Bogenlänge param. Kurven < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei k die Parameterdarstellung der Kurve K, K=[k], k: [mm] [a,b]->R^n
[/mm]
Sei [mm] b_{k} [/mm] die Fktn der Bogenlänge von K bzgl. k.
Existiert zu [mm] b_{k} [/mm] die Umkehrfunktion [mm] (b_{k})^{-1} [/mm],
so ist auch [mm] k \circ (b_{k})^{-1} [/mm] eine Parameterdarstellung von K.
[mm] k \circ (b_{k})^{-1} = A [/mm] ist die "ausgezeichnete Parameterdarstellung A", für deren Ableitung gilt:
[mm] \parallel A' \parallel = 1 [/mm] |
[mm] [/mm]
Warum braucht es für diese ausgezeichnete Parameterdarstellung gerade die Umkehrfunktion?
Schließlich ist [mm] k \circ w [/mm] auch eine P-Darstellg von K, solange w streng mon. steigend und stetig ist, oder?
Und warum gilt das für diese w?
Daher muss die Eigenschaft der Umkehrfktn wohl besonders da reinspielen bzgl. A. Zumal ich mir unter A nicht so gut etwas vorstellen kann.
Falls es jmd möglichst anschaulich beschreiben kann: Danke!
[mm] [/mm]
[mm] [/mm]
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Für [mm]t \in [a,b][/mm] gilt: [mm]b_k(t) = \int_a^t \left\| k'(\tau) \right\| ~ \mathrm{d} \tau[/mm]
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt: [mm]{b_k}'(t) = \left\| k'(t) \right\|[/mm]
Definiert man jetzt:
[mm]A = k \circ {b_k}^{-1}[/mm]
so berechnet man gemäß Kettenregel und der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion:
[mm]A' = \frac{k' \circ {b_k}^{-1}}{{b_k}' \circ {b_k}^{-1}} = \frac{k' \circ {b_k}^{-1}}{\left\| k' \right\| \circ {b_k}^{-1}} = \frac{k' \circ {b_k}^{-1}}{\left\| k' \circ {b_k}^{-1} \right\|}[/mm]
Jetzt geht man zur Norm über:
[mm]\left\| A' \right\| = \left\| \frac{k' \circ {b_k}^{-1}}{\left\| k' \circ {b_k}^{-1} \right\|} \right\| = \frac{\left\| k' \circ {b_k}^{-1} \right\|}{\left\| k' \circ {b_k}^{-1} \right\|} = 1[/mm]
Daß die euklidische Norm von [mm]A'[/mm] konstant ist, bedeutet nichts anderes, als daß man die Kurve mit dem Betrage nach konstanter Geschwindigkeit durchläuft.
Beispiel: Denken wir uns [mm]t[/mm] in Sekunden und die Kurve 20 m lang. Nach 1 Sekunde hat man 1 m, nach 2 Sekunden 2 m und so weiter auf der Kurve zurückgelegt. Und nach 20 Sekunden ist man am Ziel.
Bekanntestes Beispiel ist
[mm]k(t) = \left( \cos t \, , \, \sin t \right) \, , \ \ t \in [0,2 \pi][/mm]
Diese Parametrisierung des Einheitskreises ist schon die ausgezeichnete, denn es gilt [mm]\left\| k'(t) \right\| = 1[/mm]. Klar, der Kreis hat den Umfang [mm]2 \pi[/mm], und man geht ihn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ab, so man nach der Zeit [mm]t = 2 \pi[/mm] genau einmal herum ist.
EDIT
Schreibfehler korrigiert.
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danke f d ausführlichen Beitrag!
Versuche es morgen einmal durchzuarbeiten und melde mich ggf mit weiteren Fragen.
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| Aufgabe | Zitat:
>
> Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
> folgt: [mm]{b_k}'(t) = \left\| k'(t) \right\|[/mm] |
Das verstehe ich nicht so ganz.
Heißt das: (?)
Wenn ich die Längenfunktion, die ja "irgendwie die Kurve darstellt / abfährt", ableite, kommt deren Länge (bzw. die Länge der Teilkurve) heraus?
Wieso das, wie kann ich mir das vorstellen? Die Ableitung ist ja die Tangente an der Kurve in einem Pkt.. Gehe ich jeden Punkt durch und nehme in jedem Pkt die Ableitung und rechne deren Tangentenlängen zwischen 2 bestimmten Punkten (t und ...?) zusammen?
Führt das ganze auf einen einbeschrieben Polygonzug oder hat es damit ncihts zu tun?
Ich würde mir das gerne bildlich vorstellen.
(Mir fällt gerade auf, dass es wahrscheinlich auch auf die Art der Norm ankommt. Ist es z B die Zweinorm, muss es doch irgendwie über Pythagoras gehen, oder?)
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Hier berührst du ganz grundsätzliche Dinge. Diese Formel hat überhaupt nichts mit der Bogenlänge an sich zu tun, sondern ist eine Anwendung des HDI, des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Dieser Haupsatz ist das Zentrum der gesamten Analysis. Er wird schon in der Schule behandelt und ist die Grundlage eines deutschen Abiturs.
[mm]F(x) = \int_2^x 5t^4 ~ \mathrm{d}t \ \ \Rightarrow \ \ F'(x) = 5x^4[/mm]
[mm]F(x) = \int_{-13}^x \left( \frac{1}{t^2+1} - t^{457} \right) ~ \mathrm{d}t \ \ \Rightarrow \ \ F'(x) = \frac{1}{x^2+1} - x^{457}[/mm]
[mm]F(x) = \int_{-436}^x \left( 2t^3 - 4t^2 + 5 \sin(t) - 6 \operatorname{e}^{-3 \cos(t)} \right) ~ \mathrm{d}t \ \ \Rightarrow \ \ F'(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5 \sin(x) - 6 \operatorname{e}^{-3 \cos(x)}[/mm]
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Danke.
Die Sache mit der Stammfunktion, also dem "Hauptsatz", ist mit schon bekannt.
Die Frage könnte auch lauten:
Warum gilt
$ [mm] b_k(t) [/mm] = [mm] \int_a^t \left\| k'(\tau) \right\| [/mm] ~ [mm] \mathrm{d} \tau [/mm] $ ?
(Mal abgesehen davon, dass ich nicht weiß, warum hier "Tau" eingeführt wird - ist wohl die Laufvariable aus [a,t])
Wenn die Antwort lautet: "Weil $ [mm] {b_k}'(t) [/mm] = [mm] \left\| k'(t) \right\| [/mm] $ gilt", ist es nicht gerade hilfreich...
Da das ja quasi äquivalente Ausdrücek sind, sollte man ja einen (u damit automat. den anderen) herleiten können oder noch besser veranschaulichen. Diese Frage taucht ähnlich auch hier nochmal auf:
https://matheraum.de/read?i=1030260
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Da [mm]t[/mm] für die obere Grenze des Integrals bereits vergeben ist, sollte man [mm]t[/mm] nicht noch einmal als Integrationsvariable verwenden. Das kann zu Konflikten führen. Deshalb [mm]\tau[/mm]. Man kann auch jede andere im Kontext noch nicht verbrauchte Variable nehmen.
Die Länge [mm]L(K)[/mm] einer Kurve wird durch das Integral
[mm]L(K) = \int_a^b \left\| k'(t) \right\| ~ \mathrm{d}t[/mm]
berechnet, wobei [mm]k(t)[/mm] mit [mm]t \in [a,b][/mm] eine stetig differenzierbare Parameterdarstellung von [mm]K[/mm] ist. Die Herleitung sollte in jedem vernünftigen Lehrbuch zur Analysis I stehen. Letztlich wird ein Polygonzug zur Kurve immer weiter verfeinert. Mich wundert es, daß du danach fragst, wo ja in der Aufgabe diese Zusammenhänge vorausgesetzt werden, man also annehmen muß, daß dir das alles bekannt ist.
Wenn jetzt die obere Grenze [mm]b[/mm] durch eine Variable [mm]t[/mm] ersetzt wird, die das Intervall [mm][a,b][/mm] durchläuft, erhält man eine Funktion von [mm]t[/mm], die in der Aufgabe [mm]b_k[/mm] genannt wird. Ich finde die Bezeichnung auch etwas wunderlich, habe sie aber aus der Aufgabe übernommen:
[mm]b_k(t) = \int_a^t \left\| k'(\tau) \right\| ~ \mathrm{d} \tau \, , \ \ t \in [a,b][/mm]
Speziell ist [mm]b_k(a) = 0[/mm] und [mm]b_k(b) = L(K)[/mm]. Und für ein [mm]t[/mm] dazwischen erhält man halt die Länge des Kurvenstücks vom Anfang bis zum Punkt mit dem Parameterwert [mm]t[/mm].
Stelle dir vor, du durchfährst mit dem Auto eine Strecke. Zu Beginn stellst du den Kilometerzähler auf 0. Zu jedem Zeitpunkt [mm]t[/mm] zeigt dir der Kilometerzähler nun an, wie lang der bis dahin zurückgelegte Weg ist. Und [mm]b_k(t)[/mm] ist sozusagen die Anzeige des Kilometerzählers in Abhängigkeit von der Zeit.
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Danke f d Antwort.
Ich lese dazu gerade in einem Mathebuch:
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"
Sei [mm] L_{n} = \summe_{k=1}^{n} \parallel x(t_{k})-x(t_{k-1}) \parallel [/mm] die Länge des Polygonzuges.
Sei [mm] \parallel \gamma (t_{k})- \gamma (t_{k-1}) \parallel [/mm] die Länge einer jeden dieser Strecken.
Dann ist mit [mm] \tau \in (t_{k}-t_{k-1}) [/mm] (damit ist wohl ein offenes Intervall gemeint?)
[mm] \parallel \gamma (t_{k})- \gamma (t_{k-1}) \parallel = \parallel \gamma' ( \tau _{k}) \parallel (t_{k}-t_{k-1}) + O((t_{k}-t_{k-1})^2) [/mm]"
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Dass nun gamma die Parameterdarstellg der Kurve ist und die [mm] t_{k} [/mm] die Verfeinerung der Definitionsmenge, ist klar.
Es wird eine Strecke exemplarisch aus dem Streckenzug herausgenommen, und es findet durch [mm] \tau \in (t_{k}-t_{k-1}) [/mm] eine Verfeinerung statt.
Mit ist jedoch die letzte Zeile,
[mm] \parallel \gamma (t_{k})- \gamma (t_{k-1}) \parallel = \parallel \gamma' ( tau _{k}) \parallel (t_{k}-t_{k-1}) + O((t_{k}-t_{k-1})^2) [/mm]
nicht ganz klar.
Was ist "O" ?
Hat das etwas mit Pythagoras zu tun?
Ferner steht dazu
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"Man kann zeigen, dass im grenzuebergang von Unterteilungen mit
[mm] max((t_{k}-t_{k-1}) -> 0 [/mm] für [mm] n -> \infty [/mm]
die Summe der Terme zweiter Ordnung gegen 0 konvergiert. Die Summe über die Terme erster Ordnug ergibt im Grezwert ein Integral."
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[mm] [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 26.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Zitat:
> Für [mm]t \in [a,b][/mm] gilt: [mm]b_k(t) = \int_a^t \left\| k'(\tau) \right\| ~ \mathrm{d} \tau[/mm]
>
(
> Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
> folgt: [mm]{b_k}'(t) = \left\| k'(t) \right\|[/mm]
) |
Was hat die Länge von K mit dem Integral zu tun und was ist eigentlich das Tau?
Ich lese in meinem Buch:
"K ist genau dann rektifizierbar, wenn f. [mm]t \in [a,b][/mm] gilt: [mm] \int_a^b \left\| k'(t) \right\| ~ \mathrm{d} t [/mm] existiert."
Und das Integral soll dann die Länge der Kurve sein.
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Hier habe ich nur hingeschrieben, was du selbst vorgegeben hast:
Zitat
Sei [mm]b_{k}[/mm] die Fktn der Bogenlänge von K bzgl. k.
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