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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | | Berechne die die Bogenlänge von Cosinus hyperbolicus im Intervall [-1 - 2]. |
Hallo,
wisst ihr was cosinus hyperbolicus ist ? Und gibt es eine Formel für die Berechnung der Bogenlänge ?
Vielen, vielen Dank !
Eure Fee
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Hallo Fee,
[mm] cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
[/mm]
Die Bogenlänge berechnet sich bei einer Funktion f(x) für ein Intervall [a,b] wie folgt:
[mm] L=\integral_{a}^{b}{\sqrt{1+f'(x)^2} dx}
[/mm]
Damit wirst du sicherlich ein Stück kommen, ja sogar alles berechnen können?
Als Information:
[mm] sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
[/mm]
Und noch ein Tipp um das Integral zu lösen:
Die 1 unter der Wurzel solltest du umschreiben und den Zusammenhang [mm] 1=cosh(x)^2-sinh(x)^2 [/mm] nutzen. Damit vereinfacht es sich deutlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Fee |
Hey,
Bei meiner Rechnung steht jetzt unter der wurzel : [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] + [mm] (e^x- [/mm] e^(-x) /2)
Wie finde ich jetzt die Stammfunktion ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> Bei meiner Rechnung steht jetzt unter der wurzel : [mm]sin^2(x)[/mm]
> + [mm]cos^2(x)[/mm] + [mm](e^x-[/mm] e^(-x) /2)
Du solltest doch
[mm] $$\int_a^b \sqrt{1+(\cosh'(x))^2}dx$$
[/mm]
berechnen. Dir wurde nicht [mm] $\sin^2+\cos^2=1\,,$ [/mm]
sondern [mm] $\cosh^2-\sinh^2=1$ [/mm] (![[]](/images/popup.gif) klick!)
(was Du übrigens mal nachrechnen solltest)
als Hinweis gegeben.
Außerdem überzeuge Dich, dass aus den von Richie gegebenen
Definitionen sofort folgt
[mm] $$\cosh'=\sinh\,.$$
[/mm]
(Du kennst doch Ableitungsregeln!)
Rechne mal nach, was [mm] $\sinh'$ [/mm] ist. (Ob das beim HDI-Anwenden hier
weiterhelfen könnte?)
Aber so nebenbei:
1. Wie sieht Dein Intervall eigentlich wirklich aus. Ich kann mir nicht
vorstellen, dass es von -1 bis -2 läuft - vielleicht von 1 bis 2?
2. [mm] $\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\,,$ [/mm] falls die Integrale
rechterhand existent! (Das nur als Antwort, wie Du "oben" hättest
weitermachen sollen/können, wenn das denn richtig ist/wäre!)
3. Wenn Du mal richtig rechnest mit den Tipps, sollte bei Dir irgendwann
[mm] $$\int_a^b \sqrt{(\cosh(x))^2}dx$$
[/mm]
stehen. (Deswegen ja auch Richies Tipp!)
Allgemein ist [mm] $\sqrt{r^2}=|r|\,$ [/mm] für reelle [mm] $r\,,$ [/mm] aber wenn
$r [mm] \ge [/mm] 0$ ist, dann folgt sogar [mm] $=r\,.$ [/mm] Und nun schau' mal, welche
Werte [mm] $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ [/mm] nur annimmt. Man kann
etwa nachrechnen, dass [mm] $0\,$ [/mm] eine (lokale und sogar) globale Minimalstelle
ist - damit wüßte man sogar noch mehr, als man alleine durch die reelle
Exponentialfunktion, welche ja sogar immer echt positiv bleibt,
herauslesen kann!
P.S.
Wie kamst Du zu Deinem Ergebnis oben? Ich frage nämlich, weil's
mir scheint, als wenn Du Wurzeln und Quadrate "verloren" oder
"wild durcheinander geschmissen und dann damit gerechnet" hättest!
Gruß,
Marcel
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