Bodediagramm < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Übertragungsfunktion
G(s) = [mm] \bruch{2 \cdot (1+0,4s)}{s^2+0,5s +1}
[/mm]
a) Zeichnen Sie die asymptotische Näherung des Frequenzgangs. |
hi, wenn ich obigen Übertragungsfunktion asymptotisch ins Bodediagramm zeichnen will, so muss ich die Eckfrequenzen zunächst bestimmen.
Im Zähler beträgt die asymptotische Eckfrequenz 2,5 rad/s ,
denn da steht 1 + Ts und T = 0.4 daraus folgt eben genannte Eckfrequenz. Somit steigt das die Kennlinie um 20 dB an dieser Eckfrequenz nach oben.
Im Nenne beträgt die asymptotische Eckfrequenz 1 rad/s (doppelt) somit fällt die Kennlinie um 20 db pro Dekade ab dieser Stelle, denn eben stieg sie um 20 dB jetzt würde sie um 40 dB fehelen also insgesamt fällt sie um 20 dB pro Dekade.
Ist der Verstärkungs faktor 20 [mm] \cdot [/mm] log(2) = 6dB ?
ich hab mal versucht den Zähler in Liniearfaktoren zu zerlgen:
2 + 0,8s = 0
s = -2.5
somit müsste [mm] 2\cdot [/mm] (1+0,4s) = (s-2,5) sein, aber das widerspricht sich, denn nun steht da:
[mm] 2\cdot [/mm] (1+0,4s) = [mm] -2.5\cdot [/mm] (1-0,4s)
wo hab ich da den fehler gemacht?
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> Gegeben sei die Übertragungsfunktion
>
> G(s) = [mm]\bruch{2 \cdot (1+0,4s)}{s^2+0,5s +1}[/mm]
>
> a) Zeichnen Sie die asymptotische Näherung des
> Frequenzgangs.
> hi, wenn ich obigen Übertragungsfunktion asymptotisch ins
> Bodediagramm zeichnen will, so muss ich die Eckfrequenzen
> zunächst bestimmen.
>
> Im Zähler beträgt die asymptotische Eckfrequenz 2,5 rad/s
> ,
> denn da steht 1 + Ts und T = 0.4 daraus folgt eben
> genannte Eckfrequenz. Somit steigt das die Kennlinie um 20
> dB an dieser Eckfrequenz nach oben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Im Nenne beträgt die asymptotische Eckfrequenz 1 rad/s
> (doppelt) somit fällt die Kennlinie um 20 db pro Dekade ab
> dieser Stelle, denn eben stieg sie um 20 dB jetzt würde
> sie um 40 dB fehelen also insgesamt fällt sie um 20 dB pro
> Dekade.
>
> Ist der Verstärkungs faktor 20 [mm]\cdot[/mm] log(2) = 6dB ?
an welcher stelle denn?
>
> ich hab mal versucht den Zähler in Liniearfaktoren zu
> zerlgen:
der zähler ist doch schon ein linearfaktor?!
>
> 2 + 0,8s = 0
> s = -2.5
>
> somit müsste [mm]2\cdot[/mm] (1+0,4s) = a(s+2,5) sein, aber das
> widerspricht sich, denn nun steht da:
siehe rotes
>
> [mm]2\cdot[/mm] (1+0,4s) = [mm]-2.5\cdot[/mm] (1-0,4s)
>
> wo hab ich da den fehler gemacht?
gruß tee
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thanks, habs jetzt nochmal gerechnet und jetzt stimmt das überein.
war zwar bereits in einen liniearfaktor zerlegt, aber ich wollte das mal selbst nochmal probieren, rein aus übungsgründen.
> >
> > Ist der Verstärkungs faktor 20 [mm]\cdot[/mm] log(2) = 6dB ?
> an welcher stelle denn?
> >
naja ich würd die 6 dB einfach dort schon einzeichnen wo ich beginne mein bodediagramm zu zeichnen. also anstelle bei 0 dB fängt die linie bei 6 dB an und läuft dann zur ersten Eckfrequenz.
also wäre die antwort: vor der ersten Eckfrequenz zeichne ich eine Kennlinie die parallel zur 0 dB Linie verläuft im Abstand 6dB.
Mal ne andere Frage, das sind jetzt nur asymptotische Zeichnungen, was aber wenn ich das genau zeichnen will?
Wenn ich ein PT1-Glied hab: [mm] \bruch{1}{Ts+1}
[/mm]
so liegt die asymptotische Eckfrequenz bei [mm] w=\bruch{1}{T}
[/mm]
Wenn ichs nun genau und nicht asymptotisch einzeichnen will muss ich dann die Nullstelle des Nenners bestimmen?
Ts+1=0
[mm] s=-\bruch{1}{T}
[/mm]
und dann ist s meine Eckfrequenz? ich hab hier grad sicherlich irgendwas durcheinander gebracht, weil das irgendwie so falsch aussieht, besonders mit dem minus zeichen.
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> thanks, habs jetzt nochmal gerechnet und jetzt stimmt das
> überein.
> war zwar bereits in einen liniearfaktor zerlegt, aber ich
> wollte das mal selbst nochmal probieren, rein aus
> übungsgründen.
>
>
> > >
> > > Ist der Verstärkungs faktor 20 [mm]\cdot[/mm] log(2) = 6dB ?
> > an welcher stelle denn?
> > >
>
> naja ich würd die 6 dB einfach dort schon einzeichnen wo
> ich beginne mein bodediagramm zu zeichnen. also anstelle
> bei 0 dB fängt die linie bei 6 dB an und läuft dann zur
> ersten Eckfrequenz.
> also wäre die antwort: vor der ersten Eckfrequenz zeichne
> ich eine Kennlinie die parallel zur 0 dB Linie verläuft im
> Abstand 6dB.
achso, ja das ist korrekt
>
>
> Mal ne andere Frage, das sind jetzt nur asymptotische
> Zeichnungen, was aber wenn ich das genau zeichnen will?
wenn du es "genau" zeichnen wolltest, müsstest du die übertragunsfunktion G(s) in G(jw) "ändern", und den betrag wie auch die phasenlage bestimmen.. und dann geht das halt per wertetabelle, oder ein gutes plot-programm
>
> Wenn ich ein PT1-Glied hab: [mm]\bruch{1}{Ts+1}[/mm]
> so liegt die asymptotische Eckfrequenz bei [mm]w=\bruch{1}{T}[/mm]
>
> Wenn ichs nun genau und nicht asymptotisch einzeichnen will
> muss ich dann die Nullstelle des Nenners bestimmen?
>
> Ts+1=0
> [mm]s=-\bruch{1}{T}[/mm]
>
> und dann ist s meine Eckfrequenz? ich hab hier grad
> sicherlich irgendwas durcheinander gebracht, weil das
> irgendwie so falsch aussieht, besonders mit dem minus
> zeichen.
>
>
weder s noch T sind negativ, somit wird auch der nenner niemals 0
gruß tee
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> > Wenn ich ein PT1-Glied hab: [mm]\bruch{1}{Ts+1}[/mm]
> > so liegt die asymptotische Eckfrequenz bei
> [mm]w=\bruch{1}{T}[/mm]
> >
> > Wenn ichs nun genau und nicht asymptotisch einzeichnen will
> > muss ich dann die Nullstelle des Nenners bestimmen?
> >
> > Ts+1=0
> > [mm]s=-\bruch{1}{T}[/mm]
> >
> > und dann ist s meine Eckfrequenz? ich hab hier grad
> > sicherlich irgendwas durcheinander gebracht, weil das
> > irgendwie so falsch aussieht, besonders mit dem minus
> > zeichen.
> >
> >
>
> weder s noch T sind negativ, somit wird auch der nenner
> niemals 0
>
> gruß tee
das versteh ich nicht so ganz, warum folgt denn aus s nicht negativ und T nicht negativ dass der Nenner nicht 0 ist?
Ts+1=0
[mm]s=-\bruch{1}{T}[/mm]
Der Nenner ist ja in diesem Falle das T.
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> > > Wenn ich ein PT1-Glied hab: [mm]\bruch{1}{Ts+1}[/mm]
> > > so liegt die asymptotische Eckfrequenz bei
> > [mm]w=\bruch{1}{T}[/mm]
> > >
> > > Wenn ichs nun genau und nicht asymptotisch einzeichnen will
> > > muss ich dann die Nullstelle des Nenners bestimmen?
> > >
> > > Ts+1=0
> > > [mm]s=-\bruch{1}{T}[/mm]
> > >
> > > und dann ist s meine Eckfrequenz? ich hab hier grad
> > > sicherlich irgendwas durcheinander gebracht, weil das
> > > irgendwie so falsch aussieht, besonders mit dem minus
> > > zeichen.
> > >
> > >
> >
> > weder s noch T sind negativ, somit wird auch der nenner
> > niemals 0
> >
> > gruß tee
>
>
> das versteh ich nicht so ganz, warum folgt denn aus s nicht
> negativ und T nicht negativ dass der Nenner nicht 0 ist?
>
> Ts+1=0
> [mm]s=-\bruch{1}{T}[/mm]
>
> Der Nenner ist ja in diesem Falle das T.
>
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ich verstehe immer noch nicht warum du auf polstellen untersuchst?
im bodediagramm wird doch aus s -> [mm] j\omega
[/mm]
und weder w noch j ist negativ, und schon gar nicht die zeit T
gruß tee
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mir wurde gesagt, dass wenn man bei einem PT2 Glied asymptotisch die die Knickfrequenz bestimmen will, man
das w aus der Gleichung abliest und an der stelle einen abfall von 40 dB wegen doppelter polstelle.
und mir wurde gesagt, das in wirklichkeit bei diesem w keine Eckfrequenz ist, sondern dies nur für den asymptotischen Fall angenommen werden kann.
Um die tatsächliche Eckfrequenz zu berechnen müsste man die Polstellen bestimmen.
Dann hätte man insgesamt zwei Pole und an diesen zwei Polen wäre die wirkliche Eckfrequenz.
Nun wollte ich das auf ein PT1 Glied übertragen.
Laut obiger Aussage hab ich mir gedacht dass die wirkliche Eckfrequenz, nicht die asymptotische ist, sondern an der Polstelle liegen müsste. Da das PT1 Glied im Nenne Ts+1 hat,
wäre die Polstelle davon
s = [mm] -\bruch{1}{T}
[/mm]
was ich damit also sagen will, ist dass die tatsächlichen Eckfrequenzen an den Polstellen liegen.
Hab das noch nicht genau verstanden warum die eigentlichen Pole die tatsächlichen Eckfrequenzen sind, hab das erstmal so hingenommen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 So 05.09.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo BlubbBlubb,
das Ganze ist eine Frage der Approximation. Ein [mm]PT_1[/mm]-Glied ist ein Tiefpass und dieser besitzt die Übertragungsfunktion [mm] F(j\omega) = \bruch{1}{1+j\omega T} [/mm]. Hier lässt sich die sogenannte 3dB-Frequenz bestimmen, bei der die Übertragungsfunktion, wie der Name schon sagt, um 3 dB gefallen ist. Wann passiert das? Wenn der Übertragungsfaktor betragsmäßig auf die Hälfte gesunken ist und dies ist gerade dann der Fall, wenn [mm] \omega = \bruch{1}{T} [/mm] gilt.
Um nun in der Regelgungstechnik einfacher arbeiten zu können, geht man davon aus, dass ab dieser Frequenz, was eben nicht genau stimmt, sonst wäre es keine Approximation, die Übertragungsfunktion um 20 dB pro Dekade fällt. Bis zu dieser Frequenz geht man von einer konstanten Übertragungsfunktion aus, daher auch der Name Knickfrequenz. Wenn man also eine Übertragungsfunktion als Multiplikation von Hochpässen und Tiefpässen beschrieben kann, so bilden deren Knickfrequenzen gerade diejenigen Frequenzen, an denen sich was tut und man kann im Logarithmischen die Dämpfungen ja addieren, so dass das Zeichnen besonders einfach fällt. Das ist der Zusammenhang zwischen den Polstellen und den Knickfrequenzen.
Viele Grüße,
Infinit
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