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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Bogenlänge und Fläche des Zykloiden im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] gegeben durch die Gleichungen y(t)=a*(1-cos(t)) und x(t)=a*(t-sin(t)) gegeben sind durch 8a und [mm] 3\pi*a^2. [/mm] Zeigen Sie weiterhin, dass die Oberfläche bei einer kompletten Rotation um die x-Achse [mm] \bruch{64*\pi*a^2}{3} [/mm] ist. |
Hallo,
also ich habe ein problem mit der Oberflächenberechnung. Da es sich hier um eine Parameterdarstellung handelt, bin ich mir nicht ganz sicher, wie das funktioniert. Wir haben dafür im Skript keine Formel gegeben. Ich würde es so machen:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2*\pi*y*ds}=\integral_{0}^{2\pi}{2*\pi*y(t)*\wurzel{\left(\bruch{dx}{dt}\right)^2+\left(\bruch{dy}{dt}\right)^2} dt}
[/mm]
Ist das schonmal korrekt ? Wie würde das aussehen bei einer Rotation um die y-Achse ?
Dann einsetzen:
[mm] 2*\pi*a\integral_{0}^{2\pi}{(1-cos(t))*\wurzel{a^2*(1-cos(t))^2+a^2*sin^2(t)} dt} [/mm] .
Ist das okay ?
Mein Professor hat dort in der Lösung folgendes stehen:
[mm] \integral{2\pi*y*ds}=\integral_{0}^{2\pi}{2\pi*a*(1-cos(t))*2*a*sin\left(\bruch{1}{2}t\right) dt}
[/mm]
Wie kommt er darauf ? Benutze ich einen falschen Ansatz ? Oder kann man mein fieses Integral da oben auf die Form bringen ?
Wäre super, wenn mal jemand drüber schauen kann.
Lg
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Hallo MontBlanc,
> Zeigen Sie, dass die Bogenlänge und Fläche des Zykloiden
> im Intervall [mm][0;2\pi][/mm] gegeben durch die Gleichungen
> y(t)=a*(1-cos(t)) und x(t)=a*(t-sin(t)) gegeben sind durch
> 8a und [mm]3\pi*a^2.[/mm] Zeigen Sie weiterhin, dass die Oberfläche
> bei einer kompletten Rotation um die x-Achse
> [mm]\bruch{64*\pi*a^2}{3}[/mm] ist.
> Hallo,
>
> also ich habe ein problem mit der Oberflächenberechnung.
> Da es sich hier um eine Parameterdarstellung handelt, bin
> ich mir nicht ganz sicher, wie das funktioniert. Wir haben
> dafür im Skript keine Formel gegeben. Ich würde es so
> machen:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{2*\pi*y*ds}=\integral_{0}^{2\pi}{2*\pi*y(t)*\wurzel{\left(\bruch{dx}{dt}\right)^2+\left(\bruch{dy}{dt}\right)^2} dt}[/mm]
>
> Ist das schonmal korrekt ? Wie würde das aussehen bei
Ja.
> einer Rotation um die y-Achse ?
Entsprechend dann so:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{2*\pi*x*ds}=\integral_{0}^{2\pi}{2*\pi*x(t)*\wurzel{\left(\bruch{dx}{dt}\right)^2+\left(\bruch{dy}{dt}\right)^2} dt}[/mm]
>
>
> Dann einsetzen:
>
> [mm]2*\pi*a\integral_{0}^{2\pi}{(1-cos(t))*\wurzel{a^2*(1-cos(t))^2+a^2*sin^2(t)} dt}[/mm]
> .
>
> Ist das okay ?
Ja.
>
> Mein Professor hat dort in der Lösung folgendes stehen:
>
> [mm]\integral{2\pi*y*ds}=\integral_{0}^{2\pi}{2\pi*a*(1-cos(t))*2*a*sin\left(\bruch{1}{2}t\right) dt}[/mm]
>
> Wie kommt er darauf ? Benutze ich einen falschen Ansatz ?
> Oder kann man mein fieses Integral da oben auf die Form
> bringen ?
Letzteres ist hier der Fall.
Dein Prof hat hier das Additionstheorem
[mm]\sin^{2}\left(v\right)=\bruch{1-\cos\left(2v\right)}{2}[/mm]
verwendet.
>
> Wäre super, wenn mal jemand drüber schauen kann.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 So 16.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
danke Dir ! Hab es hinbekommen.
Lg
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