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| Aufgabe | Beim Bogenschießen ermitteln Sie für sich eine Wahrscheinlichkeit von 1/9 für das Ereignis ins Schwarze zu treffen.
(i) Wieviele Versuche benötigen Sie , um mit W´t größergleich 0,99 wenigstens einen Volltreffer zu erziehlen? (Die einzelnen Versuche seien stochastisch unabhängig)
(ii) Sie haben mit der oben ermittelten Anzahl von Versuchen nicht ins Schwarze getroffen. Mit wievielen weiteren Veruchen müssen Sie rechnen, um mit W´t größergleich 0,99 wenigstens einen Volttreffer zu erziehlen?
Hinweis : Zeigen Sie, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit, keinen Volltreffer in k+r Versuchen zu erzielen, gegeben, dass in k Versuchen kein Volltreffer erzielt wurde, unabhängig von k ist. |
Ich hänge schon bei (i) , kann ich da sagen 0,99 soll größergleich einer hypergeometrischen Verteilung sein? ich bekomme als Ergebnis 17 oder 18 versuche raus aber, mit negativem Vorzeichen. insbesondere beachte ich ja dann auch das "mindestens einen treffer" nicht. wenn ich mir ne Zufallsvariable nehm könnte ich sagen ihr Wert soll größergleich 1 (ein treffer) sein oder so und annehmen die ist irgendwie soundso verteilt, bin aber total unsicher denn man gibt ja immer an dass der Wert kleiner/kleinergleich einer Zahl sein soll...
ich denke wenn ich bei der (i) nen tipp kriegen würde käme ich auch in (ii) weiter...
wäre sehr nett wenn jemand was dazu sagen könnte!
Grüße Andi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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i)
Die Anzahl der Treffer ist binomialverteilt.
Manchmal kann es eine gute Idee sein, das Gegenereignis zu betrachten...
ii)
Wie hängen bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit nachmal zusammen?
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erstaml danke für die schnellen antworten!
zu (i) hab ich jetzt mindestens 40 Versuche raus.
bei der (ii) hab ich jetzt auch ein Ergebnis, bin jedoch nicht sicher.
zunächst habe ich den Hinweis der Aufgabenstellung bearbeitet:
Ereignis A: kein Treffer in den ersten k Versuchen
Ereignis B: kein Treffer in (k+r) Versuchen.
Um zu zeigen dass P(A bei gegebenem B) unabhängig von k ist hab ich
laut Definition der bedingten W´t gesetzt:
P(A bei gegebenem B)= P(A geschnitten B) / P(B) = [mm] (8/9)^r [/mm] unter Verwendung der Binomialverteilung. k kommt also nicht mehr vor.
Allerdings bin ich nicht sicher was (A geschnitten B) ist. Bei mir ist es ( k+r),
aber im grunde folgt doch schon daraus dass das ganze unabhängig von k ist...
soweit so gut, um auf (ii) zurückzukkomen: ich lerne durch den hinweis dass ich bei (ii) zusätzlich wieder 40 Versuche brauche , da ja laut Hinweis alle Ereignisse davor unter den Tisch fallen und das Spiel von Null beginnt.
Sehe ich das richtig?
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Der erste Teil ist richtig, da [mm] \left( \bruch{8}{9} \right)^{39}>0.01>\left( \bruch{8}{9} \right)^{40}
[/mm]
Bei der 2. Aufgabe ist ja die Bedingung, dass in den ersten k Versuchen nicht getroffen wurde. Also wäre p(A)=1 (Ereignis A: kein Treffer in den ersten k Versuchen).
Du hast es schon richtig erkannt: Alle Ereignisse davor fallen unter den Tisch, und das Spiel beginnt von Null.
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Die Wahrscheinlichkeit, ins Schwarze zu treffen, ist [mm] \bruch{1}{9} [/mm]
Also ist die Wahrscheinlichkeit, daneben zu schießen [mm] \bruch{8}{9} [/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, x-Mal hintereinander daneben zu schießen, ist also [mm] \left( \bruch{8}{9} \right)^{x} [/mm]
Und da du ja mit 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens ein Mal treffen willst, musst du also ausrechnen, bei wie vielen Versuchen die Wahrscheinlichkeit, IMMER daneben zu schießen, kleiner ist als 1%.
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