Bogenlänge ( Substitution ) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne die Bogenlänge :
Funktion: y=x² im Integral [0;2]
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Ich habe nun wie folgt weiter gerechnet.
Die Ableitung von y=x² lautet f'(x)=2x
Dies wird hier eingesetzt:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1+[f'(x)]^2}dx} [/mm] $
Somit erhalte ich:
$ [mm] \integral_{0}^{2}{\wurzel{1+[f'(2x)]^2}dx} [/mm] $
was ausmultipliziert dies ergibt:
$ [mm] \integral_{0}^{2}{\wurzel{1+4x²}dx} [/mm] $
Nun weiß ich allerdings nicht mehr weiter. Aus Recherchen sollte nun die Substitution angewendet werden. Leider komme ich damit nicht zurecht. Möge mir bitte jemand einen Folgeschritt zeigen oder einen Link posten, der dies anschaulich erklären könnte?
Ich habe Suchfunktion verwendet, aber oft habe ich nichts davon verstanden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
Hollumaster
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Danke für die genaue Antwort.
Allerdings ist das für meinen Leistungsstand etwas hoch, da ich das Thema Analysis vor einem Jahr hatte. Meine Frage nach der Bogenlänge bezieht sich nämlich auf mein Präsentationsthema im Mathe ABI. Die Bogenlänge wurde im Unterricht leider nicht behandelt.
Daher versuche ich mir die Funktionsweise und die einzelnen Schritte herzuleiten, was bei solchen Formeln schwierig werden könnte.
Vielleicht war die Funktion y=x² zu schwierig, was mir so vorkommt.
Die Funktion y=3x+2 im Integral [1;4] konnte ich ohne Substitution berechnen.
Um ehrlich zu sein, habe ich keine Ahnung, wie ich mit der Rekursionsformel umzugehen habe. So etwas habe ich noch nie gesehen!
Zuerst bin ich wie folgt an die Aufgabe ( y=x²) heran gegangen:
[mm] \wurzel{1+4*2^2} [/mm] - [mm] \wurzel{1+4*0^2}= [/mm] 4,123
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Leider muss ich zwei mal schreiben, da ich sonst keinen anderen Weg kenne.
Ich bin weiterhin mit diesem Thema völlig überfordert.
Ich weiß, dass man die Funktion y=x² ableiten muss und dies in die Bogenlängenformel einsetzen muss. f'(x) wird quadriert und anschließend wird integriert.
Allerdings bereitet mir das integrieren sehr große Schwierikeiten.
Bis dorthin habe ich es noch verstanden:
$ [mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{z²+1} dz} [/mm] $
jedoch sind mir die folgenden Schritte unklar.
MfG
Hollumaster
Könnte man diese Stammfunktionsformel verwenden:
f(x)=
[mm] \sqrt{a^2 + x^2}
[/mm]
F(x)=
[mm] \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2} [/mm] + [mm] \frac{a^2}{2} \ln \left(x + \sqrt{a^2 + x^2} \right)[/mm]
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Hallo hollumaster,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Leider muss ich zwei mal schreiben, da ich sonst keinen
> anderen Weg kenne.
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> Ich bin weiterhin mit diesem Thema völlig überfordert.
>
> Ich weiß, dass man die Funktion y=x² ableiten muss und dies
> in die Bogenlängenformel einsetzen muss. f'(x) wird
> quadriert und anschließend wird integriert.
>
> Allerdings bereitet mir das integrieren sehr große
> Schwierikeiten.
>
> Bis dorthin habe ich es noch verstanden:
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{z²+1} dz}[/mm]
>
> jedoch sind mir die folgenden Schritte unklar.
Substituiere hier: [mm]z=\sinh\left(t\right) \Rightarrow dx = \cosh\left(t\right) \ dt [/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{z²+1} \ dz}= \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{\sinh^{2}\left(t\right)+1} \ \cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{ \cosh^{2}\left(t\right) \ dt}=\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{ \cosh\left(t\right) * \cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
Und dieses Integral kannst Du jetzt mit Hilfe der partiellen Integration lösen.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia - Partielle Integration
>
> MfG
> Hollumaster
>
> Könnte man diese Stammfunktionsformel verwenden:
>
> f(x)=
>
> [mm]\sqrt{a^2 + x^2}[/mm]
>
> F(x)=
>
> [mm]\frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2}[/mm] + [mm]\frac{a^2}{2} \ln \left(x + \sqrt{a^2 + x^2} \right)[/mm]
>
Ja, diese Formel kann man verwenden.
Gruß
MathePower
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Danke für den Tipp!
Jetzt ist ja die Funktion
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{ \cosh\left(t\right) \cdot{} \cosh\left(t\right) \ dt} [/mm]
gegeben.
1. cosh (t) = u
2. cosh (t) = v
Ableitung von cosh(t)=sinh(t)
Nach der partiellen Integrationsregel lautet die Funktion:
[mm] \Rightarrow cosh(t)*cosh(t)-\integral_{0}^{2}sinh(t)*cosh(t)dt
[/mm]
Ist das so korrekt ?
Wie setze ich aber nun meine Integrale [0;2] ein ?
Wie kann ich in meinen Taschenrechner: casio fx-85MS --> cosh bzw sinh eintippen ?
Gruß Hollumaster
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Hallo hollumaster,
> Danke für den Tipp!
>
> Jetzt ist ja die Funktion
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{ \cosh\left(t\right) \cdot{} \cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
>
> gegeben.
>
> 1. cosh (t) = u
> 2. cosh (t) = v
>
> Ableitung von cosh(t)=sinh(t)
>
> Nach der partiellen Integrationsregel lautet die Funktion:
>
> [mm]\Rightarrow cosh(t)*cosh(t)-\integral_{0}^{2}sinh(t)*cosh(t)dt[/mm]
>
> Ist das so korrekt ?
>
> Wie setze ich aber nun meine Integrale [0;2] ein ?
Da wir hier mehrfach subsituiert haben ändern sich auch die Grenzen:
[mm]z_{1}=2x_{1}[/mm] bzw. [mm]z_{2}=2x_{2}[/mm]
Desweiteren:
[mm]t_{1}=arsinh{z_{1}}[/mm] bzw. [mm]t_{2}=arsinh{z_{2}}[/mm]
> Wie kann ich in meinen Taschenrechner: casio fx-85MS -->
> cosh bzw sinh eintippen ?
Da muss es doch eine Taste "hyp" geben.
Wenn ich den sinh(1) will, dann muß ich in meinen TR eingeben: "1 hyp sin"
Wenn ich den arsinh(3) will, dann tippe ich "3 SHIFT hyp sin"
>
> Gruß Hollumaster
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
ich habe eine weitere Frage :
Du hast mir geschrieben, dass die Formel für die partielle Integration folgende ist :
$ u(x) [mm] \cdot{} [/mm] v(x) - [mm] \int [/mm] u'(x) [mm] \cdot{} [/mm] v(x) dx $
Ein Freund hat mir jedoch erklärt, dass sie wie folgt aussehen müsste :
$ [mm] \int [/mm] u(x) [mm] \cdot{} [/mm] v'(x) dx = u(x) [mm] \cdot{} [/mm] v(x) - [mm] \int [/mm] u'(x) [mm] \cdot{} [/mm] v(x) dx $
Dabei ist uns aufgefallen, dass man nochmals die partielle Integrationsformel anwenden muss.
Ich bin bis zu diesem Punkt gekommen :
$ [mm] \integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} [/mm] cosh(t) [mm] \cdot{} [/mm] sinh(t){dt} = cosh(t) [mm] \cdot{} [/mm] cosh(t) - [mm] \integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} [/mm] sinh(t) [mm] \cdot{} [/mm] cosh(t) {dt} $
Könntest du mir einen möglichen Folgeschritt erleutern ?
MfG
Hollumaster
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Hallo,
> Hallo MathePower,
>
> ich habe eine weitere Frage :
>
> Du hast mir geschrieben, dass die Formel für die partielle
> Integration folgende ist :
>
> [mm]u(x) \cdot{} v(x) - \int u'(x) \cdot{} v(x) dx[/mm]
>
> Ein Freund hat mir jedoch erklärt, dass sie wie folgt
> aussehen müsste :
>
> [mm]\int u(x) \cdot{} v'(x) dx = u(x) \cdot{} v(x) - \int u'(x) \cdot{} v(x) dx[/mm]
>
> Dabei ist uns aufgefallen, dass man nochmals die partielle
> Integrationsformel anwenden muss.
>
> Ich bin bis zu diesem Punkt gekommen :
>
> [mm]\integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} cosh(t) \cdot{} sinh(t){dt} = cosh(t) \cdot{} cosh(t) - \integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} sinh(t) \cdot{} cosh(t) {dt}[/mm]
>
>
> Könntest du mir einen möglichen Folgeschritt erleutern ?
>
> MfG
>
> Hollumaster
Der Folgeschritt wäre, dass Du auf beiden Seiten der Gleichung das letzte Integral addierst:
[mm]\integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} cosh(t) \cdot{} sinh(t){dt} = \left[cosh(t) \cdot{} cosh(t)\right]_{arcsinh0}^{arcsinh4} - \integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} sinh(t) \cdot{} cosh(t) {dt}[/mm]
[mm]2*\integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} cosh(t) \cdot{} sinh(t){dt} = \left[cosh(t) \cdot{} cosh(t)\right]_{arcsinh0}^{arcsinh4} [/mm]
[mm]\integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} cosh(t) \cdot{} sinh(t){dt} = \bruch{1}{2}* \left[cosh^2(t)\right]_{arcsinh0}^{arcsinh4}[/mm]
LG, Martinius
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Hallo,
würde sich hier nicht das Problem ergeben, wenn man die Integrale nun lösen würde, dass hierbei :
$ [mm] \integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} [/mm] cosh(t) [mm] \cdot{} [/mm] sinh(t){dt} = [mm] \bruch{1}{2}\cdot{} \left[cosh^2(t)\right]_{arcsinh0}^{arcsinh4} [/mm] $
4,1231*0 = 1,616155
[mm] \Rightarrow [/mm] 1,616155 das Ergebnis ist ?!
MfG
Hollumaster
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Hallo hollumaster,
> Hallo,
>
> würde sich hier nicht das Problem ergeben, wenn man die
> Integrale nun lösen würde, dass hierbei :
>
> [mm]\integral_{arcsinh0}^{arcsinh4} cosh(t) \cdot{} sinh(t){dt} = \bruch{1}{2}\cdot{} \left[cosh^2(t)\right]_{arcsinh0}^{arcsinh4}[/mm]
>
> 4,1231*0 = 1,616155
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1,616155 das Ergebnis ist ?!
Meines Wissens war doch
[mm]\bruch{1}{2}\integral_{arsinh\left(0\right)}^{arsinh\left(4\right)}{\cosh \eft(t\right)*\cosh \eft(t\right) dt}[/mm]
zu berechnen.
>
> MfG
> Hollumaster
Gruß
MathePower
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An Mathe Power :
Du hast mit folgenden Lösungshinweis in deiner 1. Antwort gegeben :
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{arsinh\left(0\right)}^{arsinh\left(4\right)}{ \cosh\left(t\right) \cdot{} \cosh\left(t\right) \ dt} [/mm]
damit sollte ich mit der partiellen Integration weiterrechnen.
Danach habe ich folgende Formel angewendet :
$ [mm] \int [/mm] u(x) [mm] \cdot{} [/mm] v'(x) dx = u(x) [mm] \cdot{} [/mm] v(x) - [mm] \int [/mm] u'(x) [mm] \cdot{} [/mm] v(x) dx $
und daraus hat sich meine weitere Frage entwickelt. Verstanden was ich gemeint habe ?
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Hallo hollumaster,
> An Mathe Power
>
> Du hast mit folgenden Lösungshinweis in deiner 1. Antwort
> gegeben :
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{arsinh\left(0\right)}^{arsinh\left(4\right)}{ \cosh\left(t\right) \cdot{} \cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
>
> damit sollte ich mit der partiellen Integration
> weiterrechnen.
>
> Danach habe ich folgende Formel angewendet :
>
> [mm]\int u(x) \cdot{} v'(x) dx = u(x) \cdot{} v(x) - \int u'(x) \cdot{} v(x) dx[/mm]
Da [mm]u\left(t\right)=v'\left(t\right)=\cosh\left(t\right)[/mm] ist
[mm]u'\left(t)=\sinh\left(t\right)=v\left(t\right)[/mm]
Demnach [mm]u'\left(t\right)*v\left(t\right)=\sinh^{2}\left(t\right)[/mm]
Daher ergibt sich:
[mm]\integral_{arsinh\left(0\right)}^{arsinh\left(4\right)}{ \cosh\left(t\right) \cdot{} \cosh\left(t\right) \ dt}=\left[\sinh(\left(t\right)*\cosh\left(t\right)\right]_{arsinh\left(0\right)}^{arsinh\left(4\right)}-\integral_{arsinh\left(0\right)}^{arsinh\left(4\right)}{ \sinh\left(t\right) \cdot{} \sinh\left(t\right) \ dt}[/mm]
>
>
> und daraus hat sich meine weitere Frage entwickelt.
> Verstanden was ich gemeint habe ?
Gruß
MathePower
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Mathe Power, ich glaube ich blicke da nicht mehr durch :(
Ich verstehe nicht, wieso nun sinh und cosh teilweise vertauscht wurden.
Setze ich nun die Integrale in deine umgeformte Formel ein, erhalte ich :
4,1231 = 4*1 - 0
--> 4,1231 = 4
Mehr fällt mir dazu nicht ein, außer, dass das Endergebnis, laut eines Mathebuches, eigentlich 4,64 sein müsste.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wäre es möglich, dass du mir die letzten Folgeschritte erleutern könntest ?
MfG
Hollumaster
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo hollumaster,
ich schreib's dir noch einmal auf:
[mm] $y=x^2$ [/mm] ; Bogenlänge auf [0;2]
$y'=2x$
$s = [mm] \integral_{0}^{2}\wurzel{1+(2x)^2}\;dx$
[/mm]
$s = [mm] \integral_{0}^{2}\wurzel{1+4x^2}\;dx$
[/mm]
Substitution z=2x ; dx = [mm] \bruch{1}{2}z
[/mm]
$s = [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{4}\wurzel{1+z^2}\;dz$
[/mm]
Substitution z=sinh(t) ; dz = cosh(t)dt
$s = [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{arsinh(4)}\wurzel{1+sinh^2(t)}*cosh(t)\;dt$
[/mm]
$s = [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt$
[/mm]
Nun partiell integrieren:
$s = [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)*cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}-\bruch{1}{2}\integral sinh^2(t)\;dt$
[/mm]
[mm] $s=\bruch{1}{2}*\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)*cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}-\bruch{1}{2}\integral_{0}^{arsinh(4)} cosh^2(t)-1\;dt$
[/mm]
Auf beiden Seiten der Gleichung das Integral mit dem halben cosh(t) addieren
[mm] $2*s=\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)*cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{arsinh(4)} 1\;dt$
[/mm]
[mm] $s=\bruch{1}{2}*\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{4}[sinh(t)*cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}+\bruch{1}{4} \integral_{0}^{arsinh(4)}1\;dt$
[/mm]
[mm] $s=\bruch{1}{2}*\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{4}\left[sinh(t)*cosh(t)+t\right]_{0}^{arsinh(4)}$
[/mm]
Wenn Du nun deinen TR ins Bogenmaß schaltest und das bestimmte Integral ausrechnest, müsstest Du auf
s = 4,6467 kommen.
LG, Martinius
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Vielen Dank Martinius !! Ich muss mir nochmal von einem Freund zeigen lassen, wie man die Ergebnisse richtig in den Taschenrechner eintippt, da ich leider nicht auf dein Endergebnis komme. Wie ich sinh bzw arcsinh eintippe weiß ich bereits.
Könntest du mir bitte nochmal erleutern, wie man von dieser Ursprungsformel der partiellen Integration :
$ [mm] \int_{a}^{b} [/mm] u(x) [mm] \cdot{} [/mm] v'(x) dx = u(x) [mm] \cdot{} [/mm] v(x) - [mm] \int_{a}^{b}u'(x) \cdot{} [/mm] v(x) dx $
Auf deine Anwendung kommt, speziell der Teil nach dem " 2. = " :
$ s = [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)\cdot{}cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}-\bruch{1}{2}\integral sinh^2(t)\;dt [/mm] $
Desweiteren wäre es für mein Verständnis von großem Vorteil, wenn du mir erklären könntest, wieso sich in den nächsten Schritten die Vorzeichen umgedreht haben.
Muss dieses Forum nebenbei nochmal meinen großen Lob aussprechen!! Habe euch bereits weiter empfholen !!
MfG
Hollu
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Hallo hollumaster,
> Vielen Dank Martinius !! Ich muss mir nochmal von einem
> Freund zeigen lassen, wie man die Ergebnisse richtig in den
> Taschenrechner eintippt, da ich leider nicht auf dein
> Endergebnis komme. Wie ich sinh bzw arcsinh eintippe weiß
> ich bereits.
>
> Könntest du mir bitte nochmal erleutern, wie man von dieser
> Ursprungsformel der partiellen Integration :
>
> [mm]\int_{a}^{b} u(x) \cdot{} v'(x) dx = u(x) \cdot{} v(x) - \int_{a}^{b}u'(x) \cdot{} v(x) dx[/mm]
>
> Auf deine Anwendung kommt, speziell der Teil nach dem " 2.
> = " :
>
> [mm]s = \bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)\cdot{}cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}-\bruch{1}{2}\integral sinh^2(t)\;dt[/mm]
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> Desweiteren wäre es für mein Verständnis von großem
> Vorteil, wenn du mir erklären könntest, wieso sich in den
> nächsten Schritten die Vorzeichen umgedreht haben.
>
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>
> Muss dieses Forum nebenbei nochmal meinen großen Lob
> aussprechen!! Habe euch bereits weiter empfholen !!
>
> MfG
> Hollu
[mm]s = \bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)\cdot{}cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}-\bruch{1}{2}\integral _{0}^{arsinh(4)}sinh^2(t)\;dt[/mm]
Also, auf das letzte Integral wenden wir den "hyperbolischen Pythagoras" an, welcher da lautet:
[mm] $cosh^2(t)-sinh^2(t)=1$ [/mm] also [mm] $sinh^2(t)=cosh^2(t)-1$
[/mm]
[mm]s = \bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)\cdot{}cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}-\bruch{1}{2}\integral _{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)-1\;dt[/mm]
Jetzt wird auf beiden Seiten das halbe [mm] cosh^2(t)-Integral [/mm] addiert:
[mm]2*s = \integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)\cdot{}cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}-\bruch{1}{2}\integral _{0}^{arsinh(4)}-1\;dt[/mm]
Jetzt die Vorzeichenänderung beim letzten Integral (Minus mal Minus gleich plus):
[mm]2*s = \integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)\cdot{}cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}+\bruch{1}{2}\integral _{0}^{arsinh(4)}1\;dt[/mm]
Dann kann man das letzte Integral integrieren:
[mm]2*s = \integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)\cdot{}cosh(t)]_{0}^{arsinh(4)}+\bruch{1}{2}[t]_{0}^{arsinh(4)}[/mm]
[mm]2*s = \integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{2}[sinh(t)\cdot{}cosh(t)+t]_{0}^{arsinh(4)}[/mm]
Dann die Gleichung mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] multiplizieren:
[mm]s = \bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{arsinh(4)}cosh^2(t)\;dt=\bruch{1}{4}[sinh(t)\cdot{}cosh(t)+t]_{0}^{arsinh(4)}[/mm]
LG, Martinius
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo hm,
in der 3. Folie ist mir ein Fehler aufgefallen:
Da hast du den Ausdruck $u'(t)\cdot{}V(t)$, der unter das "neue" Integral kommt, falsch.
Es ist $u'(t)\cdot{}V(t)=\sinh(t)\cdot{}\sinh(t)$
In der letzten Folie hast du direkt nach dem "=" die Faktoren $u(t)$ und $V(t)$ vertauscht, was natürlich völlig in Ordnung ist, aber vllt. zu Unklarheiten führen kann.
Ich würde im Sinne der Konsistenz die Reihenfolge aller Faktoren so einhalten, wie sie in deiner Präsentierung der Formel für die PI ist
Also $...=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\cosh(t)\cdot{}\sinh(t)\right]_0^{\arctan(4)}-\int{...}$
In der 2.Folie hast du das, was du in der ersten Formel mit $v(x)$ bzw. $v(t)$ bezeichnest, mit $v'(t)$ bezeichnet und das $V(t)$ wird zu $v(t)$.
Du hattest eingeführt $\int{u(t)\blue{v(t)} \dt}=u(t)\blue{V(t)}-\int{u'(t)\blue{V(t)} \ dt}$
Nenne also $\blue{v(t)$ besser nicht $v'(t)$ usw.
Das könnte auch zu Unklarheiten führen.
Nimm ne einheitliche Bezeichnung 
Schreibe also in der 2.Folie besser(?) $u(t)=v(t)=\cosh(t)$ und $u'(t)=V(t)=\sinh(t)$
LG
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
