Bogenlänge in Polar-Koordin. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Leute,
ich hätte da einmal eine Frage zur Bogenlänge bei ebenen Kurven in Polarkoordinaten.
[mm] $(ds)^2\;=\;(dr)^2+(r*d\varphi)^2$
[/mm]
[mm] $\int\;ds\;=\;L\;=\int \wurzel{(dr)^2+(r*d\varphi)^2}$
[/mm]
Nun kann man formal entweder [mm] d\varphi [/mm] ausklammern:
(1) [mm] $L\;=\;\int_{\varphi 1}^{\varphi 2}\wurzel{\left(\frac{dr}{d\varphi} \right)^2+r^2}\;d\varphi\;=\;\int_{\varphi 1}^{\varphi 2}\wurzel{(\dot r)^2+r^2}\;d\varphi$
[/mm]
oder dr ausklammern:
(2) [mm] $L\;=\;\int_{r 1}^{r 2}\wurzel{1+r^2*\left(\frac{d\varphi}{dr}\right)^2}\;dr\;=\;\int_{r 1}^{r 2}\wurzel{1+r^2*(\dot \varphi )^2}\;dr$
[/mm]
Vor kurzem habe ich mir eine US-amerikanische Formelsammlung gekauft. Da steht drin:
[mm] $L\;=\;\int_{r 1}^{r 2}\wurzel{1+r^2*\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2}\;dr$
[/mm]
Ist das so in Ordnung? Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Besten Dank für eine Antwort!
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo liebe Leute,
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> ich hätte da einmal eine Frage zur Bogenlänge bei ebenen
> Kurven in Polarkoordinaten.
>
> [mm](ds)^2\;=\;(dr)^2+(r*d\varphi)^2[/mm]
>
> [mm]\int\;ds\;=\;L\;=\int \wurzel{(dr)^2+(r*d\varphi)^2}[/mm]
>
> Nun kann man formal entweder [mm]d\varphi[/mm] ausklammern:
>
> (1) [mm]L\;=\;\int_{\varphi 1}^{\varphi 2}\wurzel{\left(\frac{dr}{d\varphi} \right)^2+r^2}\;d\varphi\;=\;\int_{\varphi 1}^{\varphi 2}\wurzel{(\dot r)^2+r^2}\;d\varphi[/mm]
>
> oder dr ausklammern:
>
> (2) [mm]L\;=\;\int_{r 1}^{r 2}\wurzel{1+r^2*\left(\frac{d\varphi}{dr}\right)^2}\;dr\;=\;\int_{r 1}^{r 2}\wurzel{1+r^2*(\dot \varphi )^2}\;dr[/mm]
>
> Vor kurzem habe ich mir eine US-amerikanische
> Formelsammlung gekauft. Da steht drin:
>
> [mm]L\;=\;\int_{r 1}^{r 2}\wurzel{1+r^2*\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2}\;dr[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung? Oder habe ich da etwas falsch
> verstanden?
>
Die unter (1) und (2) stehenden Formeln sind korrekt.
Die in der US-amerikanischen Formelsammlung stehende Formel
ist mir unbekannt und meines Erachtens auch nicht korrekt.
> Besten Dank für eine Antwort!
>
> LG, Martinius
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Do 11.07.2013 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
Dank Dir sehr für Deine Antwort!
Jetzt bin ich erleichtert.
LG, Martinius
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