Bogenlänger der Kurve < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Bogenlänge der Kurve mit der Parameterdarstellung
[mm]x(t) = t^6 / 6 , y(t) = 2 - t^4 /4 , t \ge 0[/mm] , zwischen deren Schnittpunkten mit den
Koordinatenachsen. |
Die Schnittpunkte müssten doch (0,0) und (0,2) sein, oder?
$ [mm] s=\integral_{0}^{2}{\left|(\dot\vec{x})\right| dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{\wurzel{(t^5)^2+(-t^3)^2} dt}$
[/mm]
Stimmt dieser Ansatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Sa 20.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo noob
Die Bogenlaenge wuerde richtig ausgerechnet, allerdings sind die Schnittpunkte nicht richtig, wenn du dich bei der Parameterdarstellung nicht verschrieben hast.
Fuer den Parameterwert $t=0$ erhalte ich den Schnittpunkt mit der $y$-Achse (0,2). Fuer den Parameterwert $t=2$ erhalte ich hingegen den Punkt [mm] $(\frac{32}3,-2)$.
[/mm]
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Ähm, es müsste $ [mm] \wurzel[4]{8} [/mm] $ sein, oder?
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Ohne auch nur das geringste an der Kurve zu ändern, kann man sie auch durch
[mm]x = \frac{1}{6} \, t^3 \, , \ \ y = 2 - \frac{1}{4} \, t^2[/mm]
parametrisieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Ähm, es müsste [mm]\wurzel[4]{8}[/mm] sein, oder?
Sieht gut aus. Aber wie geht's weiter?
1. Wir suchen zunächst den Schnittpunkt auf der x-Achse. Dazu setze $y(t)=0$ und löse nach t auf. Du erhälst wie Du schon richtig festgestellt hast [mm] $t=\pm\sqrt[4]{8}$
[/mm]
2. Wir suchen den Schnittpunkt auf der y-Achse. Dazu setze $x(t)=0$ und löse nach $t$ auf. Wir erhalten $t=0$. Also musst Du von $t=0$ bis [mm] $+\sqrt[4]{8}$ [/mm] integrieren. Überprüfe nun, ob das Ergebnis bei der Integration von [mm] $t=-\sqrt[4]{8}$ [/mm] bis $0$ gleich bleibt.
Dann bist Du fertig. Kurz: Du bist auf dem richtigen Weg.
Gruß Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Sa 20.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Alles klar. Firma dankt. Ergebnis:
$ [mm] \bruch{13}{3} [/mm] $
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