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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Zukku |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Eigenwerte einer Block-Diagonalmatrix A mit Blöcken A_{k} (K01,...,n) genau die Eigenwerte der einzelnen Blöcke sind. Weiters zeige man, dass alle Eigenvektoren von A aus den Eigenvektoren der Blöcke A_{k} gebildet werden können. (Hinweis: Zum Eigenwert \lambda: Aneinanderreihen von entweder Eigenvektoren der einzelnen Blöcke mit Eigenwert \lambda, oder Nullblöcken für jene Blöcke für die \lambda kein Eigenwert ist). Man schließe daraus Sp(A)=\sum\limits_{k=1}^{n}{Sp(A_{k}} und det(A)=\prod\limits_{k=1}^{n}{det(A_{k}) |
Nun meine Frage: Ich hätte die beiden ersten Punkte (Eigenwerte und Eigenvektoren) zeigen können, nur mein Problem ist, dass ich für die Eigenwerte die Determinante der Blockmatrizen gebraucht hätte.
Wie ich das ohne Determinante zeigen kann, weiß ich leider nicht.
Kann mir irgendjemand bitte helfen?
Lg
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
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> Man zeige, dass die Eigenwerte einer Block-Diagonalmatrix A
> mit Blöcken A_{k} (K01,...,n) genau die Eigenwerte der
> einzelnen Blöcke sind. Weiters zeige man, dass alle
> Eigenvektoren von A aus den Eigenvektoren der Blöcke A_{k}
> gebildet werden können. (Hinweis: Zum Eigenwert \lambda:
> Aneinanderreihen von entweder Eigenvektoren der einzelnen
> Blöcke mit Eigenwert \lambda, oder Nullblöcken für jene
> Blöcke für die \lambda kein Eigenwert ist). Man schließe
> daraus Sp(A)=\sum\limits_{k=1}^{n}{Sp(A_{k}} und
> det(A)=\prod\limits_{k=1}^{n}{det(A_{k})
> Nun meine Frage: Ich hätte die beiden ersten Punkte
> (Eigenwerte und Eigenvektoren) zeigen können, nur mein
> Problem ist, dass ich für die Eigenwerte die Determinante
> der Blockmatrizen gebraucht hätte.
> Wie ich das ohne Determinante zeigen kann, weiß ich
> leider nicht.
> Kann mir irgendjemand bitte helfen?
>
> Lg
Du kannst doch direkt mit der Defintion von Eigenwerten und Eigenvektoren arbeiten:
Wenn du zeigst, dass Ax=\lambda x äquivalent ist zu A_kx_x=\lambda x_k für alle k,
folgt daraus sofort, dass jeder Eigenwert von A Eigenwert von (mindestens) einem der Blöcke sein muss und umgekehrt.
Dazu braucht es kein charakteristisches Polynom.
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