matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLogikBoolsche Algebra
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Logik" - Boolsche Algebra
Boolsche Algebra < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Logik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Boolsche Algebra: Beweise a OR a = a
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mi 03.03.2021
Autor: b.reis

Aufgabe
Beweisen Sie unter Verwendung des Kommutativ-, Distributiv-, Identitäts- und Komplementär- gesetzes (und nur mit diesen alleine) die Gültigkeit folgender Aussagen (Es reicht also nicht die Eigenschaften für {0, 1} zu zeigen!). Hinweis: Sie können bereits bewiesene Aussagen verwenden, um darauf folgende Aussagen zu beweisen.

a ∨ a = a

Hallo zur Erinnerung die Gesetze

- Kommutativgesetz: a ∨ b = b ∨ a und a ∧ b = b ∧ a  

- Assoziativgesetz: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) und (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)

- Distributivgesetz: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) und a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)  

- Identitätsgesetz: a ∨ 0 = a und a ∧ 1 = a

- Null– und Eins–Gesetz: a ∧ 0 = 0 und a ∨ 1 = 1  

- Komplementärgesetz: a ∨ a = 1 und a ∧ a = 0

- Verschmelzungsgesetz: (a ∨ b) ∧ a = a und (a ∧ b) ∨ a = a  

Meine Lösung ist

a ∨ a = ( a ∨ a) ∧ 1 = (a ∨ a) ∧  (a ∨ [mm] \neg [/mm] a) = a ∨ (a ∧ [mm] \neg [/mm] a ) = a ∨ 0 = a

Die Lösung ist richtig, ich verstehe nur den Anfang nicht oder besser gesagt, der Anfang stimmt nur bei der Verwendung der Annahme a = (a ∨ a).

also a = (a ∨ a) = ( a ∨ a) ∧ 1

Da ich a = beweisen soll kann ich es doch nicht einfach einsetzen um ( a ∨ a) ∧ 1 = a ∧ 1 = (a ∨ a) ∧  (a ∨ [mm] \neg [/mm] a)... zu zeigen ?

Oder soll ich genau das tun wie bei der Induktion wo die Induktionsannahme eingesetzt wird in den n+1 Term ?

Is mein erster Beweis der allein funktioniert hat deswegen die Frage.

Vielen Dank
Benni

        
Bezug
Boolsche Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Mi 03.03.2021
Autor: Gonozal_IX

HIho,

> - Komplementärgesetz: a ∨ a = 1 und a ∧ a = 0

Na da hast du wohl zwei Mal ein [mm] \neg [/mm] vergessen…

> a ∨ a = ( a ∨ a) ∧ 1 = (a ∨ a) ∧  (a ∨ [mm]\neg[/mm] a)
> = a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a ) = a ∨ 0 = a
>  
> Die Lösung ist richtig, ich verstehe nur den Anfang nicht
> oder besser gesagt, der Anfang stimmt nur bei der
> Verwendung der Annahme a = (a ∨ a).

Wieso?
Der Anfang stimmt nach dem Identitätsgesetz.
Du kannst es aber auch einfach mal von rechts nach links lesen.
Welches Gleichheitszeichen verwirrt dich jetzt?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Boolsche Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:32 Mi 03.03.2021
Autor: b.reis

Hallo,

Ich hatte den Beweis von rechts nach links geführt und es machte alles Sinn, als ich dann 5 Minuten später drauf sah machte es kein Sinn mehr....

Du hast recht es stimmt nach dem Idätitätsgesetz. Ich dachte ich könnte

a = (a  ∨ a). verwenden und in ( a ∨ a) ∧ 1 | den Term (a  ∨ a) mit a ersetzen was aber zu zeigen war und deswegen nicht verwendet werden darf.

Aber das habe ich nicht gemacht sondern nach dem Identitätsgesetz umgestellt. Vielleicht war mir der letzte Schritt auch nicht ganz klar. Ich wusste nur, dass ich fertig bin.

Grüße
Benni

Bezug
        
Bezug
Boolsche Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:37 Fr 05.03.2021
Autor: HJKweseleit


> Beweisen Sie unter Verwendung des Kommutativ-,
> Distributiv-, Identitäts- und Komplementär- gesetzes (und
> nur mit diesen alleine) die Gültigkeit folgender Aussagen
> (Es reicht also nicht die Eigenschaften für {0, 1} zu
> zeigen!). Hinweis: Sie können bereits bewiesene Aussagen
> verwenden, um darauf folgende Aussagen zu beweisen.
>  
> a ∨ a = a
>  Hallo zur Erinnerung die Gesetze
>  
> - Kommutativgesetz: a ∨ b = b ∨ a und a ∧ b = b ∧ a
>
>  
> - Assoziativgesetz: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) und
> (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
>  
> - Distributivgesetz: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧
> c) und a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
>  
> - Identitätsgesetz: a ∨ 0 = a und a ∧ 1 = a
>  
> - Null– und Eins–Gesetz: a ∧ 0 = 0 und a ∨ 1 = 1  
>  
> - Komplementärgesetz: a ∨ [mm] \neg [/mm] a = 1 und a ∧ [mm] \neg [/mm] a = 0
>  
> - Verschmelzungsgesetz: (a ∨ b) ∧ a = a und (a ∧ b)
> ∨ a = a
>  
> Meine Lösung ist
>
> a ∨ a = ( a ∨ a) ∧ 1 = (a ∨ a) ∧  (a ∨ [mm]\neg[/mm] a) = a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a ) = a ∨ 0 = a

Nach welchem Gesetz kommst du auf (a ∨ a) ∧  (a ∨ [mm]\neg[/mm] a) = a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a ) ?

Es ist doch nach dem Distributivgesetz (a ∨ a) ∧  (a ∨ [mm]\neg[/mm] a) = (a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a )) ∨ (a ∨ (a ∧ [mm]\neg[/mm] a )), wenn du die Doppelung einfach weglassen könntest, könntest du ja sofort a ∨ a = = a schreiben und wärest fertig.

Einfache Lösung: a ∨ a = (a ∧ 1) ∨ a nach Identitätsgesetz = a nach Verschmelzungsgesetzt mit b=1.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Logik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]