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Bogenlänge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Mi 18.06.2003
Autor: ministel

Hi ihr zwei, hab gleich ein neues Problem:

Ich soll die Bogenlänge einer Funktion f: X -> Y, x -> acosh(x/a), a > 0,  zwischen (0,1) und (x0,y0) bestimmen und hab als Definition:

L = Integral || f' || dx, und Grenzen halt die Grenzen des Intervalls.

Irgendwie krieg ichs mit dieser Norm-Sache nicht gebacken. Da steht jetzt weder dran, ob das p-Norm oder Maximumsnorm oder sonstwas ist, einfach nur die normierte Funktion.
Was _genau_ muss ich da denn jetzt berechnen? Also welche Norm? Weder in meinem Skript, noch in meinem Anabuch steht da irgendwas zu drin.
Ich wär wahrscheinlich längst ne Aufgabe weiter, wenn mein blöder Prof das mal irgendwo genauer geschrieben hätte. :/

        
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Bogenlänge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Mi 18.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

eine schnelle vorläufige Antwort:

Wenn nicht erkennbar ist, welche Norm gemeint ist, würde ich die 2-Norm nehmen; das ist jedenfalls die Standard-Norm.

Bis gleich ausführlicher,
Marc


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Bogenlänge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Mi 18.06.2003
Autor: Stefan

Liebe ministel,

auch wenn ich Marc jetzt vorgreife (aber zwei Antworten sind besser als eine ;-)):

Was sind denn X und Y? Irgendeine Voraussetzung an die beiden Mengen/Raeume muss es doch geben, oder? X scheint eine Teilmenge von IR zu sein. Und Y auch. Dann versteht man normalerweise unter der Bogenlänge von f das Integral

l = [mm] int_a^b [/mm] Wurzel( 1 + f'(t)²) dt.

[mm] l = \int_a^b\limits \sqrt{1 + f'(t)^2} dt [/mm]

Die Definition der Bogenlänge für Kurven

l = [mm] int_a^b [/mm] ||c'(t)|| dt

[mm] l = \int_a^b\limits \|c'(t)\| [/mm]


wird also auf die Kurve

c(t) = (t,f(t)) (also den "Graphen" von f)

angewendet. Dann ist nämlich

c'(t) = (1,f'(t))

und

||c'(t)|| = Wurzel(1 + f'(t)²)

[mm] \|c'(t)\| = \sqrt{1 + f'(t)^2} [/mm]


Versuche es mal damit...

Viele Grüße
Stefan


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Mi 18.06.2003
Autor: Marc

Hallo ihr beiden,

dann würde ich sagen, dass jetzt alles klar ist, oder?

Falls nicht, ministel, frage einfach noch mal nach.

Gruß,
Marc.


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Mi 18.06.2003
Autor: Stefan

Sorry, Marc,

dass ich dir die Antwort jetzt weggeschnappt habe. Aber ich muss meiner Nachhilfesucht ja hier nachkommen, während du ja noch andere Möglichkeiten hast. ;-)

Viele Grüße mit einer Bitte um Verständnis
Stefan


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 Mi 18.06.2003
Autor: Marc

Lieber Stefan,

ich bin doch froh, dass du die Frage schon beantwortet hast, denn ich hatte vorhin keine Zeit, nur 10 Sekunden, wo ich dann nur einen kurzen Tipp geben wollte :-)

Ich glaube, es müssen bald mehr Fragen her, wenn wir uns schon darum "kloppen" ;-)

Alles Gute,
Marc


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Mi 18.06.2003
Autor: ministel

Ah, danke euch beiden! :-)

Die Definition mit dem "1 - f'(x)" kannte ich auch schon, weil ich darüber in der Schule sogar mal ein Referat gehalten hab (nur an die Herleitung konnt ich mich nicht mehr so recht erinnern), und hab mich die ganze Zeit gewundert, wie das zusammenpasst.
Naja, jetzt weiß ichs ja.

Hehe, ich glaub, ich erklär euch jetzt zu meinen persönlichen Mathetutoren! ;-) Meine LA-Tutorin und mein Ana-Tutor an der Uni sind nämlich beides ziemliche Nieten, die selten erreichbar sind und wenn doch, nie was erklären können. :/

Wirklich großes Kompliment für euer Engagement, sehr lobenswert!
Hättet vielleicht besser Lehramt studieren sollen, an euch sind gute Lehrer verloren gegangen. ;-)
(Allerdings kann ichs verstehen, wenn man lieber Diplom macht, wenn man eine gewisse Liebe zur Mathematik hegt. ;-))


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Mi 18.06.2003
Autor: ministel

Urghs, 1 + f'²(x) meint ich.
Na, wie auch immer. Hauptsache, ich habs jetzt verstanden.

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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:02 Mi 18.06.2003
Autor: Stefan

Liebe ministel!

> Ah, danke euch beiden! :-)

Gern geschehen! :-)

> Hehe, ich glaub, ich erklär euch jetzt zu meinen persönlichen
> Mathetutoren! ;-) Meine LA-Tutorin und mein Ana-Tutor an der
> Uni sind nämlich beides ziemliche Nieten, die selten erreichbar
> sind und wenn doch, nie was erklären können. :/

Ja, okay, aber ich war selber 5 Jahre lang Tutor an der Uni, u.a. auch als LA-Tutor. Du musst auch eine gewissen Nachsicht mit den Tutoren dort haben: so einfach ist der Job nicht...

> Hättet vielleicht besser Lehramt studieren sollen, an euch sind
> gute Lehrer verloren gegangen. ;-)

Das habe ich auch zunächst getan. Aber leider braucht man dann ein zweites Fach, und das muss einem nicht zwangsläufig Spaß machen. Dann habe ich irgendwann mal auf Diplom gewechselt. Aber Lehrer wäre ich trotzdem sehr gerne, lieber sogar als Wissenschaftler, was ich jetzt bin! Ich habe jetzt aber zum Glück auch mit Studenten und Schülern zu tun, nicht nur hier im Forum, sondern auch in meinem Job.

> wenn man eine gewisse Liebe zur Mathematik hegt. ;-))

Es ist die Liebe meines Lebens. (Sorry, Sandra, du natürlich auch... ;-))

Viele Grüße
Stefan


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Fr 20.06.2003
Autor: ministel

Sicher ist das kein einfacher Job, aber ich kann zumindest von meinen jetzigen Tutoren behaupten, dass sie weit unter dem Niveau meiner alten Tutoren im ersten Semester liegen - mein Ana Tutor zB bekommt es selten auf die Reihe, auch nur eine unserer Fragen zu beantworten, meistens ist es doch eher der Fall, dass einer der Studenten die Antwort weiß, oder die Frage halt ungeklärt bleibt.

Darf ich mal fragen, was ihr beide jetzt beruflich macht?

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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 Fr 20.06.2003
Autor: Stefan

Hallo ministel,

klar darfst du das fragen. :-)

Ich bin wissenschaftlicher Mitarbeiter in Bonn.

Viele Grüße
Stefan


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:41 Fr 20.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

einen "richtigen" Beruf habe ich noch nicht, da ich erst noch mein Diplom machen wollte. So finanziere ich mich zur Zeit durch freiberufliche Softwareentwicklungen (siehe []www.LOGICIEL.de, und mein vorletztes Projekt, []www.FunkyPlot.de :-)) und als "Lehrkraft" in einem Nachhilfeinstitut, insbesondere als Tutor im dortigen (professionellen, nicht so unorganisiert wie hier :-)) Schüler-Mathe-Forum;
in diesem Forum habe ich übrigens Stefan kennen und schätzen gelernt :-)

Viele Grüße,
Marc


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:13 Fr 20.06.2003
Autor: ministel

Hey ihr zwei! :-)

Sitz grad wieder an meinen Aufgaben für Montag, und jetzt plötzlich wurd ich doch etwas stutzig, dass die Aufgabe so leicht zu lösen war.
Also müsst ihr mir jetzt nur noch sagen, ob ich totalen Quatsch gemacht hab, oder obs wirklich so einfach ist, wies aussieht. ;-)

Also:

Sei f:[a,b] -> IR² eine Kurve, c = f(a), d = f(b). Zz: L(f) >/= ||d - [mm] c||_2 [/mm]

Meine Lösung:

L(f) := sup {Summe (i=1 bis N) d(f(a_(i-1)), [mm] f(a_i))}, [/mm] mit a = [mm] a_0 [/mm] < [mm] a_1 [/mm] < ... < [mm] a_N [/mm] = b (wobei das hier immer kleiner/gleichs sind)
d(x,y) = ||x - [mm] y||_2 [/mm]

Setze N = 1. => [mm] a_0 [/mm] = a, [mm] a_1 [/mm] = b.

||c - [mm] d||_2 [/mm] = [mm] d(f(a_0), f(a_1)) [/mm] </= sup {Summe (i=1 bis N) d(f(a_(i-1)), [mm] f(a_i))} [/mm] = L(f)
q.e.d.


Irgendwie kommt mir das so extrem... trivial vor.
Ist da jetzt irgendwo ein Denkfehler drin, oder war das wirklich schon alles, was ich zeigen musste? Kann mir kaum vorstellen, dass es darauf 2 von 16 Punkten geben soll.

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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Fr 20.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

da hatte ich vorhin doch glatt das Supremum übersehen.

Ich sehe da jetzt keinen logischen Fehler.

Für N=1 taucht ja genau [mm]d(f(a), f(b))[/mm] im Supremum auf, damit ist das Supremum schon mal mindestens so groß wie [mm]d(f(a), f(b))[/mm], durch Hinzunahme weiterer Elemente kann es ja nur noch größer werden.

Gruß,
Marc.


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Fr 20.06.2003
Autor: ministel

Hm, nee, ich hab mir eigentlich gedacht, dass die Bogenlänge ja das Supremum aller Unterteilungen ist. Und wenn ich N = 1 setze, hab ich ja auch ne Verfeinerung des Intervalls [a,b]. Halt genau die, wo ich dann a= [mm] a_0 [/mm] und [mm] b=a_1 [/mm] hab, also sind a und b in gewisser Weise ja schon benachbart - kommt halt einfach drauf an, wie fein ich die Unterteilung mache.
Und da genau diese Unterteilung für N = 1 auch in der Menge, von der das Supremum genommen wird, enthalten ist, ist das entweder gleichgroß oder kleiner.

Also ich mein, das hier: {Summe (i=1 bis N) d(f(a_(i-1)), [mm] f(a_i))} [/mm] ist doch nix anderes als [mm] {d(f(a_0),f(a_1)); d(f(a_0),f(a_1)) + d(f(a_1),f(a_2)); ... ; d(f(a_0),f(a_1)) + ... + d(f(a_(N-1)),f(a_N))}, [/mm] oder nicht?
Denn so hab ich mir das gedacht.

Wenn ich jetzt aber die Menge falsch aufgefasst habe, ists natürlich klar, wo der Fehler liegt. :/
Dann allerdings bräucht ich ne genauere Beschreibung der Menge. ;-)

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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:00 Fr 20.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

da warst du zu schnell, ich hatte meine Antwort schon sofort wieder zurückgezogen, um sie zu verbessern. Ich hatte da das Supremum irgendwie nicht beachtet.

Gruß,
Marc.


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:08 Fr 20.06.2003
Autor: Marc

Hallo minstel,

deine Mengenschreibweise stimmt nicht ganz, da wir ja für jedes N eine andere Unterteilung des Intervalls [a; b] erhalten, also ist z.B. [mm] a_1 [/mm] für jedes N unterschiedlich. Trotzdem ist natürlich [mm]d(f(a),f(b))[/mm] in der Menge enthalten, und darauf kommt es ja nur an.

Wovon das Supremum gebildet wird, ist mir auch nicht ganz klar, aber Sinn würde doch nur die Variation des N machen, also [mm] \sup_{N \in \mathds{N}}\limits \left\lbrace ... \right\rbrace [/mm].

Gruß,
Marc.


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 Fr 20.06.2003
Autor: ministel

Ja, dass die a's bis auf Anfangs- und Endpunkt verschieden sind, ist klar... Ich machs vielleicht jetzt lieber so, dass ich die irgendwie mit Strichen kennzeichne, wenn die Unterteilungen verschieden sind, dann ist es deutlicher.

Kann ich eigentlich, wenn ich gezeigt habe, dass [mm] d(f(a_0),f(a_1)) [/mm] = Summe (i=1 bis N) d(f(a'_(i-1)),f(a'_i)), direkt folgern, dass die Kurve dann eine Gerade ist?
Das ist nämlich der B-Teil der Aufgabe, und die Gleichheit war einfach zu zeigen, die Frage ist jetzt nur, ob ich da noch irgendwelche Zwischenschritte brauche, oder ob ich direkt schreiben kann, dass es sich dann um eine Gerade zwischen den beiden Punkten handelt...?

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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:40 Fr 20.06.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

was meinst du damit, dass die Gleichheit einfach zu zeigen war? Warum mußtest du das zeigen?

Ist das vielleicht eine Äquivalenz-Aussage gewesen [tex] $f$ eine Gerade $\Longleftrightarrow \sup_{N \in \mathds{N}}\limits \left\lbrace \sum_{i=1}^{N}\limits d(f(a_{i-1}), f(a_{i})) \right\rbrace = d(f(a),f(b))$ [/tex]? Dann vermute ich auch mal, dass dort noch ein Sup vor der Summe steht.

Die eine Richtung ("=>") hast du jetzt wohl schon gezeigt, die Rückrichtung muß (gerade im 2. Semester :-)) natürlich auch erst/noch bewiesen werden.

Gruß,
Marc


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:27 Sa 21.06.2003
Autor: Stefan

Hallo ministel,

ergänzend zu Marc noch einen Tipp:

Es gelte:

L(f) = [mm] d(f(a_0),f(a_1)). [/mm]

Wäre f keine Gerade, so gäbe es doch einen Wert a' zwischen [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1, [/mm] so dass f(a') nicht auf der Verbindungsstrecke von [mm] f(a_0) [/mm] und [mm] f(a_1) [/mm] läge. Wie war das denn noch mal mit der Dreiecksungleichung für die euklidische Norm? Wann gilt da noch mal  Gleichheit...? ;-)

Versuche es mal...

Viele Grüße
Stefan


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Bezug
Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:03 Sa 21.06.2003
Autor: ministel

Ich geb ich vorweg mal den direkten Link zu meinen Aufgaben... ist glaub ich besser, als wenn ich das hier immer nur so wischiwaschi ausm Gedächtnis aufschreibe. ;-)
Also, aktuelles AnaII-Blatt:
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/junker/ss03/ss03-ana2-uebung07.pdf
alternativ auch als ~.dvi oder ~.ps anzusehen.

Dabei gehts jetzt um Aufgabe 2b).

Was ich bisher gezeigt habe:

Seien [mm] a_0 [/mm] = a'_0 = a''_0, [mm] a_1 [/mm] = a'_2 = a''_N. Dann gilt:

L(f) = ||d - [mm] c||_2 [/mm] = ||f(b) - [mm] f(a)||_2 [/mm] = [mm] ||f(a_0) [/mm] - [mm] f(a_1)||_2 [/mm] = [mm] d(f(a_0),f(a_1)) [/mm] = sup {Summe (i=1 bis N) d(f(a'_(i-1)),f(a'_i))}
<=> [mm] d(f(a_0),f(a_1)) [/mm] >,= d(f(a'_0),f(a'_1)) + d(f(a'_1),f(a'_2)) >,= ... >,= Summe (i=1 bis N) d(f(a''_(i-1)),f(a''_i)) [*]

Aus der Dreiecksungleichung folgt:
[mm] d(f(a_0),f(a_1)) [/mm] <,= d(f(a'_0),f(a'_1)) + d(f(a'_1),f(a'_2)) <,= ... <,= Summe (i=1 bis N) d(f(a''_(i-1)),f(a''_i)) [**]

[*],[**] => [mm] d(f(a_0),f(a_1)) [/mm] = Summe (i=1 bis N) d(f(a''_(i-1)),f(a''_i)) für alle N € IN.


Und jetzt ist die Frage, ob ich direkt folgern darf, dass die Kurve eine Gerade ist, oder ob da noch irgendwelche Zwischenschritte fehlen, die ich nicht beachtet habe.

Irgendwie bin ich doch etwas verdutzt, dass ich für den Beweis keine drei Minuten gebraucht hab, und ich insgesamt für alle Aufgaben außer Nummer 3, die ich mir noch ansehen muss, wenns hochkommt ne Dreiviertelstunde gebraucht hab.
Für gewöhnlich sitz ich an den Übungsaufgaben doch immer etwas länger...

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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Sa 21.06.2003
Autor: Stefan

[Eine []geTeXte Version dieses Artikels habe ich zu Testzwecken ins Test-Forum gestellt. Marc.]

Hallo ministel,

du hast die Aufgabe leider nicht richtig gelöst.

Wie Marc dir schon geschrieben hat, hast du nur gezeigt, dass [mm] l(f)=d(f(a_0),f(a_1)) [/mm] gilt, wenn f eine Gerade ist. Das war aber gar nicht gefragt! (Denn die Richtung wäre wirklich äußerst trivial.)

Du sollst ja zeigen, dass f eine Gerade ist, wenn  l(f) = [mm] d(f(a_0),f(a_1)) [/mm] gilt, also genau die andere Richtung der Äquivalenz.

Jetzt gehst du genauso vor, wie ich dir das schon beschrieben hatte, also:

Es gelte: l(f) = [mm] d(f(a_0),f(a_1)). [/mm] Zu zeigen ist, dass f eine Gerade ist. Angenommen, f wäre keine Gerade. Dann gäbe es ein a' mit [mm] a_0 [/mm] < a' < [mm] a_1, [/mm] so dass f(a') nicht auf der Verbindungsstrecke von [mm] f(a_0) [/mm] und [mm] f(a_1) [/mm] liegt. Fassen wir [mm] f(a')-f(a_0) [/mm] und [mm] f(a_1)-f(a') [/mm] als Vektoren auf, so sind sie nicht linear abhängig. Nun gilt aber genau dann

[mm] ||x+y||_2 [/mm] = [mm] ||x||_2 [/mm] + [mm] ||y||_2 [/mm]

(also "=" in der Dreiecksungleichung),

wenn x und y linear abhängig sind. In diesem Fall gilt also:

[mm] d(f(a_0),f(a_1)) [/mm] < [mm] d(f(a_0),f(a')) [/mm] + [mm] d(f(a'),f(a_1)) [/mm] (*).

Offenbar ist dann

a = [mm] a_0 [/mm] < a' < [mm] a_1 [/mm] = b

eine Partition des Intervalls [a,b] mit

l(f) = sup(...) >= [mm] d(f(a_0),f(a')) [/mm] + [mm] d(f(a'),f(a_1)) [/mm] ,

also (wegen (*)):

l(f) > [mm] d(f(a_0),f(a_1)) [/mm] ,

ein Widerspruch. Daher muss f doch eine Gerade gwesen sein.

Frag bei Unklarheiten noch mal nach! :-)

Viele Grüße
Stefan


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Sa 21.06.2003
Autor: ministel

Hmpf. Ok, jetzt hab ichs. War mir irgendwie nicht bewusst, dass ich die falsche Richtung gezeigt hab. Aber immerhin hab ich ja den Braten gerochen, von daher... ;)

Könnt ich euch evtl. mal meine kompletten Lösungen zeigen und ihr sagt mir, obs so stimmt oder nicht? Aufgabe 3 ging nämlich schon wieder so schnell...
Wenn euch das zu viel ist, müsst ihrs nur sagen... mir kommts so vor, als würd ich euch hier total ausbeuten, weil ich immer nur frage und frage und frage, aber keine Gegenleistung erbringe. ;/

Bezug
                                                                                                                                                
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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 Sa 21.06.2003
Autor: Stefan

Liebe ministel,

natürlich darfst du alle deine Lösungen hier hereinstellen. Eine Garantie über die Richtigkeit der Lösungen können wir dir allerdings nicht bieten. Ich werde die Aufgaben gerne kontrollieren... sobald ich Zeit dafür habe. Am Wochenende ist das aber relativ schwierig für mich, schließlich muss und will ich mich auch mal um meine Verlobte kümmern. Da wir in einem Monat heiraten, bin ich derzeit am Wochenende ziemlich im Stress, u.a. muss ich morgen eine für mich mehr als lästige Hochzeitstanzvorbereitungscrashstunde ;-) hinter mich bringen. Entweder Marc kontrolliert deine Aufgaben am Wochenende oder ich tue dies dann am Montag, falls das noch reicht.

Ansonsten musst du dir über die Anzahl deiner Fragen keine Gedanken machen. Wir sind ja eine Nachhilfegemeinschaft, da hilft man sich auch ohne Gegenleistung. Wenn du diesem Forum etwas zurückgeben möchtest, hast du mehrere Möglichkeiten:

1. Dieses Forum bekannt zu machen.
2. An unserer demnächst aktualisierten Aufgabensammlung mitzuarbeiten.
3. Anderen usern dieses Forums bei ihren Problemen zu helfen.

Du musst natürlich gar nichts davon tun, wir helfen dir auch ohne Gegenleistung, aber es würde mich freuen.

Viele Grüße
Stefan


Bezug
                                                                                                                                                        
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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 Sa 21.06.2003
Autor: ministel

1. Empfehle euch natürlich überall so gut es geht!
2. Werd ich machen, sobald ich wieder in Freiburg bin (ab Montag dann). Hab noch so gut wie alle Matheklausuren aus dem Leistungskurs und auch noch weitere Materialien.
3. Sobald sich mal jemand findet, dem ich helfen kann, werd ichs natürlich tun. :)


Also, sind auch nur noch zwei Aufgaben (beide vom oben geposteten Übungszettel). :) Und zwar einmal:

3) Also gegeben war: f(x) = x*sin(1/x) für x != 0 und f(0) = 0. Zu zeigen: L(f) = oo.
Hab ich so gelöst, dass ich die Nullstellen und Extremwerte der Funktion bestimmt hab mit NST: x_0i = 2/(2i+1)*pi und ES: x_ei = 1/i*pi, wobei beides für alle i aus IN gilt. (Dass bei 0 auch ne Nullstelle ist, hab ich für meine Rechnung nicht gebraucht, von daher hab ich das einfach weggelassen...)
Dann hab ich gesagt, dass die Gesamtbogenlänge gleich die Summe aller Bogenlängen in den Intervallen mit Extrem- und Nullstellen als Anfangs- und Endpunkte ist und mittels 2(a) gefolgert, dass das größer oder gleich der Summe der Abstände der Intervallgrenzen ist.
Also formal:
L(f) = Summe (i=1 bis k-1) L(f) auf [x_ei,x_0i] + L(f) auf [x_0i,x_ei+1] >,= Summe (i=1 bis k-1) d(f(x_ei),f(x_0i)) + d(f(x_0i),f(x_ei+1)) = Summe (i=1 bis k-1) [mm] xe_i [/mm] + x_ei+1 = 1/pi Summe (i=1 bis k-1) 1/(i+1) + 1/(i+) -> oo für k->oo da harmonische Reihe.
=> L(f) = oo.
q.e.d.


Und dann hab ich noch eine Frage zu Aufgabe 4(a):
Ist das möglich, dass bei der Integration tatsächlich Null als Ergebnis rauskommt? Also nicht, nachdem ich schon das bestimmte Integral ermittelt habe, sondern bereits wenn ich die zu integrierende Funktion ermittelt hab? Bei mir steht hinter dem Integral dann nämlich -sin(phi)*cos(phi) + sin(phi)*cos(phi) d(phi). Und das dürfte ja ziemlich genau Null sein. Integriert gibt das Ganze dann ja nur ne Konstante, die ich aber nicht näher bestimmen kann...
Also was ist dann das Ergebnis? Wirklich 0 (FE)?

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 Sa 21.06.2003
Autor: ministel

Achso, und übrigens alles gute zur anstehenden Hochzeit und viel Spaß bei den Vorbereitungen! :)
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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 So 22.06.2003
Autor: Stefan

Liebe ministel!

Vielen herzlichen Dank! :-)

Stefan


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 So 22.06.2003
Autor: Stefan

Liebe ministel,

> 1. Empfehle euch natürlich überall so gut es geht!
> 2. Werd ich machen, sobald ich wieder in Freiburg bin (ab
> Montag dann). Hab noch so gut wie alle Matheklausuren aus dem
> Leistungskurs und auch noch weitere Materialien.
> 3. Sobald sich mal jemand findet, dem ich helfen kann, werd
> ichs natürlich tun. :)

Das freut mich. :-)

> 3) Also gegeben war: f(x) = x*sin(1/x) für x != 0 und f(0) = 0.
> Zu zeigen: L(f) = oo.
> Hab ich so gelöst, dass ich die Nullstellen und Extremwerte der
> Funktion bestimmt hab mit NST: x_0i = 2/(2i+1)*pi

Das sind doch nicht die Nullstellen von f... (Oder kann ich nicht mehr rechnen? ;-))

und ES: x_ei = 1/i*pi,

...und das sind nicht die Extremstellen. Verbessere das bitte unbedingt!

> wobei beides für alle i aus IN gilt. (Dass bei 0 auch
> ne Nullstelle ist, hab ich für meine Rechnung nicht gebraucht,
> von daher hab ich das einfach weggelassen...)
> Dann hab ich gesagt, dass die Gesamtbogenlänge gleich die Summe
> aller Bogenlängen in den Intervallen mit Extrem- und
> Nullstellen als Anfangs- und Endpunkte ist und mittels 2(a)
> gefolgert, dass das größer oder gleich der Summe der Abstände
> der Intervallgrenzen ist.

Das ist nicht die Aussage von 2a), schließlich stehen dort die Funktionswerte der Intervallgrenzen.

> Also formal:
> L(f) = Summe (i=1 bis k-1) L(f) auf [x_ei,x_0i] + L(f) auf
> [x_0i,x_ei+1] >,= Summe (i=1 bis k-1) d(f(x_ei),f(x_0i)) +
> d(f(x_0i),f(x_ei+1)) = Summe (i=1 bis k-1) [mm] xe_i [/mm] + x_ei+1 = 1/pi
> Summe (i=1 bis k-1) 1/(i+1) + 1/(i+) -> oo für k->oo da
> harmonische Reihe.
> => L(f) = oo.
> q.e.d.

Das Prinzip ist halbwegs okay, aber du solltest die Aufgabe noch mal versuchen. Geh mal ganz genau nach dem Tipp vor.

Sei [mm] x_i [/mm] die i-te Nullstelle, [mm] x_{i+1} [/mm] die (i+1)-te Nullstelle von f (beachte: [mm] x_{i+1} [/mm] < [mm] x_i [/mm]  !)und [mm] zeta_i [/mm] der Wert zwischen den beiden Nullstellen, für den [mm] |sin(zeta_i)| [/mm] = 1 gilt .

Dann gilt:

Bogenlänge zwischen [mm] x_i [/mm] und [mm] x_{i+1} [/mm] >= [mm] |f(x_i) [/mm] - [mm] f(zeta_i)| [/mm] + [mm] |f(zeta_i)-f(x_{i+1}| [/mm] = 2 [mm] |f(zeta_i)| [/mm] = 2 [mm] zeta_i [/mm] > 2 [mm] x_{i+1}. [/mm]

Den Rest kriegst du selber hin. Poste deine Rechnung mal zur Kontrolle,



> Und dann hab ich noch eine Frage zu Aufgabe 4(a):
> Ist das möglich, dass bei der Integration tatsächlich Null als
> Ergebnis rauskommt? Also nicht, nachdem ich schon das bestimmte
> Integral ermittelt habe, sondern bereits wenn ich die zu
> integrierende Funktion ermittelt hab? Bei mir steht hinter dem
> Integral dann nämlich -sin(phi)*cos(phi) + sin(phi)*cos(phi)
> d(phi). Und das dürfte ja ziemlich genau Null sein.

Da kommt 0 raus, richtig! Einfach nur 0, nichts mehr weiter!

> Integriert
> gibt das Ganze dann ja nur ne Konstante, die ich aber nicht
> näher bestimmen kann...

Es geht hier nicht um Stammfunktionen, sondern um Integrale. Das Ergebnis bei a) ist einfach 0. Mit Konstanten hat das nichts zu tun. Aber nicht 0 FE! Die Interpretation des Integrals als Fläche ist hier nicht so einfach. Das hängt mit dem Satz von Stokes zusammen, den ihr erst in Analysis III kennenlernen werdet.

Bei b) kommt übrigens 2pi raus.

Die Tatsache, warum einmal 0 und einmal 2pi rauskommt, kann man anschaulich deuten. Dazu braucht ihr aber ein wenig Funktionentheorie, die ihr erst in Analysis IV kennenlernen werdet. Im wesentlichen hängt das damit zusammen, dass die Funktion f(z)=z (z € C) im Einheitskreis keine Pole hat, die Funktion f(z) = 1/z dagegen einen, in z=0. Aber das werdet ihr alles noch in einem Jahr sehen...

Viele Grüße
Stefan


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Di 24.06.2003
Autor: ministel

Sorry, dass ich erst jetzt zurückschreib, habs vorher leider nicht mehr geschafft und die letzten beiden Tage war viel zu tun.

In der Beschreibung hab ich Nullstellen und Extremstellen vertauscht, hatte es aber dann auf meinem Blatt richtig aufgeschrieben.

Jedenfalls hab ichs dann nochmal so umformuliert, wie dus geschrieben hattest, und bin dann wieder zum gleichen Ergebnis gekommen. Kanns grad nicht aufschreiben, da bereits abgegeben, aber Donnerstag bekomm ich den Zettel wieder, dann erstatte ich Bericht, wieviele Punkte es geworden sind. ;)

Also danke nochmal!

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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:04 Do 26.06.2003
Autor: Stefan

Liebe ministel,

> aber Donnerstag bekomm ich den Zettel wieder, dann erstatte ich
> Bericht, wieviele Punkte es geworden sind. ;-)

Und? Wieviel sind es geworden?

Vielen Dank für deine Rückmeldung!

> Also danke nochmal!

Nichts zu danken! Bis zur nächsten Frage...

Liebe Grüße
Stefan


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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Fr 27.06.2003
Autor: ministel

16/16, ihr seid genial! :-)
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Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Fr 27.06.2003
Autor: Stefan

Liebe ministel!

100% der Punkte: Okay, damit kann man leben... ;-)

Falls du zum neuen Zettel Fragen hast, solltest du die heute stellen. Ich habe am Wochenende kaum Zeit zum Antworten.

Alles Gute
Stefan


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