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Boolsche Algebra: Klausuraufgaben zu Relationen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Mi 09.08.2006
Autor: kruu

Aufgabe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

xRy  [mm] \gdw [/mm] x² [mm] \le [/mm] y²
R ist transitiv
R ist symmetrisch
R ist antisymmetrisch
Sind die zwei Aussagen wahr oder falsch?

Ich Studiere Elektrotechnik im zweiten Semester und schreibe im September eine Matheklausur die auch Boolsche Algebra enthält.

Ich habe ein bisschen Probleme mit konkretenbeispielen zu Relationen! Denn diese Konkreten Beispiele sind nur in der Klausur vorhanden und dort steht nur wahr oder falsch und das Hilft mir nicht viel.
Mein Problem ist, dass ich die Regeln nicht kenne und diese sich mir aus der Definition nicht erschließen!

Definitionen:symmetrisch: xRy  [mm] \Rightarrow [/mm] yRx
                    antisymmetrisch:  und yRx  [mm] \Rightarrow [/mm] x=y
                    Transitiv: xRy und yRz  [mm] \Rightarrow [/mm] xRz

Meine Frage:
Die Relation ist in der gestellten Aufgabe  [mm] \le [/mm] (kleiner gleich)!
Muss ich jetzt z.B. für antisymmetrisch nur einsetzten:
x² [mm] \le [/mm] y²(xRy) und y² [mm] \le [/mm] x²(yRx)   [mm] \Rightarrow [/mm] y=x die Relation wäre antisymmetrisch, das ist jedoch falsch! wie macht man das sonst?

Andere Idee:  müsste es x² [mm] \le [/mm] y²(xRy) und y² [mm] \ge [/mm] x²(yRx) heissen? hierraus würde nicht zwingend folgen das x=y!

Für die Symmetrie: x² [mm] \le [/mm] y²(xRy) impliziert nicht  y² [mm] \le [/mm] x²(yRx)  
damit wäre die Relation nicht Symmetrisch

Transitivität: x² [mm] \le [/mm] y²(xRy) und y² [mm] \le [/mm] z²(yRz)   [mm] \Rightarrow [/mm] x² [mm] \le [/mm] z²(xRz)
damit wäre die Relation transitiv!

Bei den beiden anderen Lösungswegen hab ich aber wieder die erste Lösungsmethode angewandt und weiss eben nicht ob das so richtig ist!

Ich hoffe ihr könnt mir Helfen!
Ich wäre Euch sehr dankbar

Nochmal: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Liebe Grüsse
Robin






        
Bezug
Boolsche Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mi 09.08.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> xRy  [mm]\gdw[/mm] x² [mm]\le[/mm] y²
>  R ist transitiv
>  R ist symmetrisch
>  R ist antisymmetrisch
>  Sind die zwei Aussagen wahr oder falsch?

> Definitionen:symmetrisch: xRy  [mm]\Rightarrow[/mm] yRx
>                      antisymmetrisch:  und yRx  [mm]\Rightarrow[/mm]
> x=y

Das sollte wohl heißen: xRy und yRx [mm] \Rightarrow [/mm] x=y

>                      Transitiv: xRy und yRz  [mm]\Rightarrow[/mm]
> xRz
>  
> Meine Frage:
> Die Relation ist in der gestellten Aufgabe  [mm]\le[/mm] (kleiner
> gleich)!

Naja, das stimmt nicht ganz. Es heißt hier, dass x und y in Relation stehen, genau dann, wenn für ihre Quadrate gilt, dass [mm] x^2\le y^2 [/mm] ist. Das scheint aber keinen großen Unterschied zu machen. Jedenfalls hast du richtig eingesetzt.

>  Muss ich jetzt z.B. für antisymmetrisch nur einsetzten:
>  x² [mm]\le[/mm] y²(xRy) und y² [mm]\le[/mm] x²(yRx)   [mm]\Rightarrow[/mm] y=x die
> Relation wäre antisymmetrisch, das ist jedoch falsch! wie
> macht man das sonst?

Das ist eigentlich richtig. Und meiner Meinung nach ist diese Relation auch antisymmetrisch. Guck doch mal []hier da stehen ein paar Beispiele für antisymmetrische Relationen. Wobei ich es sehr seltsam finde, dass dort auch die "Echt-Kleiner-Relation" bei steht...

> Andere Idee:  müsste es x² [mm]\le[/mm] y²(xRy) und y² [mm]\ge[/mm] x²(yRx)
> heissen? hierraus würde nicht zwingend folgen das x=y!

Nein, das wäre ja Blödsinn, es ist doch genau das Gleiche, ob du [mm] x^2\le y^2 [/mm] schreibst oder beides umdrehst und [mm] y^2\ge x^2 [/mm] schreibst.
  

> Für die Symmetrie: x² [mm]\le[/mm] y²(xRy) impliziert nicht  y² [mm]\le[/mm]
> x²(yRx)  
> damit wäre die Relation nicht Symmetrisch

[daumenhoch]
  

> Transitivität: x² [mm]\le[/mm] y²(xRy) und y² [mm]\le[/mm] z²(yRz)  
> [mm]\Rightarrow[/mm] x² [mm]\le[/mm] z²(xRz)
> damit wäre die Relation transitiv!

[daumenhoch]
  
Gibt es jetzt noch Probleme?
Falls du noch andere Aufgaben hast, kannst du sie auch ruhig hier posten. Ansonsten kannst du auch mal das Forum durchstöbern und die Suchfunktion benutzen, da dürften schon ein paar Aufgaben bearbeitet worden sein. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
                
Bezug
Boolsche Algebra: Relationen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Mi 09.08.2006
Autor: kruu

Aufgabe
Hi erstmal vielen dank für deine Antwort Bastiane, sehr nett! =)
Leider steht aber in der Lösung der Klausur, dass die Relation eben nicht antisymmetrisch ist! Ich hab noch sehr viele von diesen Aufgaben! Zwei würde ich jetzt gerne posten. Mein Problem ist glaub ich, dass ich  nicht genau weiss wie ich einsetzten soll! [mm] O_o [/mm]

Aufgabe 1: xRy  [mm] \gdw [/mm] y=x²+3
Aussagen:
R ist Definit(Falsch)
R ist antisymmetrisch(wahr)

Aufgabe 2:
xRy  [mm] \gdw [/mm] x² [mm] \le [/mm] y+1
Aussagen:
R ist reflexiv(falsch)
R ist symmetrisch(falsch)



Wie schon gesagt ich hab Probleme beim einsetzen, ich wäre Euch dankbar wenn ihr einfach einmal vormachen würdet wie Ihr einsetzt/testet ob wahr oder falsch.
Zunächst aber doch erstmal meine Lösungsvorschläge!

Aufgabe 1: Test ob definit: y=x²+3(yRx) [mm] \vee [/mm] x=y²+3(xRy)
                                         Mein Problem hierbei:ich weiss nicht was ich daraus folgern soll und zweitens ich weiss nicht ob das so richtig gemacht ist( es könnte ja auch y=x²+3(yRx) [mm] \vee [/mm] x= [mm] \wurzel{y-3}(xRy) [/mm]  ) Bitte helft mir! :)

test ob antisymmetrisch:
y=x²+3(yRx)  [mm] \wedge [/mm] x=y²+3(xRy)  [mm] \Rightarrow [/mm] x=y
Hierraus würde folgen, dass R antisymmetrisch ist!



Zu Aufgabe 2:
test ob reflexiv(xRx)
Ich weiss hier nicht wie ich das umsetzten soll, aber ich dachte mir, dass x nicht in relation zu sich selber steht weil hier x² steht!!?

Test ob Symmetrisch:
x² [mm] \le [/mm] y+1 impliziert nicht dass y² [mm] \le [/mm] x+1  also nicht symmetrisch!

Sou ich hoffe ich hab mich hier nicht lächerlich gemacht mit den Lösungsansätzen!
Nochmal will ich Euch bitten, dass Ihr Eure Lösungsansätze für das Einsetzten einmal postet!

Liebe Grüße und eine Gute Nacht
Robin

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Bezug
Boolsche Algebra: ist sie auch nicht
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:04 Do 10.08.2006
Autor: mathiash

Moin zusammen,

die Relation [mm] R=\{(x,y)|x^2\leq y^2\} [/mm] ist ja auch nicht antisymmetrisch, aus dem von Dir schon richtig erkannten Grund:

Antisymmetrisch hiesse, dass fuer alle x,y, fuer die xRy und yRx gilt, dann auch x=y gelten muesste. Es gibt jedoch x,y (zB [mm] x=-y\neq [/mm] 0),
fuer die zwar sehr wohl xRy und yRx gilt, keineswegs jedoch x=y, also ist R nicht antisymmetrisch.

Noch zur Aufgabe 1: Heisst definit, dass fuer alle x,y mindestens eine der Eigenschaften xRy , yRx gelten muss ?

Wenn ja, so gib halt als Gegenbeispiel zur Definitheit von R ein Beispile fuer x, y an, fuer die das nicht gilt, zB

x beliebig, [mm] y=x^2+4. [/mm]

Zur Antisymmetrie: Das musst Du aber hinschreiben, warum aus

[mm] y=x^2+3 [/mm] und [mm] x=y^2+3 [/mm] schon x=y folgt.

Nimm also an, es seien x, y Zahlen mit [mm] x=y^2+3, y=x^2+3, [/mm] dann
setzen wir doch die eine der beiden Gleichungen mal in die andere ein:

[mm] y=x^2+3=(y^2+3)+3=y^2+6, [/mm] also [mm] y^2-y+6 [/mm] =0

und dann musst Du diese quadratische Gleichung lösen, und es sollte herauskommen, wenn Antisymmetrie hier gegeben ist, dass diese Gl.

x=y, dh. [mm] y=y^2+3 [/mm] impliziert.

Gruss,

Mathias

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Bezug
Boolsche Algebra: Nachgehakt Bitte um Vormachen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Fr 11.08.2006
Autor: kruu

Aufgabe
Hab glaub ich n Fehler entdeckt!

$ [mm] y=x^2+3=(y^2+3)+3=y^2+6, [/mm] $ also $ [mm] y^2-y+6 [/mm] $ =0

hast du da nicht falsch eingesetzt!?!
du hast doch einfach für das x [mm] y^2+3 [/mm] eingesetzte!
nur dann hast du das Quadrat vergessen! oder nicht?!
würde ja eigentlich [mm] heissen:y=(y^2+3)² [/mm] +3 und das wäre anders!

aber ich weiss das man das nicht so kompliziert machen muss!
Leute kann sich das nicht einmal jemand angucken der sich dabei 100%ig sich ist und mir einmal vormachen für alle 3 Beispiele wie man das testet!(nur wie man richtig einsetzt) =)
Wäre echt cool!

LG
Robin

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Bezug
Boolsche Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Sa 12.08.2006
Autor: SirJective

Du hast also die Aufgabe:

Aufgabe 1: xRy  $ [mm] \gdw [/mm] $ y=x²+3
Aussagen:
R ist Definit(Falsch)
R ist antisymmetrisch(wahr)

Mathias schrieb (09:04 Do 10.08.2006) zur Antisymmetrie:

> Nimm also an, es seien x, y Zahlen mit $ [mm] x=y^2+3, y=x^2+3, [/mm] $ dann setzen wir doch die eine der beiden Gleichungen mal in die andere ein:
> $ [mm] y=x^2+3=(y^2+3)+3=y^2+6, [/mm] $ also $ [mm] y^2-y+6 [/mm] $ =0

In der Tat hat er sich da verschrieben. Richtig ist folgende Gleichung:
$y = [mm] x^2 [/mm] + 3 = [mm] (y^2 [/mm] + [mm] 3)^2 [/mm] + 3 = [mm] y^4 [/mm] + 6 [mm] y^2 [/mm] + 12$
Diese Gleichung $y = [mm] y^4 [/mm] + 6 [mm] y^2 [/mm] + 12$ hat keine reellen Lösungen, was man sich recht einfach klarmacht, indem man feststellt, dass die rechte Seite stets größergleich 12 ist, also auch $y [mm] \ge [/mm] 12$ sein müsste, und in diesem Bereich $6 [mm] y^2 [/mm] > y$ ist, also die rechte Seite stets größer als die linke ist.

Die Antisymmetrie ist hier also dadurch bewiesen, dass man zeigt, dass die Voraussetzung $xRy [mm] \wedge [/mm] yRx$ niemals erfüllt ist (wie auch bei der Kleiner-Relation auf den reellen Zahlen).

Du schriebst:

> aber ich weiss das man das nicht so kompliziert machen
> muss!

Wenn du einen einfacheren Weg findest, lass ihn mich wissen. :)

>  Leute kann sich das nicht einmal jemand angucken der sich
> dabei 100%ig sich ist und mir einmal vormachen für alle 3
> Beispiele wie man das testet!(nur wie man richtig einsetzt)

Da musst du aber lange warten, bis du jemanden findest, der sich seiner Lösung 100%-ig sicher ist.

Die Gültigkeit einer Anforderung an eine Relation prüfst du, indem du die Relation in diese Anforderung "einsetzt". An dieser Stelle formst du erstmal noch gar nicht um, du setzt nur ein: Lautet die Anforderung "für alle x, y gilt: xRy oder yRx", und ist $xRy [mm] \gdw x^2 \le y^2$, [/mm] dann erhältst du die Behauptung "für alle x, y gilt: [mm] $x^2 \le y^2$ [/mm] oder [mm] $y^2 \le x^2$". [/mm] Und die beweist oder widerlegst du. Da erst fängst du mit dem Umformen an. Dann passiert dir folgender Fehler nicht:

Du schriebst (22:30 Mi 09.08.2006) zur Definitheit:

> es könnte ja auch y=x²+3(yRx) $ [mm] \vee [/mm] $ x= $ [mm] \wurzel{y-3}(xRy) [/mm] $

Die zweite Gleichung ist lediglich eine Umformung der ersten Gleichung, es steht da also zweimal dasselbe da. Außerdem ist [mm] $y=x^2+3$ [/mm] nicht yRx, sondern xRy.

Mathias schrieb bereits

> gib halt als Gegenbeispiel zur Definitheit von R ein Beispile fuer x, y an, fuer die das [also xRy oder yRx] nicht gilt

und gab einen Weg an, ein konkretes Gegenbeispiel zu finden. Ein einfacheres Gegenbeispiel ist $x=y=0$, für das weder xRy noch yRx gilt.


Nun zur Aufgabe 2:
xRy  $ [mm] \gdw [/mm] $ x² $ [mm] \le [/mm] $ y+1
Aussagen:
R ist reflexiv(falsch)
R ist symmetrisch(falsch)

> Ich weiss hier nicht wie ich das umsetzten soll, aber ich dachte mir, dass x nicht in relation zu sich selber steht weil hier x² steht

Du prüfst die Reflexivität nach Schema F:
Ist für alle x die Relation xRx erfüllt, also: Gilt die Ungleichung $ [mm] x^2 \le [/mm] x + 1$ für alle x?
Wenn du ein x findest, das diese Ungleichung nicht erfüllt, hast du die Reflexivität widerlegt.

> x² $ [mm] \le [/mm] $ y+1 impliziert nicht dass y² $ [mm] \le [/mm] $ x+1  also nicht symmetrisch

Das ist richtig, aber da fehlt mir die Begründung: Warum impliziert das eine nicht das andere? Gib ein konkretes Gegenbeispiel an, dann hast du den Teil auch gelöst.


Gruß,
SirJective


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Boolsche Algebra: gegenbeispiel und Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:55 So 13.08.2006
Autor: kruu

Sou das gegenbeispiel für die symmetrie wäre z.B.
x=2 und y =3
x² [mm] \le [/mm] y+1
2²  [mm] \le [/mm] 3+1  [mm] \gdw [/mm] 4 [mm] \le [/mm] 4
impliziert nicht
y²  [mm] \le [/mm] x+1 wäre 9 [mm] \le [/mm] 3 das wäre eine Falsche Aussage!

Ok möchte allen Leuten danken die sich die Mühe gemacht haben mir zu antworten. Schönen Sonntag noch Leute
bye
Robin

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Boolsche Algebra: noch ne Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 So 13.08.2006
Autor: kruu

Aufgabe
Sou bin alle Beispiele der Klausuren durchgegangen hab auch alles richtig bis bei Einer aufgabe vlt. könnt ihr mir ja ein Gegenbeispiel liefern!
Aufgabe: Sei A=(Zeichen für Reelle Zahlen) und R(Relation)  [mm] \subset [/mm] A² folgende Relation: xRy  [mm] \gdw [/mm] y=x²+3
Bewerten sie folgende Aussagen:
R ist definit(falsch)
R ist antisymmetrisch(wahr)

Ich hab genau gegengesetzt die Antworten angekreuzt!

Sou ich finde kein einziges Gegenbsp. für die Definitheit und kein einziges Beispiel was funktioniert für die Antisymmetrie! jedenfalls meine ich geht das nicht im normalen Raum der reellen Zahlen oder doch?!


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Boolsche Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 So 13.08.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Sou bin alle Beispiele der Klausuren durchgegangen hab auch
> alles richtig bis bei Einer aufgabe vlt. könnt ihr mir ja
> ein Gegenbeispiel liefern!
> Aufgabe: Sei A=(Zeichen für Reelle Zahlen) und R(Relation)  
> [mm]\subset[/mm] A² folgende Relation: xRy  [mm]\gdw[/mm] y=x²+3
>  Bewerten sie folgende Aussagen:
>  R ist definit(falsch)

Was ist denn eine definite Relation? Den Ausdruck hab ich noch nie gehoert.

>  R ist antisymmetrisch(wahr)

Wenn $x = [mm] y^2 [/mm] + 3$ und $y = [mm] x^2 [/mm] + 3$ gilt, so ist $y = [mm] y^4 [/mm] + 6 [mm] y^2 [/mm] + 12$. Laut Maple hat diese Gleichung nur komplexwertige Loesungen, es gibt also schlichtweg keine Paare $(x, y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $x R y$ und $y R x$.

Wie man das allerdings in einer Klausur herausbekommen soll, wenn man die Gleichung nicht mal schnell auf Loesungen testen kann, weiss ich nicht...

LG Felix


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Boolsche Algebra: @ felix
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 So 13.08.2006
Autor: kruu

Hmm komisch aber die soll ja antisymmetrisch sein!

Eine definte Relation ist einfach eine Relation bei der gilt xRy [mm] \vee [/mm] yRx

Bye Robin

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Boolsche Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 So 13.08.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Hmm komisch aber die soll ja antisymmetrisch sein!

Ist sie ja auch: Dazu muss ja gelten, dass fuer alle $(x, y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $x R y$ und $y R x$ bereits $x = y$ gilt. Aber wenn es keine solchen Paare $(x, y)$ gilt, ist fuer alle solchen Paare natuerlich jede beliebige Bedingung erfuellt, insb. auch $x =y$... ;)

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Boolsche Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 So 13.08.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Sou bin alle Beispiele der Klausuren durchgegangen hab auch
> alles richtig bis bei Einer aufgabe vlt. könnt ihr mir ja
> ein Gegenbeispiel liefern!
> Aufgabe: Sei A=(Zeichen für Reelle Zahlen) und R(Relation)  
> [mm]\subset[/mm] A² folgende Relation: xRy  [mm]\gdw[/mm] y=x²+3
>  Bewerten sie folgende Aussagen:
>  R ist definit(falsch)

Nimm etwa $x = 0$ und $y = 0$: Es ist [mm] $x^2 [/mm] + 3 = 3 [mm] \neq [/mm] y$ und [mm] $y^2 [/mm] + 3 = 3 [mm] \neq [/mm] x$, womit weder $x R y$ noch $y R x$ gilt... Damit ist die Relation nicht definit.

LG Felix


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Boolsche Algebra: Wer lesen kann ist im Vorteil
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 So 13.08.2006
Autor: SirJective

Hallo kruu.

Offensichtlich hast du meine Antwort (14:20 Sa 12.08.2006) nicht vollständig gelesen. In jenem Beitrag hatte ich dir sowohl ein Gegenbeispiel für die Definitheit als auch einen Beweis der Antisymmetrie von xRy <=> y=x²+3 gegeben.

*kopfschütteld*
SirJective


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