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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Di 20.04.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Verifizieren Sie für beliebige Ereignisse [mm] A_{1},..., A_{n} [/mm] die Ungleichung
[mm] P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}) \ge \summe_{i=1}^{n}P(A_{i})-\summe_{1\le i |
Hallo,
ich habe versucht, die Ungleichung per vollständige Induktion zu zeigen.
Bis jetzt waren die Versuche jedoch ohne Erfolg.
Meine Frage ist, ob man mit vollständiger Induktion die Ungleichung einfach zeigen kann . Wenn ja , muss man irgendwo "nichttriviale" Umformungen machen?Denn ich komme ab einem bestimmten Schritt der Induktion nich weiter, weil ich möglicherweise die Methoden der Umformungen mit Wahrscheinlichkeiten und Ereignissen nicht kenne.
Ich kenne schon ein paar einfache Umformungen z.B: für P(A [mm] \cup [/mm] B)
oder für P(A \ B) usw. aber z.B eine Umformung wie die Siebformel ist mir wenig bekannt.
Vielleicht geht es besser mit einer anderen Methode als mit der vollständigen Induktion?
Gruss
Igor
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Hiho,
> ich habe versucht, die Ungleichung per vollständige
> Induktion zu zeigen.
Prima Idee.
Versuchs mal mit:
[mm] $\IP(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i) [/mm] = [mm] \IP(\bigcup_{i=1}^{n}A_i \cup A_{n+1}) [/mm] = [mm] \IP(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) [/mm] + [mm] \IP(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \IP(\bigcup_{i=1}^{n}A_i \cap A_{n+1}) \overbrace{\ge}^{IV} \left(\summe_{i=1}^{n}\IP(A_i) - \summe_{1\le i < j \le n}(A_i \cap A_j)\right) [/mm] + [mm] \IP(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \IP(\bigcup_{i=1}^{n}A_i \cap A_{n+1})$
[/mm]
Weiterhin gilt nun: [mm] $\IP(\bigcup_{i=1}^{n}A_i \cap A_{n+1}) \le \summe_{i=1}^{n}(A_i \cap A_{n+1})
[/mm]
Und damit:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}\IP(A_i) [/mm] - [mm] \summe_{1\le i < j \le n}(A_i \cap A_j) [/mm] + [mm] \IP(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \IP(\bigcup_{i=1}^{n}A_i \cap A_{n+1}) \ge \summe_{i=1}^{n}\IP(A_i) [/mm] - [mm] \summe_{1\le i < j \le n}(A_i \cap A_j) [/mm] + [mm] \IP(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n}(A_i \cap A_{n+1}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1}\IP(A_i) [/mm] - [mm] \summe_{1\le i < j \le n+1}(A_i \cap A_j)$
[/mm]
MFG,
Gono.
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