Bogenmaß, Gradmaß < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mi 04.05.2005 | | Autor: | preini |
180 Grad im Gradmaß entspricht bekanntlich PI im Bogenmaß
Folgende Gleichungen:
- arctan(x) - x = -180 nach x aufgelöst im Gradmaß
ergibt eine andere Lösung als
- arctan(x) - x = - PI nach x aufgelöst im Bogenmaß
FRAGE: Gibts dafür eine Erklärung???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> 180 Grad im Gradmaß entspricht bekanntlich PI im Bogenmaß
>
> Folgende Gleichungen:
>
>
> - arctan(x) - x = -180 nach x aufgelöst im Gradmaß
>
> ergibt eine andere Lösung als
> - arctan(x) - x = - PI nach x aufgelöst im Bogenmaß
Sei $ [mm] (\star) [/mm] $ $ [mm] \arctan(x)-x=-\pi [/mm] $
> FRAGE: Gibts dafür eine Erklärung???
Ja, denn das ergibt sich einfach aus der Tatsache, dass bei der ersten Gleichung das $ x $ im Gradmaß angegeben wird, während bei der zweiten Gleichung das $ x $ im Bogenmaß gemessen wird.
Strenggenommen ist die erste Gleichung (wo $ x $ im Gradmaß gemessen wird) auch falsch, denn:
$ [mm] \arctan(x)-x$ [/mm] kann man hier gar nicht berechnen, wenn das $ x $ im Gradmaß angegeben ist (wie soll man denn z.B. [mm] $\arctan(2°)$ [/mm] berechnen?). Daher müßte man die Gleichung ändern in:
$ [mm] (\star_2) [/mm] $ [mm] $\arctan\left(\frac{x}{1°}\right)-x=-180°$, [/mm] denn dann wäre $ [mm] \frac{x}{1°} [/mm] $ wenigstens eine reelle Zahl, und darauf können wir den [mm] $\arctan$ [/mm] anwenden!
Und jetzt gucken wir einfach mal, wie die Gleichung $ [mm] (\star_2) [/mm] $ sich von $ [mm] (\star) [/mm] $ unterscheidet, wenn wir das $ x $ aus $ [mm] (\star_2) [/mm] $ im Bogenmaß angeben wollen. Dann gilt:
[mm] $\arctan\left(\frac{x}{1°}\right)-x=-180°$ [/mm] ($ x $ im Gradmaß)
$ [mm] \gdw [/mm] $
[mm] $(\star_3)$ $\arctan\left(\frac{180*x}{\pi}\right)-x=-\pi$ [/mm] ($ x $ im Bogenmaß)
Und $ [mm] (\star_3) [/mm] $ und $ [mm] (\star) [/mm] $ sehen jedenfalls nicht äquivalent aus  (auf einen Beweis verzichte ich )! D.h., wenn $ [mm] x_0 [/mm] $ eine Lösung von $ [mm] (\star) [/mm] $ (im Gradmaß gemessen) ist, dann heißt das noch lange nicht, dass auch $ [mm] x_1=\frac{x_0}{180°}\cdot{}\pi [/mm] $ die entsprechende Lösung von $ [mm] (\star_3) [/mm] $ (und damit auch $ [mm] (\star_2) [/mm] $) im Bogenmaß ist.
Weiterhin:
Ist $ [mm] y_0 [/mm] $ eine Lösung von $ [mm] (\star_2) [/mm] $ (bzw. $ [mm] (\star_3) [/mm] $) im Bogenmaß, so wissen wir noch lange nicht, dass $ [mm] y_1=\frac{y_0}{\pi}\cdot{}180° [/mm] $ eine Lösung von $ [mm] (\star) [/mm] $ (im Gradmaß gemessen) ist...
PS: Ich nehme mal an, dass hier:
> - arctan(x) - x = -180 nach x aufgelöst im Gradmaß
und hier:
> - arctan(x) - x = - PI nach x aufgelöst im Bogenmaß
das erste "-"-Zeichen nicht zu deiner Gleichung gehört hat, sondern zur "Tabelle". Oder gehören sie doch zu den Gleichungen? Dann würde ich diese aber erstmal mit $ (-1) $ multiplizieren...
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal!
Ergänzend noch eine Bemerkung:
[mm] $(\star)$ [/mm] $ [mm] \arctan\left(\frac{x}{1°}\right)-x=-180° [/mm] $ ($ x $ im Gradmaß)
$ [mm] \gdw [/mm] $
$ [mm] (\star_3) [/mm] $ $ [mm] \arctan\left(\frac{180\cdot{}x}{\pi}\right)-x=-\pi [/mm] $ ($ x $ im Bogenmaß)
Das kann man sich wie folgt überlegen:
Sei $x$ der Winkel im Gradmaß, und sei $y$ der zugehörige Winkel im Bogenmaß. Dann gilt:
[mm] $y=\frac{x}{180°}*\pi$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star_2)$ $x=\frac{y*180°}{\pi}$
[/mm]
Dann folgt aber durch Einsetzen von [mm] $(\star_2)$ [/mm] in [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm] $(\star)$ [/mm] $ [mm] \arctan\left(\frac{x}{1°}\right)-x=-180° [/mm] $ ($ x $ im Gradmaß)
[mm] $\gdw$
[/mm]
$ [mm] \arctan\left(\frac{y*180°}{\pi}*\frac{1}{1°}\right)-\frac{y*180°}{\pi}=-180° [/mm] $
[mm] $\stackrel{1° \hat=\frac{\pi}{180}}{\gdw}$
[/mm]
[mm] $\arctan\left(\frac{y*180}{\pi}\right)-\frac{y*180}{\pi}*\underbrace{\frac{\pi}{180}}_{\hat=1°}=-180*\underbrace{\frac{\pi}{180}}_{\hat=1°}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\arctan\left(\frac{y*180}{\pi}\right)-y=-\pi$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Do 05.05.2005 | | Autor: | preini |
HALLo mARCEL!
Danke für die Ausführliche Beschreibung.
Es ist mir klar das x weder in Gradmaß noch im Bogenmaß gegeben ist, da der Arctan nur auf reele Zahlen angewandt werden kann. In meinem Fall war das x ein Omega (Winkelgeschwindigkeit).
Das minus vorm arctan gehört dazu!
-arctan(x) - x = - 180 bzw. - PI
-->mir ist es darum gegangen diese gleichung auf x umzuformen. (ist händisch komliziert, mach es mit einem professionellen TR)
Wenn ich im Bogenmaß rechne bekomme ich auch ein Bogenmaßergebnis heraus, das ich problemlos mit *PI/180 auf grad umformen kann UND UMGEKEHRT.
--> zwei unterschiedliche Ergebnisse, ok
Wenn ich DIESE Gleichung anschaue: (x sei wieder w und irgendeine Zahl)
-3*artan(5*x) = -180 bzw. -PI
Dann kommt, wenn die Gleichung auf x umgeformt ist, für das Bogenmaß-Ergebnis (.....= -PI im bog) derselbe(!) Zahlenwert heraus wie für das Gradmaß-ergebnis(....=-180 in grd).
(NÄMLICH 0,3464)
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Do 05.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo preini!
> HALLo mARCEL!
>
> Danke für die Ausführliche Beschreibung.
>
> Es ist mir klar das x weder in Gradmaß noch im Bogenmaß
> gegeben ist, da der Arctan nur auf reele Zahlen angewandt
Naja, ein Winkel im Bogenmaß ist eine reelle Zahl und darauf kann man den Arctan anwenden...
> werden kann. In meinem Fall war das x ein Omega
> (Winkelgeschwindigkeit).
>
> Das minus vorm arctan gehört dazu!
>
> -arctan(x) - x = - 180 bzw. - PI
Naja, macht trotzdem keinen großen Unterschied. Dann schreib halt bei mir überall ein $-$ vor den [mm] $\arctan$ [/mm] bzw. multipliziere doch deine Gleichung erst mal mit $-1$, dann sieht es übersichtlicher aus...
> -->mir ist es darum gegangen diese gleichung auf x
> umzuformen. (ist händisch komliziert, mach es mit einem
> professionellen TR)
>
> Wenn ich im Bogenmaß rechne bekomme ich auch ein
> Bogenmaßergebnis heraus, das ich problemlos mit *PI/180 auf
> grad umformen kann UND UMGEKEHRT.
> --> zwei unterschiedliche Ergebnisse, ok
>
>
> Wenn ich DIESE Gleichung anschaue: (x sei wieder w und
> irgendeine Zahl)
>
> -3*artan(5*x) = -180 bzw. -PI
Diese Gleichung ist ja äquivalent zu:
[mm] $\arctan(5x)=\frac{\pi}{3}$ [/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $5x=\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\;\;\left(=\wurzel{3}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x=\frac{\wurzel{3}}{5}\;\;\left(\approx 0,3464\right)$
[/mm]
Rechnest du im Gradmaß, so erhältst du mit der äquivalenten Gleichung [mm] $\arctan(5x)=60°$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $5x=\tan(60°)=\wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x=\frac{\wurzel{3}}{5}\;\;\left(\approx 0,3464\right)$
[/mm]
Ja, und das ist aber doch klar, denn bei dieser Gleichung wendest du ja von vorneherein den Arctan auf eine reelle Zahl $x$ an (und die hat ja nichts mit dem Gradmaß oder Bogenmaß zu tun!). Warum sollte denn hier die Rechnung im Gradmaß etwas anderes ergeben als die im Bogenmaß? Und ob ich jetzt [mm] $\tan(60°)$ [/mm] oder [mm] $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ($60°\hat=\frac{\pi}{3}$) [/mm] berechne, beide male kommt [mm] $\wurzel{3}$ [/mm] raus...
Also, pass bitte genau auf: Bei dieser Rechnung hier ist $x$ eine reelle Zahl und keinesfalls irgendein Winkel... Den Arctan kannst du ja (als Umkehrfunktion zum Tangens) immer nur auf reelle Zahlen anwenden!
Der Unterschied zu der anderen Gleichung war halt, dass du dort den Arctan auf eine Gradzahl anwenden wolltest, also du hättest z.B. gerne [mm] $\arctan(x)$ [/mm] ($x$ im Gradmaß) berechnet. Das geht aber nicht (Abhilfe wäre z.B., 1° als [mm] $\frac{\pi}{180}$ [/mm] zu interpretieren, was ja eine reelle Zahl wäre. Aber mathematisch gesehen ist [mm] $\arctan(1°)$ [/mm] erstmal nicht definiert, und da müßte, wenn man 1° im Taschenrechner eintippen könnte, bei der Eingabe [mm] $\arctan(1°)$ [/mm] eigentlich eine Fehlermeldung kommen, da der Definitionsbereich des Arctan eben die reellen Zahlen sind. Aber der Taschenrechner interpretiert halt deine Eingabe $1$ [mm] $\rightarrow$ [/mm] $2nd$ [mm] $\rightarrow$ $\tan$ [/mm] so, als wolltest du den [mm] $\arctan$ [/mm] von der reellen Zahl $1$ berechnen und gibt dir dann halt nur den entsprechenden Winkel im Gradmaß oder im Bogenmaß aus, je nachdem, wie dein Taschenrechner gerade eingestellt ist).
Was soll also [mm] $\arctan(1°)$ [/mm] sein? Wenn du das nun in den Taschenrechner eintippst, dann interpretiert der TR das, wie gesagt, als [mm] $\arctan(1)$, [/mm] also wird [mm] $\arctan(g)$ [/mm] ($g$ sei irgendein Winkel im Gradmaß) bei Eingabe in den Taschenrechner "von deinem Taschenrechner interpretiert" als [mm] $\arctan\left(\frac{g}{1°}\right)$. [/mm] Das ist halt der entscheidende Unterschied zwischen diesen Gleichungen (also der Gleichung in deiner ersten Frage und der jetzigen Frage)!
Viele Grüße,
Marcel
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