Blockmatrix invertierbar? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Gegeben sei eine $2n [mm] \times [/mm] 2n$-Matrix der Form
[mm] X=\pmat{ A & B \\ C & D },
[/mm]
wobei A, B, C, D $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen sind, die miteinander kommutieren.
Zeige, dass X genau dann invertierbar ist, wenn AD-BC invertierbar ist. |
Hi!
Hier habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung.
Ich wollte zuerst mit der Determinante ran gehen, aber A, B, C, D stammen ja nicht aus einem Körper. Und zumindest haben wir die Determinante als Abbildung det: M(n,K) [mm] \rightarrow [/mm] K definiert, wobei K ein Körper sein soll. Oder existiert die Determinante dann trotzdem?
Aber wahrscheinlich kann man die Aufgabe auch ohne Determinante lösen.
Kann mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Fr 22.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hier habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung.
> Ich wollte zuerst mit der Determinante ran gehen, aber A,
> B, C, D stammen ja nicht aus einem Körper. Und zumindest
> haben wir die Determinante als Abbildung det: M(n,K)
> [mm]\rightarrow[/mm] K definiert, wobei K ein Körper sein soll.
> Oder existiert die Determinante dann trotzdem?
Man kann eine Determinante auf jedem kommutativen Ring R erklären. Dann sind die Determinanten auf nxn Matrizen über diesem Ring definiert. Die Matirzen sind genau dann invertierbar, wenn die Determinante eine Einheit im Ring R ist (vgl. Pseudoinverse). Da hier die Matrizen paarweise kommutieren, nehmen wir den Unterring, der von diesen 4 Matrizen erzeugt wird. Damit würde die Aussage tatsächlich aus der Charaktisierung mittels Determinanten folgen - wenn man nur sicher stellen könnte, dass die Inversen im Unterring wären oder man sie zu einem kommutativen Unterring hinzufügen könnte. Das sehe ich allerdings nicht ... oder aber, ja, hm, genau: man kann doch die die inverse Matrix mittels des char. Polynoms als Polynom der Matrix darstellen, damit sind, falls es Inverse gibt, diese im Unterring und damit kann man alles anwenden.
Puh, das wäre aber imo schon ein bisschen Kanonan auf Spatzen - es muss einen ganz elementaren Weg geben ... ich lasse es mal auf halb benatwortet.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort erstmal. Aber so weit sind wir noch nicht, also deine Ausführungen sagen mir leider recht wenig.
Kann man das eventuell so machen:
Eine Inverse einer 2x2-Matrix M mit Einträgen aus [mm] \IR [/mm] hat ja auch, sofern sie existiert, die Form [mm] det(M^{-1})*\pmat{ d & -b \\ -c & a }.
[/mm]
Kann man das einfach auch auf X anwenden? und wenn ja, wieso? Also:
Die Inverse der 2x2-Matrix X mit Einträgen aus R (R ist dieser Ring der Matrizen) hat ja auch, sofern sie existiert, die Form [mm] det(X^{-1})*\pmat{ D & -B \\ -C & A }=(AD-BC)^{-1}*\pmat{ D & -B \\ -C & A }.
[/mm]
Und wenn X invertierbar ist, so muss es AD-BC auch sein und wenn AD-BC invertierbar ist, wäre es X demnach auch.
Aber das kommt mir zu einfach vor.
Teufel
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> Hi!
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> Danke für die Antwort erstmal. Aber so weit sind wir noch
> nicht, also deine Ausführungen sagen mir leider recht
> wenig.
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> Kann man das eventuell so machen:
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> Eine Inverse einer 2x2-Matrix M mit Einträgen aus [mm]\IR[/mm] hat
> ja auch, sofern sie existiert, die Form [mm]det(M^{-1})*\pmat{ d & -b \\ -c & a }.[/mm]
>
> Kann man das einfach auch auf X anwenden? und wenn ja,
> wieso? Also:
>
> Die Inverse der 2x2-Matrix X mit Einträgen aus R (R ist
> dieser Ring der Matrizen) hat ja auch, sofern sie
> existiert, die Form [mm]det(X^{-1})*\pmat{ D & -B \\ -C & A }=(AD-BC)^{-1}*\pmat{ D & -B \\ -C & A }.[/mm]
Hallo,
wenn Du vorrechnest, daß [mm] (AD-BC)^{-1}*\pmat{ D & -B \\ -C & A } [/mm] Deine Matrix invertiert, hast Du immerhin schon die Rückrichtung.
Die können wir also abhaken.
>
> Und wenn X invertierbar ist, so muss es AD-BC auch sein
Bloß warum? (Ich weiß es auch nicht im Moment.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe nur die Formel genommen, die gilt, wenn eine 2x2-Matrix M Einträge aus einem Körper wie z.B. [mm] \IR [/mm] hat.
Also es gilt ja dann $ [mm] M^{-1}=\bruch{1}{det(M)}\cdot{}\pmat{ d & -b \\ -c & a }. [/mm] $
Das habe ich nur darauf umgemünzt, wenn eben die Matrizen A, B, C, D Einträge von einer 2x2-Matrix wären. Das Problem ist nur, dass A, B, C, D nicht aus einem Körper, sondern nur aus einem Ring stammen.
Auf Wikipedia habe ich auch gefunden, dass [mm] det(X)=det(\pmat{ A & B \\ C & D })=det(AD-BC) [/mm] gelten soll, falls A,B,C,D kommutieren, was sie hier ja tun. Mit der Formel wäre doch sowohl hin, als auch Rückrichtung gezeigt, oder? Fragt sich nur noch, wie man auf sie kommt...
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:39 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hm, also wenn ich zeigen will, dass
[mm] Y=(AD-BC)^{-1}*\pmat{ D & -B \\ -C & A } [/mm] eine Inverse zu X ist, stoße ich auf das Problem, dass ich nicht weiß, ob die entstehenden Produkte von Matrizen kommutativ sind, wenn es A, B, C, D sind.
Also es gilt [mm] XY=\pmat{ A & B \\ C & D }((AD-BC)^{-1}*\pmat{ D & -B \\ -C & A })=\pmat{ A & B \\ C & D }*\pmat{ (AD-BC)^{-1}*D & (AD-BC)^{-1}*(-B) \\ (AD-BC)^{-1}*(-C) & (AD-BC)^{-1}*A }
[/mm]
[mm] =\pmat{ A*(AD-BC)^{-1}*D+B*(AD-BC)^{-1}*(-C) & A*(AD-BC)^{-1}*(-B)+B*(AD-BC)^{-1}*A \\ C*(AD-BC)^{-1}*D+D*(AD-BC)^{-1}*(-C) & C*(AD-BC)^{-1}*(-B)+D*(AD-BC)^{-1}*A}.
[/mm]
Wenn diese Produkte kommutativ wären, könnte ich natürlich einfach ausklammern etc. und würde auf eine Einheitsmatrix kommen, aber es sieht mir nicht danach aus, als ob man das einfach darf.
Bin ich denn überhaupt auf dem richtigen Weg?
Edit:
Ich sehe, dass das Problem nicht existieren würde, wenn ich einfach [mm] Y=\pmat{ D*(AD-BC)^{-1} & -B*(AD-BC)^{-1} \\ -C*(AD-BC)^{-1} & A*(AD-BC)^{-1} } [/mm] betrachte.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Sa 23.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi!
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> Danke für die Antwort erstmal. Aber so weit sind wir noch
> nicht, also deine Ausführungen sagen mir leider recht
> wenig.
>
> Kann man das eventuell so machen:
>
> Eine Inverse einer 2x2-Matrix M mit Einträgen aus [mm]\IR[/mm] hat
> ja auch, sofern sie existiert, die Form [mm]det(M^{-1})*\pmat{ d & -b \\ -c & a }.[/mm]
>
> Kann man das einfach auch auf X anwenden? und wenn ja,
> wieso? Also:
Weil Aussagen ueber die Multiplikativitaet der Determinante etc. auch fuer kommutative Ringe gelten.
> Die Inverse der 2x2-Matrix X mit Einträgen aus R (R ist
> dieser Ring der Matrizen) hat ja auch, sofern sie
> existiert, die Form [mm]det(X^{-1})*\pmat{ D & -B \\ -C & A }=(AD-BC)^{-1}*\pmat{ D & -B \\ -C & A }.[/mm]
Hier muss man aufpassen, was [mm] $(AD-BC)^{-1}*\pmat{ D & -B \\ -C & A }$ [/mm] bedeutet.
> Und wenn X invertierbar ist, so muss es AD-BC auch sein und
> wenn AD-BC invertierbar ist, wäre es X demnach auch.
Wenn du das Ergebnis oben benutzen darfst, dann geht das so (also falls $Y := [mm] X^{-1}$ [/mm] ist [mm] $E_n [/mm] = [mm] \det(X [/mm] Y) = (A D - B [mm] C)^{-1} \cdot \det [/mm] Y$ im kommutativen Ring $K[A, B, C, D]$, womit $A D - B C$ invertierbar ist).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Mather |
Ich bin mir nicht sicher aber kann man das nicht einfach durch ein gleichungssystem darstellen? also wenn man deine 2x2 matrix einfach mal Z nennen würde dann gilt doch
x=Z
[mm] Z^{-1}x=E
[/mm]
[mm] Z^{-1}E=Ex^{-1}
[/mm]
so ist x invertierbar wenn Z invertierbar ist....
ich hoffe ich hab hier nicht den größten mist der mathegeschichte hingeschrieben
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Sa 23.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sei eine [mm]2n \times 2n[/mm]-Matrix der Form
>
> [mm]X=\pmat{ A & B \\ C & D },[/mm]
>
> wobei A, B, C, D [mm]n \times n[/mm]-Matrizen sind, die miteinander
> kommutieren.
> Zeige, dass X genau dann invertierbar ist, wenn AD-BC
> invertierbar ist.
Wie man von $A D - B C$ invertierbar auf $X$ invertierbar kommt, hatten wir ja schon.
Zur Rueckrichtung zeige doch erstmal, dass aus $X$ invertierbar folgt, dass $Y := [mm] \pmat{ D & -B \\ -C & A }$ [/mm] invertierbar ist. (Nimm etwa eine Inverse der Form [mm] $\pmat{ F & G \\ H & K }$ [/mm] von $X$ und versuche, daraus eine Rechtsinverse oder Linksinverse von $Y$ zu bekommen.)
Dann weisst du, dass $X Y = [mm] \pmat{ A D - B C & 0 \\ 0 & A D - B C }$ [/mm] invertierbar ist. Daraus wiederum folgt aber, dass $A D - B C$ invertierbar ist.
LG Fleix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:15 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Erstmal vielen Dank auch für deine Antworten. Ich glaube ich hab es nun endgültig.
Sei [mm] X=\pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] also invertierbar. Dann ist $det(X) [mm] \not= [/mm] 0$. Dann kann ich X durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen in die Gestalt von [mm] Y:=\pmat{ D & -C \\ -B & A } [/mm] bringen. Die Determinante kann dabei höchstens ihr Vorzeichen, nicht aber ihren Absolutbetrag ändern.
Also kann man X so umformen:
[mm] \pmat{ A & B \\ C & D } \Rightarrow \pmat{ C & D \\ A & B } \Rightarrow \pmat{ D & C \\ B & A } [/mm] nun multipliziere ich die letzten n Zeilen (alle Zeilen, in denen Zeilen von B sind) und dann die letzten n Spalten (alle Spalten, in denen Spalten aus A sind) mit -1 und ich erhalte [mm] \pmat{ D & -C \\ -B & A }.
[/mm]
Die Determinante ist hier immer noch ungleich 0.
Da X und Y invertierbar sind, ist es XY auch [mm] ((XY)^{-1}=Y^{-1}*X^{-1}).
[/mm]
Dann gilt also: $0 [mm] \not= det(XY)=[det(AD-BC)]^2 \Rightarrow [/mm] det(AD-BC) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] AD-BC$ ist invertierbar.
Geht das so?
Teufel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:15 Sa 23.01.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Teufel!
> Erstmal vielen Dank auch für deine Antworten. Ich glaube
> ich hab es nun endgültig.
>
> Sei [mm]X=\pmat{ A & B \\ C & D }[/mm] also invertierbar. Dann ist
> [mm]det(X) \not= 0[/mm]. Dann kann ich X durch elementare Zeilen-
> und Spaltenumformungen in die Gestalt von [mm]Y:=\pmat{ D & -C \\ -B & A }[/mm]
> bringen. Die Determinante kann dabei höchstens ihr
> Vorzeichen, nicht aber ihren Absolutbetrag ändern.
> Also kann man X so umformen:
>
> [mm]\pmat{ A & B \\ C & D } \Rightarrow \pmat{ C & D \\ A & B } \Rightarrow \pmat{ D & C \\ B & A }[/mm]
> nun multipliziere ich die letzten n Zeilen (alle Zeilen, in
> denen Zeilen von B sind) und dann die letzten n Spalten
> (alle Spalten, in denen Spalten aus A sind) mit -1 und ich
> erhalte [mm]\pmat{ D & -C \\ -B & A }.[/mm]
> Die Determinante ist
> hier immer noch ungleich 0.
>
> Da X und Y invertierbar sind, ist es XY auch
> [mm]((XY)^{-1}=Y^{-1}*X^{-1}).[/mm]
>
> Dann gilt also: [mm]0 \not= det(XY)=[det(AD-BC)]^2 \Rightarrow det(AD-BC) \not= 0 \Rightarrow AD-BC[/mm]
> ist invertierbar.
>
> Geht das so?
Ja, sieht gut aus!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 So 24.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Ok, vielen Dank!
Eigentlich gar nicht so schwer, wenn man mal einen Anfang gefunden hat.
Teufel
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