Bogenlänge ebene Kurven < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred937 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Bogenlänge der gegebenen ebenen Kurven:
f(x)=ln x; [mm] \bruch{3}{4}\le [/mm] x [mm] \le\bruch{12}{5} [/mm] |
Hallo erstmal an alle Interessierten,
Ich glaube mein Problem liegt vorallem bei der Lösung des Integrals:
s (Bogenlänge) = [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(y')^{2}} dx}
[/mm]
Mein Ansatz:
[mm] y'=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] 1+(y')^{2}=1+\bruch{1}{x^{2}}=\bruch{1+x^{2}}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \wurzel{1+(y')^{2}}=\wurzel{1+x^{2}}*\bruch{1}{x}
[/mm]
Allerdings kann ich [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1+x^{2}}*\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
auch nicht auf Anhieb lösen und habe es deshalb mit Substitution versucht.
[mm] u(x)*v(x)-\integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x)dx}
[/mm]
allerdings bin ich mir da langsam nicht mehr so sicher ob ich noch auf dem richtigen Weg bin.
Falls ja, wie löse ich dieses in diesem Fall ja bestimmte Integral auf? Was wird bei u(x) und v(x) vor dem Integral eingesetzt?
Danke für euer Interesse und eventuelle Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo fred937,
> Bestimmen Sie die Bogenlänge der gegebenen ebenen Kurven:
> f(x)=ln x; [mm]\bruch{3}{4}\le[/mm] x [mm]\le\bruch{12}{5}[/mm]
> Hallo erstmal an alle Interessierten,
>
> Ich glaube mein Problem liegt vorallem bei der Lösung des
> Integrals:
> s (Bogenlänge) = [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(y')^{2}} dx}[/mm]
>
> Mein Ansatz:
> [mm]y'=\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]1+(y')^{2}=1+\bruch{1}{x^{2}}=\bruch{1+x^{2}}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{1+(y')^{2}}=\wurzel{1+x^{2}}*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Allerdings kann ich
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+x^{2}}*\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> auch nicht auf Anhieb lösen und habe es deshalb mit
> Substitution versucht.
>
> [mm]u(x)*v(x)-\integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x)dx}[/mm]
Das ist keine Substitution, sondern die partielle Integration.
>
> allerdings bin ich mir da langsam nicht mehr so sicher ob
> ich noch auf dem richtigen Weg bin.
>
> Falls ja, wie löse ich dieses in diesem Fall ja bestimmte
> Integral auf? Was wird bei u(x) und v(x) vor dem Integral
> eingesetzt?
Hier kann man z.B. wählen
[mm]u\left(x\right)=\bruch{1}{x}\wurzel{1+x^{2}}[/mm]
[mm]v'\left(x\right)=1[/mm]
Das Integral
[mm]\integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x)dx}[/mm]
wird dann mit einer Substitution gelöst.
>
> Danke für euer Interesse und eventuelle Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Danke für die schnelle Hilfe,
Meine Frage ist jetzt noch, was ich für x vor dem Integral einsetzte um am Ende auf einen Zahlenwert zu kommen.
Bei einem unbestimmten Integral wäre die Rechnung ja nach der Integration zu Ende, aber hier möchte ich ein Ergebnis ohne x.
Gruß
Fred937
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Hallo fred937,
> Danke für die schnelle Hilfe,
>
> Meine Frage ist jetzt noch, was ich für x vor dem Integral
> einsetzte um am Ende auf einen Zahlenwert zu kommen.
Für x setzt Du die Intervallgrenzen ein ziehst dann
den Zahlenwert des kleineren vom Zahlenwert des
größeren x-Wertes ab.
>
> Bei einem unbestimmten Integral wäre die Rechnung ja nach
> der Integration zu Ende, aber hier möchte ich ein Ergebnis
> ohne x.
>
> Gruß
> Fred937
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Das wars, Danke!
Ich habe jetzt als Wert für das Integral 1,3460 raus. In der Lösung steht als Ergebnis "1,35 + ln 2"
Das heißt entweder hab ich mich wieder verrechnet oder die ln 2 irgendwo übersehen...
Mein Rechenweg für die Partielle Integration:
[mm] u(x)=\bruch{1}{x}*\wurzel{x^{2}+1}
[/mm]
[mm] u'(x)=-\bruch{1}{x}*\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}
[/mm]
v'(x)=1 v(x)=x
Also:
[mm] =\wurzel{x^{2}+1}-\integral_{\bruch{3}{4}}^{\bruch{12}{5}}{-\bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}dx}
[/mm]
[mm] =\wurzel{x^{2}+1}+[\bruch{1}{x}*\wurzel{x^{2}+1}] [/mm] in den Grenzen [mm] \bruch{12}{5} [/mm] und [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
=1,3460
Was habe ich diesmal falsch gemacht? ...Danke für Interesse und Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 01.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fred!
Wie bist Du denn von $u_$ auf $u'_$ gekommen? Da stimmt etwas nicht.
Gruß
Loddar
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Hallo, leite u(x) nach Produktregel ab
[mm] k(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] k'(x)=-\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] l(x)=\wurzel{1+x^{2}}
[/mm]
[mm] l'(x)=\bruch{x}{\wurzel{1+x^{2}}}
[/mm]
[mm] u'(x)=k'(x)*l(x)+k(x)*l'(x)=-\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{x^{2}}+\bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Danke für die bisherige Hilfe und für weiteres Interesse!
ich habe die Ableitung jetzt geändert und mein Integral ist:
[mm] \wurzel{x^{2}+1}-\integral_{\bruch{3}{4}}^{\bruch{12}{5}}{\bruch{x}{\wurzel{1+x^{2}}}-\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{x}dx}
[/mm]
Da ich seit Tagen an dieser Aufgabe sitze habe ich mir das Integral jetzt einfach mit einem Online-rechner lösen lassen, weil es ja noch immer nicht wirklich einfach ist. ...oder übersehe ich irgend eine Regel?
Das Ergebnis wäre dann:
[mm] \wurzel{x^{2}+1}-[arsinh(\bruch{1}{|x|})] [/mm] in den Grenzen [mm] \bruch{12}{5} [/mm] und [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Wenn ich das ausrechne habe ich 1,93 - [mm] [arsinh(\bruch{1}{|x|})] [/mm] und nicht 1,35 + ln 2 wie es in der Lösung steht.
Ich verzweifle mittlerweile,
wenn sich jemand die ganze Aufgabe einmal angucken könnte und mir sagen kann, wie ich sie statt in drei Tagen in ein paar Minuten lösen kann, wäre ich demjenigen sehr sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mi 02.03.2011 | | Autor: | CatDog |
Hallo,
ich hab das Integral durchgerechnet mit der Substitution
u = [mm] \wurzel{x^2+1}
[/mm]
und komme exakt auf die oben angegebene Lösung. Tipp: Die Grenzen gleich mit substituieren, geht super auf (und merk dir mal die Stichwörter Polynomdivision und Partialbruchzerlegung). Ein paar Logarithmusrechenregeln werden auch noch aufgefrischt.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Vielen Dank für die Hilfe!
Eine Partialbruchzerlegung, hört der Wahnsinn denn nie auf?
Ich habe nach der Substitution:
[mm] \wurzel{x^{2}+1}+\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+1}}-\integral_{1,25}^{2,6}{\bruch{x}{u} -\bruch{u}{x}du}
[/mm]
Ist das richtig?
Dann kann man das Integral doch aufteilen in 2 einzelne:
[mm] \integral_{1,25}^{2,6}{\bruch{x}{u}du}-\integral_{1,25}^{2,6}{\bruch{u}{x}du}
[/mm]
Die beiden sind ja dann gelöst:
[xlog(u)] und [mm] [\bruch{u^{2}}{2x}]
[/mm]
Hab ich jetzt schon wieder alles durcheinander geworfen? Auf eine Partialbruchzerlegung komme ich ja so nicht mehr.
Danke schonmal fürs Interesse.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo fred!
Das muss Dich doch mehr als stutzig machen, wenn Du innerhalb eines Integrales plötzlich mehrere unterschiedliche Variablen hast.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mi 02.03.2011 | | Autor: | CatDog |
Vielleicht haben wir uns ein wenig falsch verstanden. Ich habe in deinem Anfangsintegral substituiert. Und pass auf, nach dem Substituieren darf sich kein x mehr im Integral finden, du kannst mit der Substitution auch dx und und alle x substituieren, kannste ja aus der Formel zurückrechnen, was du denn brauchst !!
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Danke euch!
Achso ok, hab gerade schon gesehen, was an meiner Frage oben falsch war: du, x nicht vorgezogen...
Wie gesagt ich verzweifel langsam an dieser Aufgabe...
Wirklich das Anfangsintegral oder das nach der Partiellen Integration?
Tut mir leid, mein Kopf quillt mittlerweile über bei der ganzen Rechnerei an einer Aufgabe. Ich kriegs einfach nicht hin.
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Hallo, ich glaube, du hast den Faden verloren, es ist zu lösen
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*\wurzel{1+x^{2}} dx}
[/mm]
1. Teil: partielle Integration
[mm] u=\bruch{1}{x}*\wurzel{1+x^{2}}
[/mm]
[mm] u'=-\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{x^{2}}+\bruch{1}{\wurzel{1+x^{2}}}
[/mm]
v'=1
v=x
[mm] =\wurzel{1+x^{2}}-\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{1+x^{2}}}-\bruch{\wurzel{1+x^{2}}}{x} dx}
[/mm]
2. Teil: Substitution
[mm] z:=\wurzel{1+x^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{2x}{2*\wurzel{1+x^{2}}}=\bruch{x}{\wurzel{1+x^{2}}}=\bruch{x}{z}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+x^{2}}-\integral_{}^{}{(\bruch{x}{z}-\bruch{z}{x})*\bruch{z}{x}dz}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+x^{2}}-\integral_{}^{}{1-\bruch{z^{2}}{x^{2}}dz}
[/mm]
aus der Substitution [mm] z:=\wurzel{1+x^{2}} [/mm] folgt [mm] x^{2}=z^{2}-1
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+x^{2}}-\integral_{}^{}{1-\bruch{z^{2}}{z^{2}-1}dz}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+x^{2}}-\integral_{}^{}{1-\bruch{z^{2}-1+1}{z^{2}-1}dz}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+x^{2}}-\integral_{}^{}{1-\bruch{z^{2}-1}{z^{2}-1}-\bruch{1}{z^{2}-1}dz}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+x^{2}}-\integral_{}^{}{1-1-\bruch{1}{z^{2}-1}dz}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+x^{2}}-\integral_{}^{}{-\bruch{1}{z^{2}-1}dz}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+x^{2}}+\integral_{}^{}{\bruch{1}{z^{2}-1}dz}
[/mm]
der Rest du
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:57 Do 03.03.2011 | | Autor: | CatDog |
Hi,
wie des öfteren führen viele Wege zum gleichen Ziel, aber hier hätte man sich durchaus die partielle Integration schenken können, denn substituiert man sofort, erhält man schon
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{z^2}{z^2-1} dz}
[/mm]
Zur Übung war die partielle Integration aber sicher kein Fehler 
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Do 03.03.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo CatDog, ich bin auf den Zug von MathePower mit der partiellen Integration aufgesprungen, frei nach dem Motto, warum einfach, wenn es auch umständlich geht, gleich substituieren, eine Minute, fertig, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Fr 04.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Vielen Dank euch allen!
Ich habe jetzt erstmal wichtigere Aufgaben, aber werde diese sicher nochmal auf beiden Wegen lösen.
an Steffi: Genau das hab ich gebraucht, jetzt ist es wieder ordentlich aufgeschrieben bei mir.
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