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| Aufgabe | Lemma:
Sei [mm] (x_j)_{j\in \IN} [/mm] eine beschränkte monotone Folge. Dann [mm] \exists [/mm] lim [mm] sup_{j->\infty} x_j. [/mm] Insbesondere:
lim [mm] sup_{j->\infty} x_j [/mm] = [mm] lim_{j->\infty} (sup\{x_j:j \ge k \}) [/mm] |
Hei
Was ist der Unterschied zwischen linker und rechter seite ?
Rechts wir aus der menge der Häufungswerte der größte ausgewählt. Und rechts der sup der menge der Bild werte? Was ist salopp der unterschied was rechts bzw links getan wird?
Sei [mm] (x_j)_{j\in \IN} [/mm] eine beschränkte Folge.
Wieso ist [mm] sup\{x_j : j>=k \} [/mm] eine beschränkte Monotone folge=???
Weil dann folgt die Existenz des Grenzwertes [mm] lim_{j->\infty} [/mm] ( [mm] sup\{x_j : j \ge k\}) [/mm] aus einen anderen Lemma.
Weiter im Beweis heißt es:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] , [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] N
| sup [mm] \{x_j : j \ge k \} [/mm] - [mm] x_0 [/mm] | [mm] \le \epsilon/2
[/mm]
Also Menge [mm] \{ j : x_j > x_0 + \epsilon \} [/mm] endlich.
Sei k [mm] \ge [/mm] N - Wähle j [mm] \ge [/mm] k mit sup [mm] \{x_j : j \ge j \} [/mm] - [mm] \epsilon \le x_j \le sup\{x_j : j \ge k \}
[/mm]
=> | [mm] x_j [/mm] - [mm] x_0 [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] x_j [/mm] - sup [mm] \{ x_j : j \ge k \} [/mm] +| sup [mm] \{ x_j : j \ge k \} [/mm] - [mm] x_0| \le \epsilon
[/mm]
Frage
M üsste:
> Sei k [mm] \ge [/mm] N - Wähle j [mm] \ge [/mm] k mit sup [mm] \{x_j : j \ge j \} [/mm] - [mm] \epsilon \le x_j \le sup\{x_j : j \ge k \}
[/mm]
Nicht [mm] \epsilon/2 [/mm] stehen dass das am schluss mit epsilon aufgeht?
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Hallo,
> Lemma:
> Sei [mm](x_j)_{j\in \IN}[/mm] eine beschränkte monotone Folge.
> Dann [mm]\exists[/mm] lim [mm]sup_{j->\infty} x_j.[/mm] Insbesondere:
> lim [mm]sup_{j->\infty} x_j[/mm] = [mm]lim_{j->\infty} (sup\{x_j:j \ge k \})[/mm]
>
> Hei
> Was ist der Unterschied zwischen linker und rechter seite
> ?
> Rechts wir aus der menge der Häufungswerte der größte
> ausgewählt. Und rechts der sup der menge der Bild werte?
> Was ist salopp der unterschied was rechts bzw links getan
> wird?
Analytisch gesehen gibt es keinen Unterschied, weil die obige Behauptung auch als Definition für den Limes Superior benutzt wird.
Links steht, wie du schon gesagt hast, der größte Häufungspunkt.
Rechts steht der Limes über eine Folge. Diese Folge hat als k-tes Folgenglied das Supremum über alle [mm] $x_j$ [/mm] ab dem k-ten Folgenglied.
Anschaulich ist ein Häufungswert ein Wert, dem die Folge unendlich oft sehr nahe kommt. Der größte Häufungspunkt ist also der größte Wert, dem die Folge unendlich oft nahe kommt.
> Sei [mm](x_j)_{j\in \IN}[/mm] eine beschränkte Folge.
> Wieso ist [mm]sup\{x_j : j>=k \}[/mm] eine beschränkte Monotone
> folge=???
Die Folge [mm] $a_k [/mm] := [mm] \sup\{x_j: j \ge k\}$ [/mm] ist beschränkt, weil [mm] $(x_j)$ [/mm] beschränkt ist: [mm] $(x_j)$ [/mm] beschränkt [mm] \Rightarrow $\exists [/mm] C [mm] \in \IR [/mm] : [mm] \forall [/mm] j [mm] \in \IN: |x_j| \le [/mm] C$. Also auch [mm] $|a_k| \le \sup\{|x_j|: j \ge k\}$ \le [/mm] C.
Die Folge [mm] $a_k$ [/mm] ist monoton fallend, denn: Bei [mm] $a_1$ [/mm] wird das Supremum über [mm] $\{x_1,x_2,x_3,...\}$ [/mm] gebildet, bei [mm] $a_2$ [/mm] das Supremum über [mm] $\{x_2,x_3,x_4,...\}$ [/mm] usw. Das heißt, das Folgenglied [mm] $a_2$ [/mm] ist das Supremum über ein Folgenglied WENIGER. Dadurch wird das Supremum kleiner.
> Weil dann folgt die Existenz des Grenzwertes
> [mm]lim_{j->\infty}[/mm] ( [mm]sup\{x_j : j \ge k\})[/mm] aus einen anderen
> Lemma.
Ja. Monotone + beschränkte Folgen sind konvergent.
> Weiter im Beweis heißt es:
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] , [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] N
> | sup [mm]\{x_j : j \ge k \}[/mm] - [mm]x_0[/mm] | [mm]\le \epsilon/2[/mm]
> Also
> Menge [mm]\{ j : x_j > x_0 + \epsilon \}[/mm] endlich.
[mm] $x_0$ [/mm] ist hierbei der Grenzwert der Folge [mm] $a_k$, [/mm] nehme ich an.
> Sei k [mm]\ge[/mm] N - Wähle j [mm]\ge[/mm] k mit sup [mm]\{x_j : j \ge j \}[/mm] -
> [mm]\epsilon \le x_j \le sup\{x_j : j \ge k \}[/mm]
>
>
> => | [mm]x_j[/mm] - [mm]x_0[/mm] | [mm]\le[/mm] | [mm]x_j[/mm] - sup [mm]\{ x_j : j \ge k \}[/mm] +| sup
> [mm]\{ x_j : j \ge k \}[/mm] - [mm]x_0| \le \epsilon[/mm]
>
> Frage
> M üsste:
> > Sei k [mm]\ge[/mm] N - Wähle j [mm]\ge[/mm] k mit sup [mm]\{x_j : j \ge j \}[/mm]
> - [mm]\epsilon \le x_j \le sup\{x_j : j \ge k \}[/mm]
> Nicht
> [mm]\epsilon/2[/mm] stehen dass das am schluss mit epsilon aufgeht?
Ja.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Fr 08.02.2013 | | Autor: | theresetom |
tausend dank.
LG
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