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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mi 29.09.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
ich habe folgenden Ortsvektor:
[mm] \vec r=\vektor{t*cos(2\pi*t) \\ t*sin(2\pi*t)\\t}
[/mm]
Zuerst benötige ich ja den Tangentenvektor:
[mm] \dot r=\vektor{cos(2\pi*t)-t*2\pi*sin(2\pi*t) \\ sin(2\pi*t)+t*2\pi*cos(2\pi*t)\\1}
[/mm]
Dann den Betrag von [mm] \dot [/mm] r:
(a) [mm] \left| \dot r \right|=\wurzel{(cos(2\pi*t)-t*2\pi*sin(2\pi*t))^2+(sin(2\pi*t)+t*2\pi*cos(2\pi*t))^2+1}
[/mm]
(b) [mm] \left| \dot r \right|=\wurzel{cos^2(2\pi*t)-4t\pi*cos(2\pi*t)*sin(2\pi*t)+t^2*4\pi*sin^2(2\pi*t)+sin^2(2\pi*t)+4\pi*t*sin(2\pi*t)*cos(2\pi*t)+t^2*4\pi*cos^2(2\pi*t)+1} [/mm] |
Soweit ich weiß, ist
[mm] cos^2(x) +sin^2(x) [/mm] = 1
aber irgendwie hilft mir das auch nicht weiter. Hab ich das bis hierher überhaupt richtig gemacht?
Wenn ich nämlich weiter rechne , komme ich zu keinem vernünftigen Ergebniss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 29.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> ich habe folgenden Ortsvektor:
> [mm]\vec r=\vektor{t*cos(2\pi*t) \\ t*sin(2\pi*t)\\t}[/mm]
>
> Zuerst benötige ich ja den Tangentenvektor:
> [mm]\dot r=\vektor{cos(2\pi*t)-t*2\pi*sin(2\pi*t) \\ sin(2\pi*t)+t*2\pi*cos(2\pi*t)\\1}[/mm]
>
> Dann den Betrag von [mm]\dot[/mm] r:
> (a) [mm]\left| \dot r \right|=\wurzel{(cos(2\pi*t)-t*2\pi*sin(2\pi*t))^2+(sin(2\pi*t)+t*2\pi*cos(2\pi*t))^2+1}[/mm]
>
> (b) [mm]\left| \dot r \right|=\wurzel{cos^2(2\pi*t)-4t\pi*cos(2\pi*t)*sin(2\pi*t)+t^2*4\pi*sin^2(2\pi*t)+sin^2(2\pi*t)+4\pi*t*sin(2\pi*t)*cos(2\pi*t)+t^2*4\pi*cos^2(2\pi*t)+1}[/mm]
>
> Soweit ich weiß, ist
> [mm]cos^2(x) +sin^2(x)[/mm] = 1
So ist es .
>
> aber irgendwie hilft mir das auch nicht weiter
natürlich hilft das weiter. Das kannst Du oben sogar 2 mal einbringen !
> . Hab ich das
> bis hierher überhaupt richtig gemacht?
Ja
Beachte noch: der Summand [mm] 4\pi*t*sin(2\pi*t)*cos(2\pi*t) [/mm] hebt sich weg. Genau hinschauen.
FRED
> Wenn ich nämlich weiter rechne , komme ich zu keinem
> vernünftigen Ergebniss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mi 29.09.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Ok, das hab ich ja geschickt übersehen.
Dann sieht das ganze also folgendermaßen aus:
[mm] \left| \dot r \right|=\wurzel{4\pi^2*t^2+2}
[/mm]
Dann wäre die Bogenlänge
[mm] s=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{4\pi^2\cdot{}t^2+2} dt} [/mm] |
Ok, wenn das Integral richtig ist, kann ich das nicht so einfach lösen.
Ich wüsste nicht mal mit was ich substituieren sollte.
Kann mir jemand einen Tipp geben ?
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Hallo nochmal,
es muss nach wie vor [mm] $\pi^{\red{2}}$ [/mm] unter der wurzel lauten!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Mi 29.09.2010 | | Autor: | marc1001 |
Ich habe es korrigiert!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Immer wenn du etwas, was ca. wie [mm] \sqrt{x^2+1} [/mm] aussieht, integrieren sollst, dann bietet sich die Substitution x(t):=sinh(t) an, wegen [mm] cosh^2(t)-sinh^2(t)=1 \gdw sinh^2(t)+1=cosh^2(t).
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mi 29.09.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Danke für den Hinweis. Würde ich von allein nie drauf kommen.
Also substituiere ich t mit sinh(u)
t=sinh(u)
dt/du = cosh(u)
dt=cosh(u)*du
somit
[mm] \integral{\wurzel{2\pi^2*sinh^2(u) +1}}*cosh(u)*du ->\integral{\wurzel{2\pi^2*cosh^2(u)}}*cosh(u)*du
[/mm]
[mm] \integral{2\pi*cosh^2(u)du}0 [/mm] = 1/2pi(u+sinh(u)cosh(u)+C) |
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marc!
Nein, das stimmt nicht. Du musst hier etwas anders substituieren:
[mm]t \ = \ \bruch{1}{2\pi}*\sinh(u)[/mm]
Anderenfalls klappt es auch nicht mit dem Zusammanfassen unter Wurzel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 07.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
Leider habe ich immer noch Probleme mit dem verdammten Integral.
Ich substituiere also
[mm] t=\bruch{1}{2*\pi}*sinh(u)
[/mm]
[mm] \bruch{dt}{du}=\bruch{1}{2*\pi}*cosh(u)
[/mm]
[mm] dt=\bruch{1}{2*\pi}*cosh(u)*du
[/mm]
somit dann:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{4*\pi^2(\bruch{1}{2*\pi}*sinh(u))^2+2}}dt
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{4*\pi^2(\bruch{1}{2*\pi}*sinh(u))^2+2}}*\bruch{1}{2*\pi}cosh(u)
[/mm]
Soweit in Ordnung???
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Hallo nochmal,
wenn ich richtig sehe, ging es ja um das Integral [mm]\int\limits_0^{2\pi}{\sqrt{4\pi^2t^2+2} \ dt}[/mm]
Hier solltest du erstmal unter der Wurzel 2 ausklammern und es als [mm]\sqrt{2}[/mm] rausziehen und vor das Integral schreiben: (ich schreib's ab jetzt ohne Grenzen!)
[mm]\ldots=\sqrt{2}\cdot{}\int{\sqrt{\blue{2\pi^2t^2}+1} \ \green{dt}}[/mm]
Und hier nun [mm]t:=\frac{1}{\red{\sqrt{2}}\pi}\cdot{}\sinh(u)[/mm] substituieren:
Damit [mm]\sinh(u)=\sqrt{2}\pi t[/mm], also [mm]\blue{\sinh^2(u)=2\pi^2t^2}[/mm]
Außerdem [mm]\frac{dt}{du}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi}\cdot{}\cosh(u)[/mm], also [mm]\green{dt=\frac{1}{\sqrt{2}\pi}\cdot{}\cosh(u) \ du}[/mm]
Nun alles im Integral ersetzen:
[mm]\ldots=\sqrt{2}\cdot{}\int{\sqrt{\blue{\sinh^2(u)}+1}\cdot{}\green{\frac{1}{\sqrt{2}\pi}\cosh(u) \ du}}[/mm]
[mm]=\frac{1}{\pi}\cdot{}\int{\sqrt{\sinh^2(u)+1}\cdot{}\cosh(u) \ du}[/mm]
Nun benutze den Zusammenhang [mm]\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1[/mm], also [mm]\sinh^2(z)+1=\cosh^2(z)[/mm] und [mm]\sinh'(z)=\cosh(z)[/mm] sowie [mm]\cosh'(z)=\sinh(z)[/mm]
Für das entstehende Integral sollte partielle Integration ganz nützlich sein ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
zusätzlich:
beachte deinen Fehler bei der Berechung der binomischen Formel:
[mm](t2\pi \sin(2\pi t))^2=t^24\pi^{\red{2}}\sin^2(2\pi t)[/mm]
Genauso im anderen Term!
Gruß
schachuzipus
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