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Hallo,
ich bräuchte dringend, falls möglich, Hilfe bei einer Kleinigkeit, die mich beinah quält, aber für die Mehrheit der Leser dieses Textes mehr in das Lachhafte fällt, was ich mir nicht erhoffe.
Leider gibt es nicht wirklich viel, was ich als meine Eigenleistung anbieten kann und eine spezielle Aufgabe an sich gibt es auch nicht wirklich, aber mal schauen...
Ich scheitere immer an der Bestimmung der Lösungsmenge für ähnliche Gleichungen, wie die folgende, die ich durch äquivalentes Umformen erreicht habe...
[mm] x_{2} [/mm] + x = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
Das beliebige einsetzen von Zahlen brachte mich (oh Wunder^^) nicht auf die Lösung oder sogar eine "Funktionsgleichung" (ist die Anwendung dieses Begriffs fachlich im Bezug zum Kontext richtig?)
Dasselbige gilt für das Umformen jeder Art.
Eigentlich nicht viel zum Vorzeigen...
Ich würde mich über Hilfe freuen. :)
Gruß
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
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> [mm]x_{2}[/mm] + x = [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
>
> Das beliebige einsetzen von Zahlen brachte mich (oh
> Wunder^^) nicht auf die Lösung oder sogar eine
> "Funktionsgleichung" (ist die Anwendung dieses Begriffs
> fachlich im Bezug zum Kontext richtig?)
Hallo,
hast du wirklich das gemeint, was du geschrieben hast
oder doch nicht eher dieses:
[mm]x^{2}\ +\ x\ =\ \bruch{1}{16}[/mm]
In diesem Fall hätten wir eine quadratische Gleichung.
Diese könnte man dann zum Beispiel so lösen:
[mm]\tbox{\Large{x^{2}\ +\ x\ =\ \underbrace{x^2\ +\ x\ +\ \frac{1}{4}}_{(x+\frac{1}{2})^2}\ -\ \frac{1}{4}\ =\ \bruch{1}{16}}}[/mm]
Merkst du, wie es weiter gehen könnte ?
LG , Al-Chw.
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Ich komme irgendwie nicht weiter...
(Aquivalenzpfeile bitte dazu denken...)
Da ich nach der Anwendung der 1. Binomischen Formel nicht weiterkomme...
[mm] x^{2}+ [/mm] x + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{5}{16}
[/mm]
[mm] x^{2}+ \bruch{1}{4} [/mm] = -x+ [mm] \bruch{5}{16}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] = -x + [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
Das blöde Quadrat "nervt", vielleicht sollte ich erwähnen, dass die Potenzen in Gleichungen für mich vom schulischen Wisssen her beinah Neuland sind, ich kann mir vorstellen, wie "armselig" ich gerade vielleicht wirke... *mit den Kopf gegen die Wand renn
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Hallo!
Nunja, du hast die binomische Formel ja gar nicht angewendet!
Deine erste Zeile ist ja noch OK, doch dann ersetzte den linken teil mal durch das, was mein Vorredner geschrieben hat.
Danach kannst du auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen, und dann gehts weiter.
Aber Achtung! es gibt zwei Möglichkeiten:
[mm] (2+x)^2=16
[/mm]
wird zu
2+x=4 ODER 2+x=-4 , denn das Quadrat bügelt das Vorzeichen weg. Diese beiden Gleichungen kannst du sicher lösen: x=2 oder x=-6.
Der erste Wert ist richtig, wie du durch Einsetzen prüfen kannst:
[mm] (2+2)^2=16
[/mm]
[mm] 4^2=16
[/mm]
Und der zweite auch:
[mm] (2-6)^2=16
[/mm]
[mm] (-4)^2=16
[/mm]
Nachdem ich das nun an einem anderen beispiel vorgemacht habe, schaffst du es mit deiner Aufgabe auch?
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Es müsste sich aber irgendwo ein Fehler eingeschlichen haben, wohl ehr bei mir, denn die Lösungsmenge von:
[mm] x^{2} [/mm] + x = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
lautet doch nicht 2 und -6?- oder scheiter ich um diese Uhrzeit schon beim Rechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Do 05.12.2013 | | Autor: | Ebri |
> Es müsste sich aber irgendwo ein Fehler eingeschlichen
> haben, wohl ehr bei mir, denn die Lösungsmenge von:
>
> [mm]x^{2}[/mm] + x = [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
>
> lautet doch nicht 2 und -6?- oder scheiter ich um diese
> Uhrzeit schon beim Rechnen?
Nicht beim Rechnen sondern beim Lesen ;P
2 und -6 sind nicht die Lösungen, da hast du recht. Event_Horizon hat das Vorgehen an einem Beispiel erklärt. Kombinieren wir mal beide Antworten.
[mm] x^{2}+x [/mm] = [mm] x^{2}+x+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4} [/mm] = [mm] (x+\bruch{1}{2})^{2}-\bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (x+\bruch{1}{2})^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}+\bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{5}{16} [/mm]
Man bekommt also die Gleichung: [mm] (x+\bruch{1}{2})^{2} [/mm] = [mm] \bruch{5}{16}
[/mm]
Diese kannst du jetzt, wie Event_Horizon es erklärt hat, lösen.
Gruß
Ebri
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> Ich komme irgendwie nicht weiter...
> (Aquivalenzpfeile bitte dazu denken...)
>
> Da ich nach der Anwendung der 1. Binomischen Formel nicht
> weiterkomme...
>
> [mm]x^{2}+[/mm] x + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] = [mm]\bruch{5}{16}[/mm]
> [mm]x^{2}+ \bruch{1}{4}[/mm] = -x+ [mm]\bruch{5}{16}[/mm]
> [mm]x^{2}[/mm] = -x + [mm]\bruch{1}{16}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Das blöde Quadrat "nervt", vielleicht sollte ich
> erwähnen, dass die Potenzen in Gleichungen für mich vom
> schulischen Wisssen her beinah Neuland sind, ich kann mir
> vorstellen, wie "armselig" ich gerade vielleicht wirke...
> *mit den Kopf gegen die Wand renn
Hallo,
was ich dir mit der Zeile
$ \tbox{\Large{x^{2}\ +\ x\ =\ \underbrace{x^2\ +\ x\ +\ \frac{1}{4}}_{(x+\frac{1}{2})^2}\ -\ \frac{1}{4}\ =\ \bruch{1}{16}}} $
zeigen wollte, war natürlich nicht dazu gedacht, dass du
es gleich wieder in den Mülleimer wirfst, sondern dass
du von der darin steckenden Idee profitieren solltest,
nämlich etwa so:
$ \tbox{\Large{\underbrace{x^2\ +\ x\ +\ \frac{1}{4}}_{(x+\frac{1}{2})^2}\ -\ \frac{1}{4}\ =\ \bruch{1}{16}}} $
beidseitig $\frac{1}{4}$ addieren ergibt:
$ \tbox{\Large{\underbrace{x^2\ +\ x\ +\ \frac{1}{4}}_{(x+\frac{1}{2})^2}\ \ =\ \bruch{1}{16}\ +\ \frac{1}{4}\ \ =\ \bruch{5}{16}}} $
$\ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ =\ \bruch{5}{16}}} $
So, und damit hast du eine neue Gleichung, in der zwar
immer noch ein Quadrat vorkommt, aber eben kein blödes !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich bräuchte dringend, falls möglich, Hilfe bei einer
> Kleinigkeit, die mich beinah quält, aber für die Mehrheit
> der Leser dieses Textes mehr in das Lachhafte fällt, was
> ich mir nicht erhoffe.
>
> Leider gibt es nicht wirklich viel, was ich als meine
> Eigenleistung anbieten kann und eine spezielle Aufgabe an
> sich gibt es auch nicht wirklich, aber mal schauen...
>
> Ich scheitere immer an der Bestimmung der Lösungsmenge
> für ähnliche Gleichungen, wie die folgende, die ich durch
> äquivalentes Umformen erreicht habe...
>
> [mm]x_{2}[/mm] + x = [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
>
> Das beliebige einsetzen von Zahlen brachte mich (oh
> Wunder^^) nicht auf die Lösung oder sogar eine
> "Funktionsgleichung" (ist die Anwendung dieses Begriffs
> fachlich im Bezug zum Kontext richtig?)
> Dasselbige gilt für das Umformen jeder Art.
>
> Eigentlich nicht viel zum Vorzeigen...
>
> Ich würde mich über Hilfe freuen. :)
> Gruß
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt)
>
wir haben eine schöne Seite:
 Ergänzung
oder auch
PQFormel
Im obigen Fall:
[mm] $x^2+x=\frac{1}{16}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $x^2+\underbrace{(1)}_{=p}*x+\underbrace{\left(-\,\frac{1}{16}\right)}_{=q}=0\,.$
[/mm]
Es gibt zwei Wege, sowas allgemein herzuleiten:
1. Möglichkeit: Man schreibt
[mm] $x^2+px+q=0$
[/mm]
äquivalent um in
[mm] $\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q+\text{Korrekturterm}=0\,.$
[/mm]
2. Möglichkeit: Man rechnet
[mm] $x^2+px+q=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $x^2+px\red{\,+\frac{p^2}{4}}+q=0\red{\,+\frac{p^2}{4}}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{4}\,-\,q\,.$
[/mm]
Beides kannst Du ja auch mal konkret mit Deinem obigen [mm] $p=1\,$ [/mm] und
[mm] $q=-\frac{1}{16}$ [/mm] durchrechnen...
P.S. Eine einfache Rechnung zeigt
[mm] $\text{Korrekturterm}\;=\;\,-\,\frac{p^2}{4}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:02 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich bräuchte dringend, falls möglich, Hilfe bei einer
> Kleinigkeit, die mich beinah quält, aber für die Mehrheit
> der Leser dieses Textes mehr in das Lachhafte fällt, was
> ich mir nicht erhoffe.
>
> Leider gibt es nicht wirklich viel, was ich als meine
> Eigenleistung anbieten kann und eine spezielle Aufgabe an
> sich gibt es auch nicht wirklich, aber mal schauen...
>
> Ich scheitere immer an der Bestimmung der Lösungsmenge
> für ähnliche Gleichungen, wie die folgende, die ich durch
> äquivalentes Umformen erreicht habe...
>
> [mm]x_{2}[/mm] + x = [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
kurze Anleitung/Merksatz: Bei
[mm] ($\*$) $x^2+px+\text{Rest}$
[/mm]
nimm' den Faktor vor dem [mm] $x\,,$ [/mm] halbiere ihn [mm] ($p/2\,$) [/mm] und verwende ihn in
der ersten binomischen Formel (sofern Du [mm] $p\,$ [/mm] nicht im Vorzeichen einschränkst);
[mm] ($\*\*$) $\left(x+\frac{p}{2}\right)^2$ [/mm]
Jetzt schreibe [mm] ($\*\*$) [/mm] aus, und Du wirst sehen, was "zu ergänzen/korrigieren"
ist, damit das mit [mm] ($\*$) [/mm] übereinstimmt.
Der Grund, warum sowas naheliegend scheint, resultiert etwa aus
[mm] $x^2+px=x^2+2*(p/2)*x\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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