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Blow-ups: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Mo 05.06.2017
Autor: Kruemelmonster2

Aufgabe
Wir sagen, dass die Lösung $x$ einer Differentialgleichung [mm] $\dot{x}=f(t,x)$ [/mm] einen Blow-up in endlicher Zeit hat, wenn es ein [mm] $\hat{t}$ [/mm] gibt, so dass

[mm] $\limes_{t\searrow{\hat{t}}}x(t) [/mm] = [mm] \pm \infty$ [/mm] bzw. [mm] $\limes_{t\nearrow{\hat{t}}}x(t) [/mm] = [mm] \pm \infty$ [/mm]

gilt.

Entscheiden Sie ohne eine explizite Lösung auszurechnen, für welche Anfangsdaten [mm] $x_{0}$ [/mm] die Lösung des Anfangswertproblems

[mm] $\dot{x}=(x+1)\cdot (x+2)^2 ln(1+x^2), \quad x(0)=x_{0}$ [/mm]

einen Blow.up zu endlichen Zeiten hat.


Mein Problem ist, dass ich gar nicht weiss wie ich einen Blow-up ohne explizite Lösung erkennen soll.
Ich brauche ja eine Lösung um entscheiden zu können ob ein Blow-up vorliegt oder eben nicht.

Die einzige Idee die ich bislang hatte war, dass die Startwerte $-1$, $-2$ und $0$ ausscheiden, weil sonst die DZG eben die 0 wäre.

Mehr fällt mir bislang leider dazu nicht ein. Wir haben auch mal grobe Skizzierungen dazu gemacht, wie die Lösungen in etwa aussehen müssen. Das habe ich für die vorliegende Funktion ebenfalls einmal gemacht kann daran aber auch keinen Blow-Up erkennen oder wüsste nicht wie das gehen sollte.

Kann mir jemand vll eine Idee geben wie ich das ganze ohne konkrete Berechnung bewerkstelligen kann? Eine konkrete Berechnung haben wir im ersten Aufgabenteil durchführen müssen.

Mit freundlichen Grüßen,
das Krümmelmonster

Note: Irgendwie werden mir die Formel oben nicht angezeigt sondern als Fehlerhaftes Bild welches nicht gelesen werden kann. Das ist unabhängig vom verwendeten Browser und ich weiss nicht warum. Ich hoffe man kann es trdm. lesen :/


        
Bezug
Blow-ups: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mo 05.06.2017
Autor: andyv

Hallo

Offenbar hast du konstante Lösungen für [mm] $x_0=-1,-2,0$. [/mm]
Mit dem Eindeutigkeitssatz folgere nun, dass Lösungen mit [mm] $x_0 \in [/mm] [-2,0]$ beschränkt sind.

Gruss

Bezug
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