Bogenlänge berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich verstehe nicht ganz, wie man die Bogenlänge (allgemein berechnet)...
Ich habe mir mal dieses Beispiel gesucht:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/loesung/loesung696/
Ab der 3. Zeile verstehe ich das nicht mehr.
Man bildet die erste Ableitung. OK. Aber wie kommt man auf den Ausdruck in der Wurzel?
MfG
Mathegirl
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> Ich verstehe nicht ganz, wie man die Bogenlänge (allgemein
> berechnet)...
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> Ich habe mir mal dieses Beispiel gesucht:
> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/loesung/loesung696/
>
> Ab der 3. Zeile verstehe ich das nicht mehr.
>
> Man bildet die erste Ableitung. OK. Aber wie kommt man auf
> den Ausdruck in der Wurzel?
Guten Tag Mathegirl,
das ist der Betrag der (vektoriellen) Ableitung [mm] \dot{\gamma}(t) [/mm] :
[mm] $\gamma(t)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x(t)\\y(t)}$
[/mm]
[mm] $\dot{\gamma}(t)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)}$
[/mm]
$\ [mm] ||\dot{\gamma}(t)||\ [/mm] =\ [mm] \left|\left|\pmat{\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)}\right|\right|\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{(\dot{x}(t))^2+(\dot{y}(t))^2}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Ja, das weiß ich, aber irgendwie komme ich nicht darauf! wenn ich die ableitungen quadriere und addiere komme ich nicht auf dieses ergebnis...ich werde das nochmal in ruhe durchrechnen...
In welchen Fällen nutzt man denn diese "+1" in der Wurzel, wie bei dem folgenden Beispiel in dem Link?
http://www.in-sel.com/selma/Drehkoerper/bausteine/bst3-1.htm
Das verwirrt mich irgendwie alles zum Berechnen der Bogenlänge.
Danke für die Antwort!
MfG
mathegirl
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> Ja, das weiß ich, aber irgendwie komme ich nicht darauf!
> wenn ich die ableitungen quadriere und addiere komme ich
> nicht auf dieses ergebnis...ich werde das nochmal in ruhe
> durchrechnen...
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> In welchen Fällen nutzt man denn diese "+1" in der Wurzel,
> wie bei dem folgenden Beispiel in dem Link?
>
> http://www.in-sel.com/selma/Drehkoerper/bausteine/bst3-1.htm
In diesem zweiten Beispiel liegt im Gegensatz zum ersten eine
Funktion in der expliziten Form y=f(x) vor. Um zu zeigen, dass
beide Formeln gleichwertig sind, kann man auch hier einen
Parameter t einführen und die Gleichung so schreiben:
$\ r(t)\ =\ [mm] \pmat{x(t)\\y(t)}$ [/mm]
mit $\ x(t):=\ t$ und $\ y(t):=\ f(t)$
Dann wird [mm] $\dot{r}(t)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\dot{t}\\ \dot{f}(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\ \dot{f}(t)}$
[/mm]
und $\ [mm] ||\dot{r}(t)||\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{1+(\dot{f}(t))^2}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Sa 10.09.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Achso...okay, dann habe ich es verstanden! :)
Vielen Dank!! Bei meinem ersten Beispiel habe ich mich verrechnet, deshalb kam ich nicht auf die Ableitung!! Nun ist alles klar!
Mathegirl
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Also irgendwie habe ich mit dem thema so meine Probleme!!
Ich verstehe folgende Lösung nicht!!
berechnet werden soll die Bogenlänge von f(x)= [mm] \wurzel{2x^3} [/mm] zwischen x=0 und x=2
f´(x)= [mm] \bruch{-3x^2}{\wurzel{2x^3}}
[/mm]
[mm] L_{0,2}= \integral_{0}^{2}{f(x) dx} \wurzel{1+4,5x} [/mm] soweit ist alles klar!!
Aber ab hier hört es mit Verständnis auf!
[mm] L_{0,2}= \integral_{0}^{2}{f(x) dx} \wurzel{1+4,5x} [/mm] dx
= [mm] \bruch{1} {4,5}\integral_{1}^{10}{f(x) dx} \wurzel{u}du [/mm] =4,54
Wie kommt man auf [mm] \bruch{1}{4,5} [/mm] wieso ist das Integral nun von 1 bis 10 und woher kommt das u in der Wurzel?
MfG
mathegirl
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Hallo!
Das ist nun aber die Substitutionsregel der Integration.
Der Term [mm] \sqrt{1+4,5x} [/mm] ist schwer zu integrieren, daher setzt man u=1+4,5x ein.
Damit ist der Integrand [mm] \sqrt{u} [/mm] , das ist ja nun einfach.
Allerdings: Die Grenzen mußt du nun natürlich in u-Einheiten schreiben, also
[mm] \int_{1+4,5*0}^{1+4,5*2}
[/mm]
Das dx muß nun auch zu einem du werden, und das geht so:
[mm] \frac{du}{dx}1+4,5x=4,5
[/mm]
[mm] dx=\frac{1}{4,5}du
[/mm]
und damit [mm] \int...\,dx=\int...\frac{1}{4,5}\,du=\frac{1}{4,5}\int...\,du
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Mathegirl |
super! Vielen Dank, jetzt ist mir das auch klar! Ich denke einfach immer zu kompliziert!
MfG
Mathegirl
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