Deinem Beispiel, dann ist der Wertebereich ja schon vorgegeben und es langt die Bestimmung des arithmetischen Mittels. Dann wären die 123 1/4 okay.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
