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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Sa 18.12.2010 | | Autor: | christi |
| Aufgabe | | Sei [mm] \alpha:[a,b]\to \IR^n [/mm] ein stetiger Weg und [mm] (t_0,...,t_m) [/mm] eine Zerlegung Z von [a,b]. Zeigen Sie, dass [mm] \alpha [/mm] genau dann rektifizierbar, wenn [mm] \alpha [/mm] auf [mm] [t_{i-1},t_i] [/mm] rektifizierbar ist und dass dann gilt: [mm] L(\alpha)=\summe_{i=1}^{m}L(\alpha|_{[t_{i-1},t_i]})dt [/mm] |
Hallo!!
Die Aufgabe ist eigentlich nicht so schwer, aber ich habe Probleme mit dem sauberen Aufschreiben des Beweises.
Wäre nett wenn mir jemand helfen würde:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Es gilt: [mm] \alpha [/mm] ist rektifizierbar, dann nach Definition gilt:
[mm] L(\alpha)=\summe_{i=1}^{m}|\alpha(t_i)-\alpha(t_{i-1})|<\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für jedes i=0,...,m [mm] 0\le|\alpha(t_i)-\alpha(t_{i-1})|=|\int_{t_{i-1}}^{t_i}\alpha'(t)dt|\le\int_{t_{i-1}}^{t_i}|\alpha'(t)|dt<\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha|_{[t_{i-1},t_i]} [/mm] rektifizierbar.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Es gilt: [mm] \alpha|_{[t_{i-1},t_i]} [/mm] rektifizierbar.
[mm] \Rightarrow [/mm] es exisitiert eine Zerlegung Z(i) [mm] {t_{i-1}}=s^i_0
[mm] L(\alpha|_{[t_{i-1},t_i]})=\summe_{k=1}^n|\alpha(s^i_k)-\alpha(s_{k-1}^i)|<\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow L(\alpha)=\summe_{i=1}^m\summe_{k=1}^n|\alpha(s^i_k)-\alpha(s_{k-1}^i)| [/mm] müsste auch beschränkt sein, aber ich kann keine vernünftige Argumentation finden, die das einwandfrei untermauert.
Kann mir jemand dabei helfen?
Vielen Dank
Beste Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Sa 18.12.2010 | | Autor: | christi |
Kann mir denn keiner helfen?
Bitte ich brauche drigend Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 So 19.12.2010 | | Autor: | fred97 |
1. So wie Du begonnen hast kannst Du es nicht machen, denn [mm] \alpha [/mm] ist nur als stetig vorausgesetzt. Nirgendwo steht, dass [mm] \alpha [/mm] differenzierbar ist.
2. Es genügt, den Beweis für m=2 zu führen, also [mm] t_0=a
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 19.12.2010 | | Autor: | christi |
Hallo, Fred!!
Vielen Dank für deine Antwort!!!
> 1. So wie Du begonnen hast kannst Du es nicht machen, denn
> [mm]\alpha[/mm] ist nur als stetig vorausgesetzt. Nirgendwo steht,
> dass [mm]\alpha[/mm] differenzierbar ist.
Für die Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] ist Vorausgesetzt, dass [mm] \alpha [/mm] rektifizierbar ist. Heißt das nicht, dass [mm] \alpha [/mm] somit differenzierbar sein sollte?
> 2. Es genügt, den Beweis für m=2 zu führen, also [mm]t_0=a
Vielen Dank noch mal
Beste grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:10 Mo 20.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, Fred!!
> Vielen Dank für deine Antwort!!!
> > 1. So wie Du begonnen hast kannst Du es nicht machen,
> denn
> > [mm]\alpha[/mm] ist nur als stetig vorausgesetzt. Nirgendwo steht,
> > dass [mm]\alpha[/mm] differenzierbar ist.
> Für die Richtung [mm]"\Rightarrow"[/mm] ist Vorausgesetzt, dass
> [mm]\alpha[/mm] rektifizierbar ist. Heißt das nicht, dass [mm]\alpha[/mm]
> somit differenzierbar sein sollte?
Quatsch ! Jeder Weg mit monotonen Komponenten ist rektifizierbar. Wenn Du mit Deiner Meinung richtig liegen würdest, so wäre jede monotone Funktion differenzierbar.
Das ist aber nicht so.
FRED
>
> > 2. Es genügt, den Beweis für m=2 zu führen, also [mm]t_0=a
>
> Vielen Dank noch mal
> Beste grüße
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:00 Mo 20.12.2010 | | Autor: | christi |
Hallo, FRED!!
Danke für deine Antwort!!
> Quatsch ! Jeder Weg mit monotonen Komponenten ist
> rektifizierbar. Wenn Du mit Deiner Meinung richtig liegen
> würdest, so wäre jede monotone Funktion differenzierbar.
Ja du hast recht das habe ich auch gerade nachgelesen.
Könntest du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich den Beweis machen könnte?
Besten Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 22.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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